Análise Discriminante: Linear e Quadrática

Continuando nossa jornada pelo guia do scikit-learn, chegamos a uma família de classificadores probabilísticos fundamentais: a Análise Discriminante Linear (LDA) e Quadrática (QDA). Primordialmente, estas técnicas representam abordagens elegantes para classificação que combinam princípios estatísticos com eficiência computacional.

Fundamentos Teóricos

Conforme observamos anteriormente com modelos lineares, frequentemente buscamos métodos que ofereçam bom desempenho com interpretabilidade. Analogamente, LDA e QDA surgem como alternativas baseadas em pressupostos sobre a distribuição dos dados.

Pressupostos Básicos

Ambos os métodos assumem que:

Os dados seguem uma distribuição normal
As features são contínuas
As classes têm distribuições Gaussianas multivariadas

A diferença fundamental reside na suposição sobre as matrizes de covariância:

LDA: Matriz de covariância comum para todas as classes
QDA: Matriz de covariância distinta para cada classe

Análise Discriminante Linear (LDA)

Base Matemática

O LDA assume que todas as classes compartilham a mesma matriz de covariância Σ. A função discriminante para a classe k é dada por:

\(\delta_k(x) = x^T \Sigma^{-1} \mu_k – \frac{1}{2} \mu_k^T \Sigma^{-1} \mu_k + \log \pi_k\)

Onde:

μ_k é a média da classe k
Σ é a matriz de covariância comum
π_k é a probabilidade a priori da classe k

Características do LDA

Produz fronteiras de decisão lineares
Menos parâmetros para estimar
Mais robusto com poucos dados
Computacionalmente eficiente

Análise Discriminante Quadrática (QDA)

Base Matemática

O QDA permite que cada classe tenha sua própria matriz de covariância Σ_k. A função discriminante torna-se:

\(\delta_k(x) = -\frac{1}{2} \log |\Sigma_k| – \frac{1}{2} (x – \mu_k)^T \Sigma_k^{-1} (x – \mu_k) + \log \pi_k\)

Características do QDA

Produz fronteiras de decisão quadráticas
Mais flexível que o LDA
Requer mais dados para estimação confiável
Pode capturar relações mais complexas entre features

Comparação entre LDA e QDA

A escolha entre LDA e QDA depende de vários fatores:

Tamanho do conjunto de dados
Número de features
Similaridade das matrizes de covariância entre classes
Complexidade das fronteiras de decisão necessárias

Inegavelmente, o LDA é preferível quando temos dados limitados, enquanto o QDA pode oferecer melhor performance quando as matrizes de covariância são realmente diferentes e temos dados suficientes para estimá-las adequadamente.

Implementação no scikit-learn

No scikit-learn, ambas as técnicas são implementadas através das classes:

LinearDiscriminantAnalysis
QuadraticDiscriminantAnalysis

Estas classes oferecem funcionalidades adicionais como redução de dimensionalidade (no caso do LDA) e suporte a diferentes métodos de estimação de parâmetros.

Exemplo Prático em Python

Para ilustrar as diferenças entre LDA e QDA, vejamos um exemplo comparativo:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis, QuadraticDiscriminantAnalysis
from sklearn.datasets import make_classification, make_blobs
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

'''
Exemplo comparativo entre LDA e QDA em diferentes cenários
de dados para ilustrar suas características distintas
'''

# Cenário 1: Dados com matrizes de covariância similares
print("=== CENÁRIO 1: Matrizes de Covariância Similares ===")
X1, y1 = make_classification(
    n_samples=300, n_features=2, n_informative=2, n_redundant=0,
    n_clusters_per_class=1, class_sep=2.0, random_state=42
)

# Cenário 2: Dados com matrizes de covariância diferentes
print("=== CENÁRIO 2: Matrizes de Covariância Diferentes ===")
X2, y2 = make_blobs(
    n_samples=300, centers=2, cluster_std=[1.0, 2.5], 
    random_state=42, n_features=2
)

# Transformando para criar covariâncias diferentes
transformation = [[0.6, -0.6], [-0.4, 0.8]]
X2 = np.dot(X2, transformation)

cenarios = [
    ('Covariância Similar', X1, y1),
    ('Covariância Diferente', X2, y2)
]

'''
Configurando os modelos e avaliando em cada cenário
'''
models = {
    'LDA': LinearDiscriminantAnalysis(),
    'QDA': QuadraticDiscriminantAnalysis()
}

plt.figure(figsize=(15, 10))

for cenario_idx, (cenario_nome, X, y) in enumerate(cenarios, 1):
    
    # Dividindo os dados
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
        X, y, test_size=0.3, random_state=42
    )
    
    # Padronizando os dados
    scaler = StandardScaler()
    X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)
    X_test_scaled = scaler.transform(X_test)
    
    # Criando mesh para plotar fronteiras de decisão
    h = 0.02
    x_min, x_max = X_train_scaled[:, 0].min() - 1, X_train_scaled[:, 0].max() + 1
    y_min, y_max = X_train_scaled[:, 1].min() - 1, X_train_scaled[:, 1].max() + 1
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h),
                         np.arange(y_min, y_max, h))
    
    for model_idx, (model_name, model) in enumerate(models.items(), 1):
        plt.subplot(2, 2, (cenario_idx - 1) * 2 + model_idx)
        
        # Treinando o modelo
        model.fit(X_train_scaled, y_train)
        
        # Fazendo previsões
        y_pred = model.predict(X_test_scaled)
        accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
        
        # Plotando fronteira de decisão
        Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
        Z = Z.reshape(xx.shape)
        plt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.3, cmap=plt.cm.Paired)
        
        # Plotando dados de treino - CORREÇÃO: removendo parâmetro cmap do scatter
        colors = ['red', 'blue', 'green']
        for class_idx, class_label in enumerate(np.unique(y_train)):
            class_mask = y_train == class_label
            plt.scatter(X_train_scaled[class_mask, 0], X_train_scaled[class_mask, 1],
                       alpha=0.8, label=f'Classe {class_label}', 
                       color=colors[class_idx % len(colors)])
        
        plt.title(f'{cenario_nome}\n{model_name} - Acurácia: {accuracy:.3f}')
        plt.xlabel('Feature 1 (padronizada)')
        plt.ylabel('Feature 2 (padronizada)')
        plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

'''
Análise detalhada dos parâmetros dos modelos - VERSÃO CORRIGIDA
'''
print("\n=== ANÁLISE DOS PARÂMETROS ===")

for (cenario_nome, X, y) in cenarios:
    print(f"\n{cenario_nome}:")
    
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
        X, y, test_size=0.3, random_state=42
    )
    
    scaler = StandardScaler()
    X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)
    
    for model_name, model in models.items():
        model.fit(X_train_scaled, y_train)
        
        if model_name == 'LDA':
            # LDA - usando atributos corretos disponíveis
            print(f"  {model_name}:")
            print(f"    Forma do scaling: {model.scalings_.shape}")
            print(f"    Número de coeficientes: {len(model.coef_.flatten())}")
            print(f"    Número de classes: {len(model.classes_)}")
            print(f"    Médias por classe: {[f'Classe {i}: {mean}' for i, mean in enumerate(model.means_)]}")
        else:
            # QDA - usando atributos corretos disponíveis
            print(f"  {model_name}:")
            print(f"    Número de classes: {len(model.classes_)}")
            print(f"    Médias por classe: {[f'Classe {i}: {mean}' for i, mean in enumerate(model.means_)]}")
            # Para QDA, as covariâncias são armazenadas de forma diferente
            if hasattr(model, 'covariance_'):
                for i, covariance in enumerate(model.covariance_):
                    print(f"    Classe {i}: forma da matriz {covariance.shape}")
            else:
                print("    Info: Matrizes de covariância disponíveis internamente para cálculo")

'''
Exemplo com dados reais: Iris dataset - VERSÃO CORRIGIDA
'''
from sklearn.datasets import load_iris

print("\n=== EXEMPLO COM DATASET IRIS ===")
iris = load_iris()
X_iris, y_iris = iris.data, iris.target

# Usando apenas duas features para visualização
X_iris_2d = X_iris[:, :2]

X_train_iris, X_test_iris, y_train_iris, y_test_iris = train_test_split(
    X_iris_2d, y_iris, test_size=0.3, random_state=42
)

scaler_iris = StandardScaler()
X_train_iris_scaled = scaler_iris.fit_transform(X_train_iris)
X_test_iris_scaled = scaler_iris.transform(X_test_iris)

for model_name, model in models.items():
    model.fit(X_train_iris_scaled, y_train_iris)
    y_pred_iris = model.predict(X_test_iris_scaled)
    accuracy_iris = accuracy_score(y_test_iris, y_pred_iris)
    
    print(f"{model_name} no dataset Iris: Acurácia = {accuracy_iris:.3f}")
    
    # Informações adicionais específicas de cada modelo - CORRIGIDO
    if model_name == 'LDA':
        print(f"  Número de componentes: {model.n_components}")
        if hasattr(model, 'explained_variance_ratio_'):
            print(f"  Variância explicada: {model.explained_variance_ratio_}")
    else:
        print(f"  Número de classes: {len(model.classes_)}")
        print(f"  Prior probabilities: {model.priors_}")

'''
Demonstração adicional: acesso seguro aos atributos
'''
print("\n=== ATRIBUTOS DISPONÍVEIS POR MODELO ===")

for model_name, model in models.items():
    print(f"\n{model_name} - Atributos disponíveis:")
    atributos = [attr for attr in dir(model) if not attr.startswith('_')]
    # Mostrando apenas os principais atributos
    principais = [attr for attr in atributos if not attr.startswith('_') and 
                 any(keyword in attr for keyword in ['coef', 'mean', 'class', 'score', 'predict'])]
    for attr in principais[:10]:  # Mostrando apenas os 10 primeiros
        print(f"  - {attr}")

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import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis, QuadraticDiscriminantAnalysis

from sklearn.datasets import make_classification, make_blobs

from sklearn.model_selection import train_test_split

from sklearn.metrics import accuracy_score

from sklearn.preprocessing import StandardScaler

'''

Exemplo comparativo entre LDA e QDA em diferentes cenários

de dados para ilustrar suas características distintas

'''

# Cenário 1: Dados com matrizes de covariância similares

print("=== CENÁRIO 1: Matrizes de Covariância Similares ===")

X1, y1 = make_classification(

n_samples=300, n_features=2, n_informative=2, n_redundant=0,

n_clusters_per_class=1, class_sep=2.0, random_state=42

)

# Cenário 2: Dados com matrizes de covariância diferentes

print("=== CENÁRIO 2: Matrizes de Covariância Diferentes ===")

X2, y2 = make_blobs(

n_samples=300, centers=2, cluster_std=[1.0, 2.5],

random_state=42, n_features=2

)

# Transformando para criar covariâncias diferentes

transformation = [[0.6, -0.6], [-0.4, 0.8]]

X2 = np.dot(X2, transformation)

cenarios = [

('Covariância Similar', X1, y1),

('Covariância Diferente', X2, y2)

]

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Configurando os modelos e avaliando em cada cenário

'''

models = {

'LDA': LinearDiscriminantAnalysis(),

'QDA': QuadraticDiscriminantAnalysis()

}

plt.figure(figsize=(15, 10))

for cenario_idx, (cenario_nome, X, y) in enumerate(cenarios, 1):

# Dividindo os dados

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(

X, y, test_size=0.3, random_state=42

)

# Padronizando os dados

scaler = StandardScaler()

X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)

X_test_scaled = scaler.transform(X_test)

# Criando mesh para plotar fronteiras de decisão

h = 0.02

x_min, x_max = X_train_scaled[:, 0].min() - 1, X_train_scaled[:, 0].max() + 1

y_min, y_max = X_train_scaled[:, 1].min() - 1, X_train_scaled[:, 1].max() + 1

xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h),

np.arange(y_min, y_max, h))

for model_idx, (model_name, model) in enumerate(models.items(), 1):

plt.subplot(2, 2, (cenario_idx - 1) * 2 + model_idx)

# Treinando o modelo

model.fit(X_train_scaled, y_train)

# Fazendo previsões

y_pred = model.predict(X_test_scaled)

accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)

# Plotando fronteira de decisão

Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])

Z = Z.reshape(xx.shape)

plt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.3, cmap=plt.cm.Paired)

# Plotando dados de treino - CORREÇÃO: removendo parâmetro cmap do scatter

colors = ['red', 'blue', 'green']

for class_idx, class_label in enumerate(np.unique(y_train)):

class_mask = y_train == class_label

plt.scatter(X_train_scaled[class_mask, 0], X_train_scaled[class_mask, 1],

alpha=0.8, label=f'Classe {class_label}',

color=colors[class_idx % len(colors)])

plt.title(f'{cenario_nome}\n{model_name} - Acurácia: {accuracy:.3f}')

plt.xlabel('Feature 1 (padronizada)')

plt.ylabel('Feature 2 (padronizada)')

plt.legend()

plt.tight_layout()

plt.show()

'''

Análise detalhada dos parâmetros dos modelos - VERSÃO CORRIGIDA

'''

print("\n=== ANÁLISE DOS PARÂMETROS ===")

for (cenario_nome, X, y) in cenarios:

print(f"\n{cenario_nome}:")

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(

X, y, test_size=0.3, random_state=42

)

scaler = StandardScaler()

X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)

for model_name, model in models.items():

model.fit(X_train_scaled, y_train)

if model_name == 'LDA':

# LDA - usando atributos corretos disponíveis

print(f" {model_name}:")

print(f" Forma do scaling: {model.scalings_.shape}")

print(f" Número de coeficientes: {len(model.coef_.flatten())}")

print(f" Número de classes: {len(model.classes_)}")

print(f" Médias por classe: {[f'Classe {i}: {mean}' for i, mean in enumerate(model.means_)]}")

else:

# QDA - usando atributos corretos disponíveis

print(f" {model_name}:")

print(f" Número de classes: {len(model.classes_)}")

print(f" Médias por classe: {[f'Classe {i}: {mean}' for i, mean in enumerate(model.means_)]}")

# Para QDA, as covariâncias são armazenadas de forma diferente

if hasattr(model, 'covariance_'):

for i, covariance in enumerate(model.covariance_):

print(f" Classe {i}: forma da matriz {covariance.shape}")

else:

print(" Info: Matrizes de covariância disponíveis internamente para cálculo")

'''

Exemplo com dados reais: Iris dataset - VERSÃO CORRIGIDA

'''

from sklearn.datasets import load_iris

print("\n=== EXEMPLO COM DATASET IRIS ===")

iris = load_iris()

X_iris, y_iris = iris.data, iris.target

# Usando apenas duas features para visualização

X_iris_2d = X_iris[:, :2]

X_train_iris, X_test_iris, y_train_iris, y_test_iris = train_test_split(

X_iris_2d, y_iris, test_size=0.3, random_state=42

)

scaler_iris = StandardScaler()

X_train_iris_scaled = scaler_iris.fit_transform(X_train_iris)

X_test_iris_scaled = scaler_iris.transform(X_test_iris)

for model_name, model in models.items():

model.fit(X_train_iris_scaled, y_train_iris)

y_pred_iris = model.predict(X_test_iris_scaled)

accuracy_iris = accuracy_score(y_test_iris, y_pred_iris)

print(f"{model_name} no dataset Iris: Acurácia = {accuracy_iris:.3f}")

# Informações adicionais específicas de cada modelo - CORRIGIDO

if model_name == 'LDA':

print(f" Número de componentes: {model.n_components}")

if hasattr(model, 'explained_variance_ratio_'):

print(f" Variância explicada: {model.explained_variance_ratio_}")

else:

print(f" Número de classes: {len(model.classes_)}")

print(f" Prior probabilities: {model.priors_}")

'''

Demonstração adicional: acesso seguro aos atributos

'''

print("\n=== ATRIBUTOS DISPONÍVEIS POR MODELO ===")

for model_name, model in models.items():

print(f"\n{model_name} - Atributos disponíveis:")

atributos = [attr for attr in dir(model) if not attr.startswith('_')]

# Mostrando apenas os principais atributos

principais = [attr for attr in atributos if not attr.startswith('_') and

any(keyword in attr for keyword in ['coef', 'mean', 'class', 'score', 'predict'])]

for attr in principais[:10]: # Mostrando apenas os 10 primeiros

print(f" - {attr}")

Interpretação dos Resultados

Analisando o exemplo, podemos observar que:

No cenário com matrizes de covariância similares, LDA e QDA performam similarmente
No cenário com matrizes de covariância diferentes, QDA geralmente supera LDA
As fronteiras de decisão do LDA são sempre lineares, enquanto as do QDA são quadráticas
O LDA estima menos parâmetros, tornando-o mais eficiente com dados limitados

Considerações Práticas

Ao aplicar LDA ou QDA em problemas reais, é importante considerar:

Verificar os pressupostos de normalidade quando possível
Considerar o tamanho do dataset para escolha entre LDA e QDA
Utilizar validação cruzada para avaliação robusta do desempenho
Explorar a redução de dimensionalidade oferecida pelo LDA

Vantagens e Limitações

Embora poderosos, ambos os métodos têm suas particularidades:

LDA: Mais robusto mas menos flexível
QDA: Mais flexível mas requer mais dados
Ambos: Sensíveis a violações dos pressupostos de normalidade
Excelente desempenho quando os pressupostos são atendidos

Portanto, a escolha entre LDA e QDA deve considerar as características específicas dos dados e os objetivos do projeto. Inclusive, em muitos casos práticos, testar ambas as abordagens com validação adequada pode revelar qual método é mais apropriado para o problema em questão.

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