Q-Learning: aprendizado off-policy por diferença temporal

4.2 – Metodos Baseados em Valor
4.2.3 – Temporal Difference – TD
4.2.3.2 – Q-Learning – Off-policy

LEGENDA

Principal

Ramo

Metodo

Problemas

Modelo

Arquitetura

Q-Learning é um dos algoritmos mais importantes do aprendizado por reforço. Primeiramente, ele é um método off-policy. Isso significa que ele aprende com uma política diferente da que age. Em segundo lugar, ele usa diferença temporal (TD) para atualizações. Por conseguinte, o Q-Learning pode aprender a política ótima enquanto explora. Esta é sua grande vantagem sobre métodos on-policy como o SARSA.

Características da arquitetura Q-Learning

O Q-Learning atualiza a função Q(s,a) usando o máximo sobre ações futuras. A fórmula é \( Q(s,a) \leftarrow Q(s,a) + \alpha [r + \gamma \max_{a’} Q(s’,a’) – Q(s,a)] \). Diferente do SARSA, ele não usa a ação real do próximo passo. Ele assume que a melhor ação será tomada. Portanto, o Q-Learning é mais otimista. Ele busca a política ótima mesmo durante a exploração.

A arquitetura armazena Q(s,a) em uma tabela ou rede neural. A política de comportamento (behavior) é tipicamente ε-greedy. A política alvo (target) é gulosa (maximização). Essa separação é a essência do off-policy learning. O agente pode aprender com experiências passadas. Ele também pode aprender com demonstrações humanas. Consequentemente, o Q-Learning é muito flexível e poderoso.

Hiperparâmetros e fórmulas matemáticas

Os hiperparâmetros incluem α (taxa aprendizado), γ (desconto) e ε (exploração). Valores típicos são α=0.1, γ=0.95, ε=0.1. O algoritmo converge se todos os pares forem visitados. A condição é \( \sum \alpha_t = \infty \) e \(\) \sum \alpha_t^2 < \infty [/latex]. O erro TD do Q-Learning é [latex] \delta = r + \gamma \max_{a'} Q(s',a') - Q(s,a) [/latex]. Este erro é usado para atualizar a Q-table.

Uma variante importante é o Double Q-Learning. Ele resolve o problema de superestimação. Dois estimadores Q são mantidos independentemente. A atualização usa o mínimo entre eles. Outra variante é o Q-Learning com decaying epsilon. A exploração diminui ao longo do tempo. Isso melhora a convergência para a política gulosa. O Q-Learning é a base do DQN (Deep Q-Network), que usa redes neurais profundas.

Exemplo clássico: labirinto com recompensas

Imagine um labirinto 4×4 com um tesouro escondido. O agente começa no canto superior esquerdo. Ele recebe recompensa -1 por passo. O tesouro dá +10 ao ser encontrado. Paredes bloqueiam certas células. O objetivo é maximizar a recompensa total. O Q-Learning encontra o caminho ótimo mesmo com exploração. O código abaixo implementa e visualiza o aprendizado.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random
import time
from tqdm import tqdm

print("=" * 70)
print("Q-LEARNING: APRENDIZADO OFF-POLICY POR DIFERENÇA TEMPORAL")
print("=" * 70)

# ============================================
# AMBIENTE: LABIRINTO 4x4 COM TESOURO
# ============================================

class Labirinto:
    """Labirinto 4x4 com paredes e tesouro"""
    
    def __init__(self):
        # Mapa: 0=caminho, 1=parede, 2=tesouro
        self.grid = np.array([
            [0, 0, 0, 0],
            [0, 1, 0, 0],
            [0, 1, 0, 0],
            [0, 0, 2, 0]
        ])
        self.n_estados = 16
        self.n_acoes = 4  # 0=cima, 1=baixo, 2=esq, 3=dir
        self.inicio = 0
        self.tesouro = 14  # posição (3,2)
        
    def reset(self):
        self.estado = self.inicio
        return self.estado
    
    def step(self, acao):
        """Executa ação e retorna (próximo_estado, recompensa, terminou)"""
        linha = self.estado // 4
        coluna = self.estado % 4
        
        # Calcula movimento
        if acao == 0:  # cima
            nl = max(0, linha - 1)
            nc = coluna
        elif acao == 1:  # baixo
            nl = min(3, linha + 1)
            nc = coluna
        elif acao == 2:  # esquerda
            nl = linha
            nc = max(0, coluna - 1)
        else:  # direita
            nl = linha
            nc = min(3, coluna + 1)
        
        # Verifica parede
        if self.grid[nl, nc] == 1:
            return self.estado, -0.5, False
        
        novo_estado = nl * 4 + nc
        self.estado = novo_estado
        
        # Verifica tesouro
        if self.grid[nl, nc] == 2:
            return novo_estado, 10.0, True
        
        # Movimento normal
        return novo_estado, -0.1, False


# ============================================
# AGENTE Q-LEARNING (OFF-POLICY)
# ============================================

class QLearningAgente:
    """Agente Q-Learning off-policy"""
    
    def __init__(self, n_estados, n_acoes, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.1):
        self.Q = np.zeros((n_estados, n_acoes))
        self.alpha = alpha
        self.gamma = gamma
        self.epsilon = epsilon
        self.epsilon_min = 0.01
        self.epsilon_decay = 0.995
        self.n_estados = n_estados
        self.n_acoes = n_acoes
        
        # Para tracking
        self.historico_erros = []
        
    def escolher_acao(self, estado):
        """Política de comportamento ε-greedy (off-policy)"""
        if random.random() < self.epsilon:
            return random.randint(0, self.n_acoes - 1)
        return np.argmax(self.Q[estado])
    
    def melhor_acao(self, estado):
        """Política alvo gulosa (para avaliação)"""
        return np.argmax(self.Q[estado])
    
    def aprender(self, estado, acao, recompensa, prox_estado, terminou):
        """Atualização Q-Learning: usa MAX sobre ações futuras (off-policy)"""
        if terminou:
            alvo = recompensa
        else:
            alvo = recompensa + self.gamma * np.max(self.Q[prox_estado])
        
        erro_td = alvo - self.Q[estado, acao]
        self.Q[estado, acao] += self.alpha * erro_td
        self.historico_erros.append(abs(erro_td))
        return erro_td
    
    def decair_epsilon(self):
        """Reduz exploração gradualmente"""
        self.epsilon = max(self.epsilon_min, self.epsilon * self.epsilon_decay)


# ============================================
# TREINAMENTO DO Q-LEARNING
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("TREINAMENTO DO Q-LEARNING")
print("=" * 70)

num_episodios = 2000
env = Labirinto()
agente = QLearningAgente(n_estados=16, n_acoes=4, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.3)

# Armazena histórico
recompensas_por_episodio = []
passos_por_episodio = []
valores_iniciais = []
epsilon_historico = []

print("\n🚀 Treinando...\n")

with tqdm(total=num_episodios, desc="Q-Learning", unit="ep",
          ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}, {rate_fmt}]') as pbar:
    
    for ep in range(num_episodios):
        estado = env.reset()
        terminou = False
        recompensa_total = 0
        passos = 0
        
        while not terminou and passos < 100:
            acao = agente.escolher_acao(estado)
            prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao)
            
            agente.aprender(estado, acao, recompensa, prox_estado, terminou)
            
            recompensa_total += recompensa
            estado = prox_estado
            passos += 1
        
        recompensas_por_episodio.append(recompensa_total)
        passos_por_episodio.append(passos)
        valores_iniciais.append(agente.Q[0, :].max())
        epsilon_historico.append(agente.epsilon)
        
        agente.decair_epsilon()
        
        # Atualiza barra
        if (ep + 1) % 100 == 0:
            media_recomp = np.mean(recompensas_por_episodio[-100:])
            melhor_valor = agente.Q[0, :].max()
            pbar.set_postfix({'Recomp': f'{media_recomp:.1f}', 'V(0)': f'{melhor_valor:.2f}', 'ε': f'{agente.epsilon:.3f}'})
            pbar.update(100)
        elif ep == 0:
            pbar.update(1)

print("\n✅ Treinamento concluído!")

# ============================================
# AVALIAÇÃO DO AGENTE (POLÍTICA GULOSA)
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("AVALIAÇÃO DA POLÍTICA ÓTIMA (SEM EXPLORAÇÃO)")
print("=" * 70)

def avaliar_politica_gulosa(agente, n_testes=100):
    """Avalia usando a política gulosa (melhor ação)"""
    # Salva epsilon original
    eps_original = agente.epsilon
    agente.epsilon = 0
    
    recompensas_teste = []
    passos_teste = []
    sucessos = 0
    
    with tqdm(total=n_testes, desc="Testando política gulosa", unit="teste",
              ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}]') as pbar:
        
        for _ in range(n_testes):
            estado = env.reset()
            terminou = False
            recompensa_total = 0
            passos = 0
            
            while not terminou and passos < 100:
                acao = agente.melhor_acao(estado)
                estado, recompensa, terminou = env.step(acao)
                recompensa_total += recompensa
                passos += 1
            
            if recompensa_total > 0:
                sucessos += 1
            
            recompensas_teste.append(recompensa_total)
            passos_teste.append(passos)
            pbar.update(1)
    
    # Restaura epsilon
    agente.epsilon = eps_original
    
    return np.mean(recompensas_teste), np.mean(passos_teste), sucessos / n_testes * 100

recomp_media, passos_medio, taxa_sucesso = avaliar_politica_gulosa(agente)

print(f"\n🏆 RESULTADOS DA POLÍTICA ÓTIMA:")
print(f"   - Recompensa média: {recomp_media:.2f}")
print(f"   - Passos médios: {passos_medio:.1f}")
print(f"   - Taxa de sucesso: {taxa_sucesso:.1f}%")

# ============================================
# VISUALIZAÇÃO DA Q-TABLE
# ============================================

print("\n📊 Gerando visualizações...")

plt.figure(figsize=(14, 5))

# Gráfico 1: Convergência do valor do estado inicial
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(valores_iniciais, 'b-', linewidth=1.5, alpha=0.7)
plt.xlabel('Episódio')
plt.ylabel('V(estado inicial)')
plt.title('Convergência do Valor do Estado Inicial')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.axhline(y=agente.Q[0, :].max(), color='r', linestyle='--', label=f'Final: {agente.Q[0, :].max():.2f}')
plt.legend()

# Gráfico 2: Evolução da exploração (epsilon)
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(epsilon_historico, 'g-', linewidth=1.5)
plt.xlabel('Episódio')
plt.ylabel('ε (exploração)')
plt.title('Decaimento da Exploração')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.yscale('log')

plt.tight_layout()
plt.show()

# ============================================
# VISUALIZAÇÃO DA FUNÇÃO VALOR E POLÍTICA
# ============================================

print("\n📊 Visualizando função valor e política aprendida...")

plt.figure(figsize=(14, 5))

# Função Valor V(s) = max_a Q(s,a)
plt.subplot(1, 2, 1)
V = np.max(agente.Q, axis=1).reshape(4, 4)
im = plt.imshow(V, cmap='RdYlGn', interpolation='nearest', vmin=0, vmax=10)
plt.colorbar(im, label='Valor V(s)')

for i in range(4):
    for j in range(4):
        s = i * 4 + j
        if env.grid[i, j] == 1:
            plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=16, color='gray')
        elif s == env.tesouro:
            plt.text(j, i, '💰', ha='center', va='center', fontsize=14)
        else:
            valor = V[i, j]
            cor = 'white' if valor < 5 else 'black'
            plt.text(j, i, f'{valor:.1f}', ha='center', va='center', fontsize=10, color=cor)

plt.title('Função Valor V*(s) - Q-Learning')
plt.xlabel('Coluna')
plt.ylabel('Linha')

# Política ótima
plt.subplot(1, 2, 2)
setas = ['↑', '↓', '←', '→']
for i in range(4):
    for j in range(4):
        s = i * 4 + j
        if env.grid[i, j] == 1:
            plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=20, color='gray')
        elif s == env.tesouro:
            plt.text(j, i, '💰', ha='center', va='center', fontsize=20)
        else:
            melhor_acao = np.argmax(agente.Q[s])
            plt.text(j, i, setas[melhor_acao], ha='center', va='center', fontsize=22)

plt.xlim(-0.5, 3.5)
plt.ylim(3.5, -0.5)
plt.title('Política Ótima π*(s) - Q-Learning')
plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

# ============================================
# MAPA DE CALOR DA Q-TABLE
# ============================================

print("\n📊 Mapa de calor da Q-Table (valores para cada ação)...")

plt.figure(figsize=(12, 8))

# Mostra Q(s,a) para cada estado e ação
for acao in range(4):
    plt.subplot(2, 2, acao + 1)
    Q_acao = agente.Q[:, acao].reshape(4, 4)
    
    # Mascara paredes
    Q_masked = np.ma.masked_where(env.grid == 1, Q_acao)
    im = plt.imshow(Q_masked, cmap='Blues', interpolation='nearest', vmin=-1, vmax=10)
    plt.colorbar(im, label=f'Q(s,{setas[acao]})')
    
    for i in range(4):
        for j in range(4):
            s = i * 4 + j
            if env.grid[i, j] == 1:
                plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=16, color='gray')
            elif s == env.tesouro:
                plt.text(j, i, '💰', ha='center', va='center', fontsize=14)
            else:
                plt.text(j, i, f'{Q_acao[i, j]:.1f}', ha='center', va='center', fontsize=9)
    
    plt.title(f'Q(s, {setas[acao]})')
    plt.xlabel('Coluna')
    plt.ylabel('Linha')

plt.tight_layout()
plt.show()

# ============================================
# DEMONSTRAÇÃO DO CAMINHO APRENDIDO
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("DEMONSTRAÇÃO DO CAMINHO APRENDIDO")
print("=" * 70)

def demonstrar_caminho(agente):
    """Mostra uma trajetória seguindo a política ótima"""
    estado = env.reset()
    caminho = [estado]
    terminou = False
    passo = 0
    
    print("\n🎮 Trajetória do agente:")
    print("   Posição (linha, coluna) → Ação → Próxima posição")
    
    while not terminou and passo < 20:
        linha_atual = estado // 4
        coluna_atual = estado % 4
        acao = agente.melhor_acao(estado)
        seta = ['↑', '↓', '←', '→'][acao]
        
        prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao)
        prox_linha = prox_estado // 4
        prox_coluna = prox_estado % 4
        
        print(f"   ({linha_atual},{coluna_atual}) → {seta} → ({prox_linha},{prox_coluna}) | recompensa: {recompensa}")
        
        caminho.append(prox_estado)
        estado = prox_estado
        passo += 1
    
    if recompensa > 0:
        print(f"\n💰 TESOURO ENCONTRADO em {passo} passos!")
    else:
        print(f"\n❌ Não conseguiu encontrar o tesouro")

demonstrar_caminho(agente)

# ============================================
# COMPARAÇÃO: Q-LEARNING vs SARSA
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("COMPARAÇÃO: Q-LEARNING (OFF-POLICY) vs SARSA (ON-POLICY)")
print("=" * 70)

# Cria agente SARSA para comparação
class SarsaAgente:
    def __init__(self, n_estados, n_acoes, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.3):
        self.Q = np.zeros((n_estados, n_acoes))
        self.alpha = alpha
        self.gamma = gamma
        self.epsilon = epsilon
        self.epsilon_min = 0.01
        self.epsilon_decay = 0.995
        
    def escolher_acao(self, estado):
        if random.random() < self.epsilon:
            return random.randint(0, 3)
        return np.argmax(self.Q[estado])
    
    def aprender(self, estado, acao, recompensa, prox_estado, prox_acao, terminou):
        if terminou:
            alvo = recompensa
        else:
            alvo = recompensa + self.gamma * self.Q[prox_estado, prox_acao]
        self.Q[estado, acao] += self.alpha * (alvo - self.Q[estado, acao])
    
    def decair_epsilon(self):
        self.epsilon = max(self.epsilon_min, self.epsilon * self.epsilon_decay)

# Treina SARSA rapidamente
sarsa = SarsaAgente(16, 4)
recompensas_sarsa = []

with tqdm(total=500, desc="SARSA (comparação)", unit="ep", ncols=80) as pbar:
    for ep in range(500):
        estado = env.reset()
        acao = sarsa.escolher_acao(estado)
        terminou = False
        recomp_total = 0
        
        while not terminou:
            prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao)
            prox_acao = sarsa.escolher_acao(prox_estado) if not terminou else None
            sarsa.aprender(estado, acao, recompensa, prox_estado, prox_acao, terminou)
            recomp_total += recompensa
            estado = prox_estado
            acao = prox_acao if not terminou else acao
        
        recompensas_sarsa.append(recomp_total)
        sarsa.decair_epsilon()
        pbar.update(1)

# Comparação final
print("\n📊 COMPARAÇÃO FINAL:")
print(f"   Q-Learning (off-policy):")
print(f"      - Valor final V(início): {agente.Q[0, :].max():.2f}")
print(f"      - Recompensa média (teste): {recomp_media:.2f}")
print(f"   SARSA (on-policy):")
print(f"      - Valor final V(início): {sarsa.Q[0, :].max():.2f}")
print(f"      - Recompensa média (teste): {np.mean(recompensas_sarsa[-100:]):.2f}")

# ============================================
# EXPLICAÇÃO MATEMÁTICA
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("FUNDAMENTOS DO Q-LEARNING")
print("=" * 70)

print("""
✅ Q-LEARNING: ALGORITMO OFF-POLICY FUNDAMENTAL

Q-Learning é um método de diferença temporal que aprende a política ótima
independentemente da política de comportamento.

✅ FÓRMULA DE ATUALIZAÇÃO:

[latex] Q(s,a) \leftarrow Q(s,a) + \\alpha [r + \\gamma \\max_{a'} Q(s',a') - Q(s,a)] [/latex]

Onde:
- (s,a): par estado-ação atual
- r: recompensa imediata
- s': próximo estado
- max_{a'} Q(s',a'): melhor valor possível no próximo estado

✅ DIFERENÇA CRÍTICA PARA SARSA:

• SARSA: usa Q(s',a') onde a' é a ação real (on-policy)
• Q-LEARNING: usa max_a Q(s',a) (off-policy)

✅ IMPLICAÇÕES DO OFF-POLICY:

• A política de comportamento (ε-greedy) pode ser diferente da política alvo (gulosa)
• O agente pode aprender com demonstrações ou replay de experiências
• Converge para a política ótima mesmo com exploração constante

✅ HIPERPARÂMETROS:

• α (alpha): Taxa de aprendizado (0.1 típico)
• γ (gamma): Fator de desconto (0.95 típico)
• ε (epsilon): Exploração inicial (0.3 típico)

✅ VARIAÇÕES IMPORTANTES:

• DOUBLE Q-LEARNING: Reduz superestimação usando duas Q-tables
• DEEP Q-NETWORK (DQN): Usa redes neurais para espaços contínuos
• PRIORITIZED REPLAY: Amostra experiências importantes

✅ VANTAGENS DO Q-LEARNING:

✓ Off-policy: pode aprender de qualquer fonte de dados
✓ Converge para política ótima (garantido teoricamente)
✓ Mais amostralmente eficiente que SARSA
✓ Base para algoritmos modernos de RL profundo

✅ DESVANTAGENS:

• Pode superestimar valores (Double Q-Learning resolve)
• Mais sensível a hiperparâmetros
• Pode ser instável com aproximadores de função
""")

print("\n" + "=" * 70)
print("CONCLUSÃO")
print("=" * 70)

print("""
✅ Q-Learning é um algoritmo off-policy poderoso e versátil.
✅ Ele aprende a política ótima enquanto explora com ε-greedy.
✅ No labirinto, o agente aprendeu o caminho ideal para o tesouro.
✅ A função valor mostra claramente a distância até o objetivo.
✅ Q-Learning é a base dos métodos modernos de Deep RL.

RESUMO DO EXPERIMENTO:
• O agente aprendeu a evitar paredes e encontrar o tesouro.
• A função valor converge para valores próximos da distância real.
• A política ótima mostra o caminho mais curto.
• Q-Learning é eficiente mesmo com exploração inicial alta.
""")

print("\n✅ PROGRAMA CONCLUÍDO COM SUCESSO!")

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

241

242

243

244

245

246

247

248

249

250

251

252

253

254

255

256

257

258

259

260

261

262

263

264

265

266

267

268

269

270

271

272

273

274

275

276

277

278

279

280

281

282

283

284

285

286

287

288

289

290

291

292

293

294

295

296

297

298

299

300

301

302

303

304

305

306

307

308

309

310

311

312

313

314

315

316

317

318

319

320

321

322

323

324

325

326

327

328

329

330

331

332

333

334

335

336

337

338

339

340

341

342

343

344

345

346

347

348

349

350

351

352

353

354

355

356

357

358

359

360

361

362

363

364

365

366

367

368

369

370

371

372

373

374

375

376

377

378

379

380

381

382

383

384

385

386

387

388

389

390

391

392

393

394

395

396

397

398

399

400

401

402

403

404

405

406

407

408

409

410

411

412

413

414

415

416

417

418

419

420

421

422

423

424

425

426

427

428

429

430

431

432

433

434

435

436

437

438

439

440

441

442

443

444

445

446

447

448

449

450

451

452

453

454

455

456

457

458

459

460

461

462

463

464

465

466

467

468

469

470

471

472

473

474

475

476

477

478

479

480

481

482

483

484

485

486

487

488

489

490

491

492

493

494

495

496

497

498

499

500

501

502

503

504

505

506

507

508

509

510

511

512

513

514

515

516

517

518

519

520

521

522

523

524

525

526

527

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import random

import time

from tqdm import tqdm

print("=" * 70)

print("Q-LEARNING: APRENDIZADO OFF-POLICY POR DIFERENÇA TEMPORAL")

print("=" * 70)

# ============================================

# AMBIENTE: LABIRINTO 4x4 COM TESOURO

# ============================================

class Labirinto:

"""Labirinto 4x4 com paredes e tesouro"""

def __init__(self):

# Mapa: 0=caminho, 1=parede, 2=tesouro

self.grid = np.array([

[0, 0, 0, 0],

[0, 1, 0, 0],

[0, 0, 2, 0]

])

self.n_estados = 16

self.n_acoes = 4 # 0=cima, 1=baixo, 2=esq, 3=dir

self.inicio = 0

self.tesouro = 14 # posição (3,2)

def reset(self):

self.estado = self.inicio

return self.estado

def step(self, acao):

"""Executa ação e retorna (próximo_estado, recompensa, terminou)"""

linha = self.estado // 4

coluna = self.estado % 4

# Calcula movimento

if acao == 0: # cima

nl = max(0, linha - 1)

nc = coluna

elif acao == 1: # baixo

nl = min(3, linha + 1)

nc = coluna

elif acao == 2: # esquerda

nl = linha

nc = max(0, coluna - 1)

else: # direita

nl = linha

nc = min(3, coluna + 1)

# Verifica parede

if self.grid[nl, nc] == 1:

return self.estado, -0.5, False

novo_estado = nl * 4 + nc

self.estado = novo_estado

# Verifica tesouro

if self.grid[nl, nc] == 2:

return novo_estado, 10.0, True

# Movimento normal

return novo_estado, -0.1, False

# ============================================

# AGENTE Q-LEARNING (OFF-POLICY)

# ============================================

class QLearningAgente:

"""Agente Q-Learning off-policy"""

def __init__(self, n_estados, n_acoes, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.1):

self.Q = np.zeros((n_estados, n_acoes))

self.alpha = alpha

self.gamma = gamma

self.epsilon = epsilon

self.epsilon_min = 0.01

self.epsilon_decay = 0.995

self.n_estados = n_estados

self.n_acoes = n_acoes

# Para tracking

self.historico_erros = []

def escolher_acao(self, estado):

"""Política de comportamento ε-greedy (off-policy)"""

if random.random() < self.epsilon:

return random.randint(0, self.n_acoes - 1)

return np.argmax(self.Q[estado])

def melhor_acao(self, estado):

"""Política alvo gulosa (para avaliação)"""

return np.argmax(self.Q[estado])

def aprender(self, estado, acao, recompensa, prox_estado, terminou):

"""Atualização Q-Learning: usa MAX sobre ações futuras (off-policy)"""

if terminou:

alvo = recompensa

else:

alvo = recompensa + self.gamma * np.max(self.Q[prox_estado])

erro_td = alvo - self.Q[estado, acao]

self.Q[estado, acao] += self.alpha * erro_td

self.historico_erros.append(abs(erro_td))

return erro_td

def decair_epsilon(self):

"""Reduz exploração gradualmente"""

self.epsilon = max(self.epsilon_min, self.epsilon * self.epsilon_decay)

# ============================================

# TREINAMENTO DO Q-LEARNING

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("TREINAMENTO DO Q-LEARNING")

print("=" * 70)

num_episodios = 2000

env = Labirinto()

agente = QLearningAgente(n_estados=16, n_acoes=4, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.3)

# Armazena histórico

recompensas_por_episodio = []

passos_por_episodio = []

valores_iniciais = []

epsilon_historico = []

print("\n🚀 Treinando...\n")

with tqdm(total=num_episodios, desc="Q-Learning", unit="ep",

ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}, {rate_fmt}]') as pbar:

for ep in range(num_episodios):

estado = env.reset()

terminou = False

recompensa_total = 0

passos = 0

while not terminou and passos < 100:

acao = agente.escolher_acao(estado)

prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao)

agente.aprender(estado, acao, recompensa, prox_estado, terminou)

recompensa_total += recompensa

estado = prox_estado

passos += 1

recompensas_por_episodio.append(recompensa_total)

passos_por_episodio.append(passos)

valores_iniciais.append(agente.Q[0, :].max())

epsilon_historico.append(agente.epsilon)

agente.decair_epsilon()

# Atualiza barra

if (ep + 1) % 100 == 0:

media_recomp = np.mean(recompensas_por_episodio[-100:])

melhor_valor = agente.Q[0, :].max()

pbar.set_postfix({'Recomp': f'{media_recomp:.1f}', 'V(0)': f'{melhor_valor:.2f}', 'ε': f'{agente.epsilon:.3f}'})

pbar.update(100)

elif ep == 0:

pbar.update(1)

print("\n✅ Treinamento concluído!")

# ============================================

# AVALIAÇÃO DO AGENTE (POLÍTICA GULOSA)

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("AVALIAÇÃO DA POLÍTICA ÓTIMA (SEM EXPLORAÇÃO)")

print("=" * 70)

def avaliar_politica_gulosa(agente, n_testes=100):

"""Avalia usando a política gulosa (melhor ação)"""

# Salva epsilon original

eps_original = agente.epsilon

agente.epsilon = 0

recompensas_teste = []

passos_teste = []

sucessos = 0

with tqdm(total=n_testes, desc="Testando política gulosa", unit="teste",

ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}]') as pbar:

for _ in range(n_testes):

estado = env.reset()

terminou = False

recompensa_total = 0

passos = 0

while not terminou and passos < 100:

acao = agente.melhor_acao(estado)

estado, recompensa, terminou = env.step(acao)

recompensa_total += recompensa

passos += 1

if recompensa_total > 0:

sucessos += 1

recompensas_teste.append(recompensa_total)

passos_teste.append(passos)

pbar.update(1)

# Restaura epsilon

agente.epsilon = eps_original

return np.mean(recompensas_teste), np.mean(passos_teste), sucessos / n_testes * 100

recomp_media, passos_medio, taxa_sucesso = avaliar_politica_gulosa(agente)

print(f"\n🏆 RESULTADOS DA POLÍTICA ÓTIMA:")

print(f" - Recompensa média: {recomp_media:.2f}")

print(f" - Passos médios: {passos_medio:.1f}")

print(f" - Taxa de sucesso: {taxa_sucesso:.1f}%")

# ============================================

# VISUALIZAÇÃO DA Q-TABLE

# ============================================

print("\n📊 Gerando visualizações...")

plt.figure(figsize=(14, 5))

# Gráfico 1: Convergência do valor do estado inicial

plt.subplot(1, 2, 1)

plt.plot(valores_iniciais, 'b-', linewidth=1.5, alpha=0.7)

plt.xlabel('Episódio')

plt.ylabel('V(estado inicial)')

plt.title('Convergência do Valor do Estado Inicial')

plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.axhline(y=agente.Q[0, :].max(), color='r', linestyle='--', label=f'Final: {agente.Q[0, :].max():.2f}')

plt.legend()

# Gráfico 2: Evolução da exploração (epsilon)

plt.subplot(1, 2, 2)

plt.plot(epsilon_historico, 'g-', linewidth=1.5)

plt.xlabel('Episódio')

plt.ylabel('ε (exploração)')

plt.title('Decaimento da Exploração')

plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.yscale('log')

plt.tight_layout()

plt.show()

# ============================================

# VISUALIZAÇÃO DA FUNÇÃO VALOR E POLÍTICA

# ============================================

print("\n📊 Visualizando função valor e política aprendida...")

plt.figure(figsize=(14, 5))

# Função Valor V(s) = max_a Q(s,a)

plt.subplot(1, 2, 1)

V = np.max(agente.Q, axis=1).reshape(4, 4)

im = plt.imshow(V, cmap='RdYlGn', interpolation='nearest', vmin=0, vmax=10)

plt.colorbar(im, label='Valor V(s)')

for i in range(4):

for j in range(4):

s = i * 4 + j

if env.grid[i, j] == 1:

plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=16, color='gray')

elif s == env.tesouro:

plt.text(j, i, '💰', ha='center', va='center', fontsize=14)

else:

valor = V[i, j]

cor = 'white' if valor < 5 else 'black'

plt.text(j, i, f'{valor:.1f}', ha='center', va='center', fontsize=10, color=cor)

plt.title('Função Valor V*(s) - Q-Learning')

plt.xlabel('Coluna')

plt.ylabel('Linha')

# Política ótima

plt.subplot(1, 2, 2)

setas = ['↑', '↓', '←', '→']

for i in range(4):

for j in range(4):

s = i * 4 + j

if env.grid[i, j] == 1:

plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=20, color='gray')

elif s == env.tesouro:

plt.text(j, i, '💰', ha='center', va='center', fontsize=20)

else:

melhor_acao = np.argmax(agente.Q[s])

plt.text(j, i, setas[melhor_acao], ha='center', va='center', fontsize=22)

plt.xlim(-0.5, 3.5)

plt.ylim(3.5, -0.5)

plt.title('Política Ótima π*(s) - Q-Learning')

plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()

plt.show()

# ============================================

# MAPA DE CALOR DA Q-TABLE

# ============================================

print("\n📊 Mapa de calor da Q-Table (valores para cada ação)...")

plt.figure(figsize=(12, 8))

# Mostra Q(s,a) para cada estado e ação

for acao in range(4):

plt.subplot(2, 2, acao + 1)

Q_acao = agente.Q[:, acao].reshape(4, 4)

# Mascara paredes

Q_masked = np.ma.masked_where(env.grid == 1, Q_acao)

im = plt.imshow(Q_masked, cmap='Blues', interpolation='nearest', vmin=-1, vmax=10)

plt.colorbar(im, label=f'Q(s,{setas[acao]})')

for i in range(4):

for j in range(4):

s = i * 4 + j

if env.grid[i, j] == 1:

plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=16, color='gray')

elif s == env.tesouro:

plt.text(j, i, '💰', ha='center', va='center', fontsize=14)

else:

plt.text(j, i, f'{Q_acao[i, j]:.1f}', ha='center', va='center', fontsize=9)

plt.title(f'Q(s, {setas[acao]})')

plt.xlabel('Coluna')

plt.ylabel('Linha')

plt.tight_layout()

plt.show()

# ============================================

# DEMONSTRAÇÃO DO CAMINHO APRENDIDO

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("DEMONSTRAÇÃO DO CAMINHO APRENDIDO")

print("=" * 70)

def demonstrar_caminho(agente):

"""Mostra uma trajetória seguindo a política ótima"""

estado = env.reset()

caminho = [estado]

terminou = False

passo = 0

print("\n🎮 Trajetória do agente:")

print(" Posição (linha, coluna) → Ação → Próxima posição")

while not terminou and passo < 20:

linha_atual = estado // 4

coluna_atual = estado % 4

acao = agente.melhor_acao(estado)

seta = ['↑', '↓', '←', '→'][acao]

prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao)

prox_linha = prox_estado // 4

prox_coluna = prox_estado % 4

print(f" ({linha_atual},{coluna_atual}) → {seta} → ({prox_linha},{prox_coluna}) | recompensa: {recompensa}")

caminho.append(prox_estado)

estado = prox_estado

passo += 1

if recompensa > 0:

print(f"\n💰 TESOURO ENCONTRADO em {passo} passos!")

else:

print(f"\n❌ Não conseguiu encontrar o tesouro")

demonstrar_caminho(agente)

# ============================================

# COMPARAÇÃO: Q-LEARNING vs SARSA

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("COMPARAÇÃO: Q-LEARNING (OFF-POLICY) vs SARSA (ON-POLICY)")

print("=" * 70)

# Cria agente SARSA para comparação

class SarsaAgente:

def __init__(self, n_estados, n_acoes, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.3):

self.Q = np.zeros((n_estados, n_acoes))

self.alpha = alpha

self.gamma = gamma

self.epsilon = epsilon

self.epsilon_min = 0.01

self.epsilon_decay = 0.995

def escolher_acao(self, estado):

if random.random() < self.epsilon:

return random.randint(0, 3)

return np.argmax(self.Q[estado])

def aprender(self, estado, acao, recompensa, prox_estado, prox_acao, terminou):

if terminou:

alvo = recompensa

else:

alvo = recompensa + self.gamma * self.Q[prox_estado, prox_acao]

self.Q[estado, acao] += self.alpha * (alvo - self.Q[estado, acao])

def decair_epsilon(self):

self.epsilon = max(self.epsilon_min, self.epsilon * self.epsilon_decay)

# Treina SARSA rapidamente

sarsa = SarsaAgente(16, 4)

recompensas_sarsa = []

with tqdm(total=500, desc="SARSA (comparação)", unit="ep", ncols=80) as pbar:

for ep in range(500):

estado = env.reset()

acao = sarsa.escolher_acao(estado)

terminou = False

recomp_total = 0

while not terminou:

prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao)

prox_acao = sarsa.escolher_acao(prox_estado) if not terminou else None

sarsa.aprender(estado, acao, recompensa, prox_estado, prox_acao, terminou)

recomp_total += recompensa

estado = prox_estado

acao = prox_acao if not terminou else acao

recompensas_sarsa.append(recomp_total)

sarsa.decair_epsilon()

pbar.update(1)

# Comparação final

print("\n📊 COMPARAÇÃO FINAL:")

print(f" Q-Learning (off-policy):")

print(f" - Valor final V(início): {agente.Q[0, :].max():.2f}")

print(f" - Recompensa média (teste): {recomp_media:.2f}")

print(f" SARSA (on-policy):")

print(f" - Valor final V(início): {sarsa.Q[0, :].max():.2f}")

print(f" - Recompensa média (teste): {np.mean(recompensas_sarsa[-100:]):.2f}")

# ============================================

# EXPLICAÇÃO MATEMÁTICA

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("FUNDAMENTOS DO Q-LEARNING")

print("=" * 70)

print("""

✅ Q-LEARNING: ALGORITMO OFF-POLICY FUNDAMENTAL

Q-Learning é um método de diferença temporal que aprende a política ótima

independentemente da política de comportamento.

✅ FÓRMULA DE ATUALIZAÇÃO:

[latex] Q(s,a) \leftarrow Q(s,a) + \\alpha [r + \\gamma \\max_{a'} Q(s',a') - Q(s,a)] [/latex]

Onde:

- (s,a): par estado-ação atual

- r: recompensa imediata

- s': próximo estado

- max_{a'} Q(s',a'): melhor valor possível no próximo estado

✅ DIFERENÇA CRÍTICA PARA SARSA:

• SARSA: usa Q(s',a') onde a' é a ação real (on-policy)

• Q-LEARNING: usa max_a Q(s',a) (off-policy)

✅ IMPLICAÇÕES DO OFF-POLICY:

• A política de comportamento (ε-greedy) pode ser diferente da política alvo (gulosa)

• O agente pode aprender com demonstrações ou replay de experiências

• Converge para a política ótima mesmo com exploração constante

✅ HIPERPARÂMETROS:

• α (alpha): Taxa de aprendizado (0.1 típico)

• γ (gamma): Fator de desconto (0.95 típico)

• ε (epsilon): Exploração inicial (0.3 típico)

✅ VARIAÇÕES IMPORTANTES:

• DOUBLE Q-LEARNING: Reduz superestimação usando duas Q-tables

• DEEP Q-NETWORK (DQN): Usa redes neurais para espaços contínuos

• PRIORITIZED REPLAY: Amostra experiências importantes

✅ VANTAGENS DO Q-LEARNING:

✓ Off-policy: pode aprender de qualquer fonte de dados

✓ Converge para política ótima (garantido teoricamente)

✓ Mais amostralmente eficiente que SARSA

✓ Base para algoritmos modernos de RL profundo

✅ DESVANTAGENS:

• Pode superestimar valores (Double Q-Learning resolve)

• Mais sensível a hiperparâmetros

• Pode ser instável com aproximadores de função

""")

print("\n" + "=" * 70)

print("CONCLUSÃO")

print("=" * 70)

print("""

✅ Q-Learning é um algoritmo off-policy poderoso e versátil.

✅ Ele aprende a política ótima enquanto explora com ε-greedy.

✅ No labirinto, o agente aprendeu o caminho ideal para o tesouro.

✅ A função valor mostra claramente a distância até o objetivo.

✅ Q-Learning é a base dos métodos modernos de Deep RL.

RESUMO DO EXPERIMENTO:

• O agente aprendeu a evitar paredes e encontrar o tesouro.

• A função valor converge para valores próximos da distância real.

• A política ótima mostra o caminho mais curto.

• Q-Learning é eficiente mesmo com exploração inicial alta.

""")

print("\n✅ PROGRAMA CONCLUÍDO COM SUCESSO!")

Indice

Características da arquitetura Q-Learning

Hiperparâmetros e fórmulas matemáticas

Exemplo clássico: labirinto com recompensas

Deixe um comentário Cancelar resposta