Double Q-Learning: corrigindo a superestimação

4.2 – Metodos Baseados em Valor
4.2.3 – Temporal Difference – TD
4.2.3.3 – Double Q-Learning

LEGENDA

Principal

Ramo

Metodo

Problemas

Modelo

Arquitetura

O Double Q-Learning resolve um problema clássico do Q-Learning. Primeiramente, o Q-Learning padrão tende a superestimar valores. Isso ocorre porque ele usa o máximo sobre ações estimadas. Em segundo lugar, a superestimação pode levar a políticas subótimas. Por conseguinte, o Double Q-Learning usa duas tabelas Q independentes. Uma tabela escolhe a melhor ação. A outra tabela avalia o valor dessa ação.

Características da arquitetura Double Q-Learning

A arquitetura mantém duas funções Q separadas: Q_A e Q_B. Cada atualização usa uma tabela para seleção e outra para avaliação. A fórmula é \( Q_A(s,a) \leftarrow Q_A(s,a) + \alpha [r + \gamma Q_B(s’, \arg\max_{a’} Q_A(s’,a’)) – Q_A(s,a)] \). Similarmente, Q_B é atualizada de forma simétrica. Esse desacoplamento reduz o viés de maximização. Portanto, as estimativas são mais precisas.

A política de comportamento pode ser baseada na soma das duas tabelas. Ou usamos a média para escolher ações. A exploração ainda é feita com ε-greedy. Contudo, a atualização é mais conservadora. O Double Q-Learning é especialmente útil em ambientes estocásticos. Ele também melhora a estabilidade do aprendizado. Consequentemente, é amplamente usado em implementações modernas do DQN.

Hiperparâmetros e fórmulas matemáticas

Os hiperparâmetros são similares ao Q-Learning padrão. A taxa de aprendizado α tipicamente é 0.1. O fator de desconto γ é 0.95 ou 0.99. A taxa de exploração ε decai ao longo do tempo. A única diferença é a manutenção de duas tabelas. O custo computacional dobra, mas a convergência melhora. A atualização completa é \( Q_A(s,a) \leftarrow Q_A(s,a) + \alpha (r + \gamma Q_B(s’, a^*) – Q_A(s,a)) \), onde \( a^* = \arg\max_{a’} Q_A(s’, a’) \).

O erro TD no Double Q-Learning é \( \delta = r + \gamma Q_B(s’, a^*) – Q_A(s,a) \). Esse erro é usado para atualizar apenas uma tabela por vez. As duas tabelas são atualizadas alternadamente. Ou podemos escolher aleatoriamente qual atualizar. No final, a política é extraída da soma \( Q_A + Q_B \). Estudos mostram que Double Q-Learning converge mais rápido. Ele também é mais robusto a ruídos nas recompensas.

Exemplo clássico: ambiente com ruído

Considere um ambiente com dois estados e duas ações. As recompensas têm alto ruído estocástico. O Q-Learning padrão superestima os valores das ações. Isso leva a escolhas erradas. O Double Q-Learning corrige esse problema. O código abaixo compara ambos os algoritmos. Ele mostra como o Double Q-Learning é mais estável e preciso.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random
from tqdm import tqdm
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')

print("=" * 70)
print("DOUBLE Q-LEARNING: CORRIGINDO A SUPERESTIMAÇÃO")
print("=" * 70)

# ============================================
# AMBIENTE: BANDIDO ESTOCÁSTICO COM RUÍDO
# ============================================

class AmbienteEstocastico:
    """
    Ambiente simples com dois estados e duas ações.
    As recompensas têm alta variância para causar superestimação.
    """
    
    def __init__(self):
        # Recompensas verdadeiras de cada ação em cada estado
        self.recompensas_verdadeiras = {
            (0, 0): 1.0,   # estado 0, ação 0
            (0, 1): 0.8,   # estado 0, ação 1
            (1, 0): 0.9,   # estado 1, ação 0
            (1, 1): 1.2    # estado 1, ação 1
        }
        self.n_estados = 2
        self.n_acoes = 2
        self.estado = 0
        self.gamma = 0.95
        
    def reset(self):
        self.estado = 0
        return self.estado
    
    def step(self, acao):
        """Retorna recompensa com ruído gaussiano"""
        recompensa_real = self.recompensas_verdadeiras[(self.estado, acao)]
        # Adiciona ruído significativo para causar superestimação
        recompensa = np.random.normal(recompensa_real, 0.5)
        
        # Transição determinística para próximo estado
        self.estado = 1 if self.estado == 0 else 0
        
        # Termina após 10 passos (episódio longo)
        terminou = False
        return self.estado, recompensa, terminou


# ============================================
# Q-LEARNING PADRÃO (COM SUPERESTIMAÇÃO)
# ============================================

class QLearningAgente:
    """Agente Q-Learning padrão que sofre superestimação"""
    
    def __init__(self, n_estados, n_acoes, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.1):
        self.Q = np.zeros((n_estados, n_acoes))
        self.alpha = alpha
        self.gamma = gamma
        self.epsilon = epsilon
        self.epsilon_min = 0.01
        self.epsilon_decay = 0.995
        self.n_estados = n_estados
        self.n_acoes = n_acoes
        
    def escolher_acao(self, estado):
        if random.random() < self.epsilon:
            return random.randint(0, self.n_acoes - 1)
        return np.argmax(self.Q[estado])
    
    def aprender(self, estado, acao, recompensa, prox_estado, terminou):
        """Atualização Q-Learning padrão"""
        if terminou:
            alvo = recompensa
        else:
            alvo = recompensa + self.gamma * np.max(self.Q[prox_estado])
        
        erro = alvo - self.Q[estado, acao]
        self.Q[estado, acao] += self.alpha * erro
        return erro
    
    def decair_epsilon(self):
        self.epsilon = max(self.epsilon_min, self.epsilon * self.epsilon_decay)
    
    def get_valor(self, estado):
        return np.max(self.Q[estado])


# ============================================
# DOUBLE Q-LEARNING (CORRIGIDO)
# ============================================

class DoubleQLearningAgente:
    """Agente Double Q-Learning que reduz superestimação"""
    
    def __init__(self, n_estados, n_acoes, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.1):
        self.Q_A = np.zeros((n_estados, n_acoes))
        self.Q_B = np.zeros((n_estados, n_acoes))
        self.alpha = alpha
        self.gamma = gamma
        self.epsilon = epsilon
        self.epsilon_min = 0.01
        self.epsilon_decay = 0.995
        self.n_estados = n_estados
        self.n_acoes = n_acoes
        
    def escolher_acao(self, estado):
        """Política baseada na soma das duas Q-tables"""
        if random.random() < self.epsilon:
            return random.randint(0, self.n_acoes - 1)
        
        Q_total = self.Q_A[estado] + self.Q_B[estado]
        return np.argmax(Q_total)
    
    def aprender(self, estado, acao, recompensa, prox_estado, terminou):
        """
        Atualização Double Q-Learning.
        Escolhe aleatoriamente qual tabela atualizar.
        """
        if random.random() < 0.5:
            # Atualiza Q_A usando Q_B para avaliação
            if terminou:
                alvo = recompensa
            else:
                melhor_acao_A = np.argmax(self.Q_A[prox_estado])
                alvo = recompensa + self.gamma * self.Q_B[prox_estado, melhor_acao_A]
            
            erro = alvo - self.Q_A[estado, acao]
            self.Q_A[estado, acao] += self.alpha * erro
        else:
            # Atualiza Q_B usando Q_A para avaliação
            if terminou:
                alvo = recompensa
            else:
                melhor_acao_B = np.argmax(self.Q_B[prox_estado])
                alvo = recompensa + self.gamma * self.Q_A[prox_estado, melhor_acao_B]
            
            erro = alvo - self.Q_B[estado, acao]
            self.Q_B[estado, acao] += self.alpha * erro
        
        return erro
    
    def decair_epsilon(self):
        self.epsilon = max(self.epsilon_min, self.epsilon * self.epsilon_decay)
    
    def get_valor(self, estado):
        """Valor é a média ou soma das duas tabelas"""
        return np.max((self.Q_A[estado] + self.Q_B[estado]) / 2)


# ============================================
# EXPERIMENTO COMPARATIVO
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("COMPARAÇÃO: Q-LEARNING vs DOUBLE Q-LEARNING")
print("=" * 70)

num_episodios = 3000  # Reduzido para mais velocidade
passos_por_episodio = 20

# Inicializa agentes
env = AmbienteEstocastico()
ql_agente = QLearningAgente(n_estados=2, n_acoes=2, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.1)
dql_agente = DoubleQLearningAgente(n_estados=2, n_acoes=2, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.1)

# Armazena históricos
valores_ql = []
valores_dql = []

# Valores verdadeiros (para comparação)
valor_verdadeiro = 1.0  # melhor ação no estado 0 (ação 0)

print("\n🚀 Treinando Q-Learning padrão...\n")

with tqdm(total=num_episodios, desc="Q-Learning", unit="ep",
          ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}]') as pbar:
    
    for ep in range(num_episodios):
        estado = env.reset()
        
        for passo in range(passos_por_episodio):
            acao = ql_agente.escolher_acao(estado)
            prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao)
            ql_agente.aprender(estado, acao, recompensa, prox_estado, terminou)
            estado = prox_estado
        
        valores_ql.append(ql_agente.get_valor(0))
        ql_agente.decair_epsilon()
        
        if (ep + 1) % 500 == 0:
            pbar.set_postfix({'Valor': f'{valores_ql[-1]:.2f}'})
            pbar.update(500)
        elif ep == 0:
            pbar.update(1)

print("\n🚀 Treinando Double Q-Learning...\n")

with tqdm(total=num_episodios, desc="Double Q-Learning", unit="ep",
          ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}]') as pbar:
    
    for ep in range(num_episodios):
        estado = env.reset()
        
        for passo in range(passos_por_episodio):
            acao = dql_agente.escolher_acao(estado)
            prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao)
            dql_agente.aprender(estado, acao, recompensa, prox_estado, terminou)
            estado = prox_estado
        
        valores_dql.append(dql_agente.get_valor(0))
        dql_agente.decair_epsilon()
        
        if (ep + 1) % 500 == 0:
            pbar.set_postfix({'Valor': f'{valores_dql[-1]:.2f}'})
            pbar.update(500)
        elif ep == 0:
            pbar.update(1)

print("\n✅ Treinamento concluído!")

# ============================================
# ANÁLISE DA SUPERESTIMAÇÃO
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("ANÁLISE DA SUPERESTIMAÇÃO")
print("=" * 70)

# Calcula o viés (superestimação) de cada método
media_ql = np.mean(valores_ql[-1000:])
media_dql = np.mean(valores_dql[-1000:])
vies_ql = media_ql - valor_verdadeiro
vies_dql = media_dql - valor_verdadeiro

print(f"\n📊 VALOR VERDADEIRO do estado inicial: {valor_verdadeiro:.2f}")
print(f"\n📈 Q-LEARNING:")
print(f"   - Valor estimado médio (últimos 1000): {media_ql:.3f}")
print(f"   - Viés (superestimação): {vies_ql:+.3f}")
print(f"\n📈 DOUBLE Q-LEARNING:")
print(f"   - Valor estimado médio (últimos 1000): {media_dql:.3f}")
print(f"   - Viés (superestimação): {vies_dql:+.3f}")

melhoria = vies_ql - vies_dql
if melhoria > 0:
    print(f"\n✅ Double Q-Learning reduziu a superestimação em {melhoria:.3f}")
else:
    print(f"\n⚠️ Ambos os métodos tiveram desempenho similar")

# ============================================
# VISUALIZAÇÃO DOS RESULTADOS
# ============================================

print("\n📊 Gerando gráficos...")

plt.figure(figsize=(14, 5))

# Gráfico 1: Evolução dos valores estimados
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(valores_ql, 'b-', linewidth=0.5, alpha=0.5, label='Q-Learning')
plt.plot(valores_dql, 'g-', linewidth=0.5, alpha=0.5, label='Double Q-Learning')
plt.axhline(y=valor_verdadeiro, color='r', linestyle='--', linewidth=2, 
            label=f'Valor verdadeiro = {valor_verdadeiro:.2f}')
plt.xlabel('Episódio')
plt.ylabel('Valor estimado V(0)')
plt.title('Comparação: Superestimação')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

# Gráfico 2: Média móvel (suavizada)
plt.subplot(1, 2, 2)
window = 200
media_ql_smooth = np.convolve(valores_ql, np.ones(window)/window, mode='valid')
media_dql_smooth = np.convolve(valores_dql, np.ones(window)/window, mode='valid')
plt.plot(media_ql_smooth, 'b-', linewidth=2, label='Q-Learning')
plt.plot(media_dql_smooth, 'g-', linewidth=2, label='Double Q-Learning')
plt.axhline(y=valor_verdadeiro, color='r', linestyle='--', linewidth=2, 
            label=f'Valor verdadeiro = {valor_verdadeiro:.2f}')
plt.xlabel('Episódio')
plt.ylabel(f'Valor estimado V(0) (média {window})')
plt.title('Convergência Suavizada')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

# ============================================
# VISUALIZAÇÃO DO VIÉS
# ============================================

plt.figure(figsize=(12, 4))

# Gráfico 3: Distribuição dos valores finais
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.hist(valores_ql[-1000:], bins=30, alpha=0.5, label='Q-Learning', color='blue')
plt.hist(valores_dql[-1000:], bins=30, alpha=0.5, label='Double Q-Learning', color='green')
plt.axvline(x=valor_verdadeiro, color='r', linestyle='--', linewidth=2, 
            label='Valor verdadeiro')
plt.xlabel('Valor estimado V(0)')
plt.ylabel('Frequência')
plt.title('Distribuição dos Valores (últimos 1000 episódios)')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

# Gráfico 4: Erro absoluto médio
plt.subplot(1, 2, 2)
erro_ql = np.abs(np.array(valores_ql) - valor_verdadeiro)
erro_dql = np.abs(np.array(valores_dql) - valor_verdadeiro)
media_erro_ql = np.convolve(erro_ql, np.ones(window)/window, mode='valid')
media_erro_dql = np.convolve(erro_dql, np.ones(window)/window, mode='valid')

plt.plot(media_erro_ql, 'b-', linewidth=2, label='Q-Learning')
plt.plot(media_erro_dql, 'g-', linewidth=2, label='Double Q-Learning')
plt.xlabel('Episódio')
plt.ylabel('Erro absoluto médio')
plt.title('Erro de Estimativa (quanto menor, melhor)')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

# ============================================
# DEMONSTRAÇÃO DAS Q-TABLES
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("COMPARAÇÃO DAS Q-TABLES FINAIS")
print("=" * 70)

print("\n📊 Q-LEARNING (uma tabela):")
print("   Estado | Ação 0 | Ação 1 | Melhor ação")
print("   " + "-" * 45)
for estado in range(2):
    q0 = ql_agente.Q[estado, 0]
    q1 = ql_agente.Q[estado, 1]
    melhor = 0 if q0 > q1 else 1
    print(f"     {estado}    |  {q0:.3f}  |  {q1:.3f}  |     {melhor}")

print("\n📊 DOUBLE Q-LEARNING (duas tabelas):")
print("   Estado | Q_A(0) | Q_A(1) | Q_B(0) | Q_B(1) | Média Ação0 | Média Ação1")
print("   " + "-" * 70)
for estado in range(2):
    qa0 = dql_agente.Q_A[estado, 0]
    qa1 = dql_agente.Q_A[estado, 1]
    qb0 = dql_agente.Q_B[estado, 0]
    qb1 = dql_agente.Q_B[estado, 1]
    media0 = (qa0 + qb0) / 2
    media1 = (qa1 + qb1) / 2
    melhor = 0 if media0 > media1 else 1
    print(f"     {estado}    |  {qa0:.3f}  |  {qa1:.3f}  |  {qb0:.3f}  |  {qb1:.3f}  |    {media0:.3f}    |    {media1:.3f}    |   {melhor}")

# ============================================
# EXPLICAÇÃO MATEMÁTICA
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("FUNDAMENTOS DO DOUBLE Q-LEARNING")
print("=" * 70)

print("""
✅ O PROBLEMA DA SUPERESTIMAÇÃO:

No Q-Learning padrão, a atualização usa max_a Q(s',a).
Isso introduz um viés positivo porque o máximo de estimativas ruidosas
tende a superestimar o valor verdadeiro.

✅ SOLUÇÃO DO DOUBLE Q-LEARNING:

Usa duas Q-tables independentes Q^A e Q^B.
A seleção da ação usa uma tabela, a avaliação usa outra.

FÓRMULA DE ATUALIZAÇÃO:

Q^A(s,a) ← Q^A(s,a) + α [r + γ Q^B(s', argmax_a' Q^A(s',a')) - Q^A(s,a)]

Q^B(s,a) ← Q^B(s,a) + α [r + γ Q^A(s', argmax_a' Q^B(s',a')) - Q^B(s,a)]

✅ POR QUE FUNCIONA:

O valor esperado do máximo de duas variáveis independentes
é menor que o máximo da mesma variável com ela mesma.

E[max(X,Y)] ≤ E[max(X,X)]

✅ HIPERPARÂMETROS (mesmos do Q-Learning):

• α (alpha): Taxa de aprendizado (0.1)
• γ (gamma): Fator de desconto (0.95)
• ε (epsilon): Exploração (0.1, decaindo)

✅ VANTAGENS DO DOUBLE Q-LEARNING:

✓ Reduz significativamente a superestimação
✓ Converge para valores mais próximos do verdadeiro
✓ Mais robusto a ambientes estocásticos
✓ Mantém a simplicidade do Q-Learning

✅ DESVANTAGENS:

• Dobra o uso de memória (duas tabelas)
• Custo computacional ligeiramente maior
• Requer mais episódios para convergência completa
""")

print("\n" + "=" * 70)
print("CONCLUSÃO")
print("=" * 70)

# Calcula a melhoria percentual
if vies_ql != 0:
    melhoria_percentual = (abs(vies_ql) - abs(vies_dql)) / abs(vies_ql) * 100
    print(f"""
✅ Double Q-Learning corrige um problema fundamental do Q-Learning.
✅ A superestimação foi reduzida significativamente no experimento.
✅ O método é simples e eficaz, com pouca sobrecarga.
✅ É a base do DDQN, usado em aplicações state-of-the-art.
✅ Recomendado para qualquer problema com recompensas estocásticas.

RESULTADOS DO EXPERIMENTO:
• Q-Learning padrão superestimou o valor em {vies_ql:.3f}
• Double Q-Learning superestimou em apenas {vies_dql:.3f}
• Melhoria de {melhoria:.3f} no viés ({melhoria_percentual:.1f}% de redução)
• Double Q-Learning é mais estável e confiável
""")
else:
    print("""
✅ Double Q-Learning corrige um problema fundamental do Q-Learning.
✅ O método é simples e eficaz, com pouca sobrecarga.
✅ É a base do DDQN, usado em aplicações state-of-the-art.
✅ Recomendado para qualquer problema com recompensas estocásticas.
""")

print("\n✅ PROGRAMA CONCLUÍDO COM SUCESSO!")

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import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import random

from tqdm import tqdm

import warnings

warnings.filterwarnings('ignore')

print("=" * 70)

print("DOUBLE Q-LEARNING: CORRIGINDO A SUPERESTIMAÇÃO")

print("=" * 70)

# ============================================

# AMBIENTE: BANDIDO ESTOCÁSTICO COM RUÍDO

# ============================================

class AmbienteEstocastico:

"""

Ambiente simples com dois estados e duas ações.

As recompensas têm alta variância para causar superestimação.

"""

def __init__(self):

# Recompensas verdadeiras de cada ação em cada estado

self.recompensas_verdadeiras = {

(0, 0): 1.0, # estado 0, ação 0

(0, 1): 0.8, # estado 0, ação 1

(1, 0): 0.9, # estado 1, ação 0

(1, 1): 1.2 # estado 1, ação 1

}

self.n_estados = 2

self.n_acoes = 2

self.estado = 0

self.gamma = 0.95

def reset(self):

self.estado = 0

return self.estado

def step(self, acao):

"""Retorna recompensa com ruído gaussiano"""

recompensa_real = self.recompensas_verdadeiras[(self.estado, acao)]

# Adiciona ruído significativo para causar superestimação

recompensa = np.random.normal(recompensa_real, 0.5)

# Transição determinística para próximo estado

self.estado = 1 if self.estado == 0 else 0

# Termina após 10 passos (episódio longo)

terminou = False

return self.estado, recompensa, terminou

# ============================================

# Q-LEARNING PADRÃO (COM SUPERESTIMAÇÃO)

# ============================================

class QLearningAgente:

"""Agente Q-Learning padrão que sofre superestimação"""

def __init__(self, n_estados, n_acoes, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.1):

self.Q = np.zeros((n_estados, n_acoes))

self.alpha = alpha

self.gamma = gamma

self.epsilon = epsilon

self.epsilon_min = 0.01

self.epsilon_decay = 0.995

self.n_estados = n_estados

self.n_acoes = n_acoes

def escolher_acao(self, estado):

if random.random() < self.epsilon:

return random.randint(0, self.n_acoes - 1)

return np.argmax(self.Q[estado])

def aprender(self, estado, acao, recompensa, prox_estado, terminou):

"""Atualização Q-Learning padrão"""

if terminou:

alvo = recompensa

else:

alvo = recompensa + self.gamma * np.max(self.Q[prox_estado])

erro = alvo - self.Q[estado, acao]

self.Q[estado, acao] += self.alpha * erro

return erro

def decair_epsilon(self):

self.epsilon = max(self.epsilon_min, self.epsilon * self.epsilon_decay)

def get_valor(self, estado):

return np.max(self.Q[estado])

# ============================================

# DOUBLE Q-LEARNING (CORRIGIDO)

# ============================================

class DoubleQLearningAgente:

"""Agente Double Q-Learning que reduz superestimação"""

def __init__(self, n_estados, n_acoes, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.1):

self.Q_A = np.zeros((n_estados, n_acoes))

self.Q_B = np.zeros((n_estados, n_acoes))

self.alpha = alpha

self.gamma = gamma

self.epsilon = epsilon

self.epsilon_min = 0.01

self.epsilon_decay = 0.995

self.n_estados = n_estados

self.n_acoes = n_acoes

def escolher_acao(self, estado):

"""Política baseada na soma das duas Q-tables"""

if random.random() < self.epsilon:

return random.randint(0, self.n_acoes - 1)

Q_total = self.Q_A[estado] + self.Q_B[estado]

return np.argmax(Q_total)

def aprender(self, estado, acao, recompensa, prox_estado, terminou):

"""

Atualização Double Q-Learning.

Escolhe aleatoriamente qual tabela atualizar.

"""

if random.random() < 0.5:

# Atualiza Q_A usando Q_B para avaliação

if terminou:

alvo = recompensa

else:

melhor_acao_A = np.argmax(self.Q_A[prox_estado])

alvo = recompensa + self.gamma * self.Q_B[prox_estado, melhor_acao_A]

erro = alvo - self.Q_A[estado, acao]

self.Q_A[estado, acao] += self.alpha * erro

else:

# Atualiza Q_B usando Q_A para avaliação

if terminou:

alvo = recompensa

else:

melhor_acao_B = np.argmax(self.Q_B[prox_estado])

alvo = recompensa + self.gamma * self.Q_A[prox_estado, melhor_acao_B]

erro = alvo - self.Q_B[estado, acao]

self.Q_B[estado, acao] += self.alpha * erro

return erro

def decair_epsilon(self):

self.epsilon = max(self.epsilon_min, self.epsilon * self.epsilon_decay)

def get_valor(self, estado):

"""Valor é a média ou soma das duas tabelas"""

return np.max((self.Q_A[estado] + self.Q_B[estado]) / 2)

# ============================================

# EXPERIMENTO COMPARATIVO

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("COMPARAÇÃO: Q-LEARNING vs DOUBLE Q-LEARNING")

print("=" * 70)

num_episodios = 3000 # Reduzido para mais velocidade

passos_por_episodio = 20

# Inicializa agentes

env = AmbienteEstocastico()

ql_agente = QLearningAgente(n_estados=2, n_acoes=2, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.1)

dql_agente = DoubleQLearningAgente(n_estados=2, n_acoes=2, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.1)

# Armazena históricos

valores_ql = []

valores_dql = []

# Valores verdadeiros (para comparação)

valor_verdadeiro = 1.0 # melhor ação no estado 0 (ação 0)

print("\n🚀 Treinando Q-Learning padrão...\n")

with tqdm(total=num_episodios, desc="Q-Learning", unit="ep",

ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}]') as pbar:

for ep in range(num_episodios):

estado = env.reset()

for passo in range(passos_por_episodio):

acao = ql_agente.escolher_acao(estado)

prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao)

ql_agente.aprender(estado, acao, recompensa, prox_estado, terminou)

estado = prox_estado

valores_ql.append(ql_agente.get_valor(0))

ql_agente.decair_epsilon()

if (ep + 1) % 500 == 0:

pbar.set_postfix({'Valor': f'{valores_ql[-1]:.2f}'})

pbar.update(500)

elif ep == 0:

pbar.update(1)

print("\n🚀 Treinando Double Q-Learning...\n")

with tqdm(total=num_episodios, desc="Double Q-Learning", unit="ep",

ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}]') as pbar:

for ep in range(num_episodios):

estado = env.reset()

for passo in range(passos_por_episodio):

acao = dql_agente.escolher_acao(estado)

prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao)

dql_agente.aprender(estado, acao, recompensa, prox_estado, terminou)

estado = prox_estado

valores_dql.append(dql_agente.get_valor(0))

dql_agente.decair_epsilon()

if (ep + 1) % 500 == 0:

pbar.set_postfix({'Valor': f'{valores_dql[-1]:.2f}'})

pbar.update(500)

elif ep == 0:

pbar.update(1)

print("\n✅ Treinamento concluído!")

# ============================================

# ANÁLISE DA SUPERESTIMAÇÃO

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("ANÁLISE DA SUPERESTIMAÇÃO")

print("=" * 70)

# Calcula o viés (superestimação) de cada método

media_ql = np.mean(valores_ql[-1000:])

media_dql = np.mean(valores_dql[-1000:])

vies_ql = media_ql - valor_verdadeiro

vies_dql = media_dql - valor_verdadeiro

print(f"\n📊 VALOR VERDADEIRO do estado inicial: {valor_verdadeiro:.2f}")

print(f"\n📈 Q-LEARNING:")

print(f" - Valor estimado médio (últimos 1000): {media_ql:.3f}")

print(f" - Viés (superestimação): {vies_ql:+.3f}")

print(f"\n📈 DOUBLE Q-LEARNING:")

print(f" - Valor estimado médio (últimos 1000): {media_dql:.3f}")

print(f" - Viés (superestimação): {vies_dql:+.3f}")

melhoria = vies_ql - vies_dql

if melhoria > 0:

print(f"\n✅ Double Q-Learning reduziu a superestimação em {melhoria:.3f}")

else:

print(f"\n⚠️ Ambos os métodos tiveram desempenho similar")

# ============================================

# VISUALIZAÇÃO DOS RESULTADOS

# ============================================

print("\n📊 Gerando gráficos...")

plt.figure(figsize=(14, 5))

# Gráfico 1: Evolução dos valores estimados

plt.subplot(1, 2, 1)

plt.plot(valores_ql, 'b-', linewidth=0.5, alpha=0.5, label='Q-Learning')

plt.plot(valores_dql, 'g-', linewidth=0.5, alpha=0.5, label='Double Q-Learning')

plt.axhline(y=valor_verdadeiro, color='r', linestyle='--', linewidth=2,

label=f'Valor verdadeiro = {valor_verdadeiro:.2f}')

plt.xlabel('Episódio')

plt.ylabel('Valor estimado V(0)')

plt.title('Comparação: Superestimação')

plt.legend()

plt.grid(True, alpha=0.3)

# Gráfico 2: Média móvel (suavizada)

plt.subplot(1, 2, 2)

window = 200

media_ql_smooth = np.convolve(valores_ql, np.ones(window)/window, mode='valid')

media_dql_smooth = np.convolve(valores_dql, np.ones(window)/window, mode='valid')

plt.plot(media_ql_smooth, 'b-', linewidth=2, label='Q-Learning')

plt.plot(media_dql_smooth, 'g-', linewidth=2, label='Double Q-Learning')

plt.axhline(y=valor_verdadeiro, color='r', linestyle='--', linewidth=2,

label=f'Valor verdadeiro = {valor_verdadeiro:.2f}')

plt.xlabel('Episódio')

plt.ylabel(f'Valor estimado V(0) (média {window})')

plt.title('Convergência Suavizada')

plt.legend()

plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()

plt.show()

# ============================================

# VISUALIZAÇÃO DO VIÉS

# ============================================

plt.figure(figsize=(12, 4))

# Gráfico 3: Distribuição dos valores finais

plt.subplot(1, 2, 1)

plt.hist(valores_ql[-1000:], bins=30, alpha=0.5, label='Q-Learning', color='blue')

plt.hist(valores_dql[-1000:], bins=30, alpha=0.5, label='Double Q-Learning', color='green')

plt.axvline(x=valor_verdadeiro, color='r', linestyle='--', linewidth=2,

label='Valor verdadeiro')

plt.xlabel('Valor estimado V(0)')

plt.ylabel('Frequência')

plt.title('Distribuição dos Valores (últimos 1000 episódios)')

plt.legend()

plt.grid(True, alpha=0.3)

# Gráfico 4: Erro absoluto médio

plt.subplot(1, 2, 2)

erro_ql = np.abs(np.array(valores_ql) - valor_verdadeiro)

erro_dql = np.abs(np.array(valores_dql) - valor_verdadeiro)

media_erro_ql = np.convolve(erro_ql, np.ones(window)/window, mode='valid')

media_erro_dql = np.convolve(erro_dql, np.ones(window)/window, mode='valid')

plt.plot(media_erro_ql, 'b-', linewidth=2, label='Q-Learning')

plt.plot(media_erro_dql, 'g-', linewidth=2, label='Double Q-Learning')

plt.xlabel('Episódio')

plt.ylabel('Erro absoluto médio')

plt.title('Erro de Estimativa (quanto menor, melhor)')

plt.legend()

plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()

plt.show()

# ============================================

# DEMONSTRAÇÃO DAS Q-TABLES

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("COMPARAÇÃO DAS Q-TABLES FINAIS")

print("=" * 70)

print("\n📊 Q-LEARNING (uma tabela):")

print(" Estado | Ação 0 | Ação 1 | Melhor ação")

print(" " + "-" * 45)

for estado in range(2):

q0 = ql_agente.Q[estado, 0]

q1 = ql_agente.Q[estado, 1]

melhor = 0 if q0 > q1 else 1

print(f" {estado} | {q0:.3f} | {q1:.3f} | {melhor}")

print("\n📊 DOUBLE Q-LEARNING (duas tabelas):")

print(" Estado | Q_A(0) | Q_A(1) | Q_B(0) | Q_B(1) | Média Ação0 | Média Ação1")

print(" " + "-" * 70)

for estado in range(2):

qa0 = dql_agente.Q_A[estado, 0]

qa1 = dql_agente.Q_A[estado, 1]

qb0 = dql_agente.Q_B[estado, 0]

qb1 = dql_agente.Q_B[estado, 1]

media0 = (qa0 + qb0) / 2

media1 = (qa1 + qb1) / 2

melhor = 0 if media0 > media1 else 1

print(f" {estado} | {qa0:.3f} | {qa1:.3f} | {qb0:.3f} | {qb1:.3f} | {media0:.3f} | {media1:.3f} | {melhor}")

# ============================================

# EXPLICAÇÃO MATEMÁTICA

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("FUNDAMENTOS DO DOUBLE Q-LEARNING")

print("=" * 70)

print("""

✅ O PROBLEMA DA SUPERESTIMAÇÃO:

No Q-Learning padrão, a atualização usa max_a Q(s',a).

Isso introduz um viés positivo porque o máximo de estimativas ruidosas

tende a superestimar o valor verdadeiro.

✅ SOLUÇÃO DO DOUBLE Q-LEARNING:

Usa duas Q-tables independentes Q^A e Q^B.

A seleção da ação usa uma tabela, a avaliação usa outra.

FÓRMULA DE ATUALIZAÇÃO:

Q^A(s,a) ← Q^A(s,a) + α [r + γ Q^B(s', argmax_a' Q^A(s',a')) - Q^A(s,a)]

Q^B(s,a) ← Q^B(s,a) + α [r + γ Q^A(s', argmax_a' Q^B(s',a')) - Q^B(s,a)]

✅ POR QUE FUNCIONA:

O valor esperado do máximo de duas variáveis independentes

é menor que o máximo da mesma variável com ela mesma.

E[max(X,Y)] ≤ E[max(X,X)]

✅ HIPERPARÂMETROS (mesmos do Q-Learning):

• α (alpha): Taxa de aprendizado (0.1)

• γ (gamma): Fator de desconto (0.95)

• ε (epsilon): Exploração (0.1, decaindo)

✅ VANTAGENS DO DOUBLE Q-LEARNING:

✓ Reduz significativamente a superestimação

✓ Converge para valores mais próximos do verdadeiro

✓ Mais robusto a ambientes estocásticos

✓ Mantém a simplicidade do Q-Learning

✅ DESVANTAGENS:

• Dobra o uso de memória (duas tabelas)

• Custo computacional ligeiramente maior

• Requer mais episódios para convergência completa

""")

print("\n" + "=" * 70)

print("CONCLUSÃO")

print("=" * 70)

# Calcula a melhoria percentual

if vies_ql != 0:

melhoria_percentual = (abs(vies_ql) - abs(vies_dql)) / abs(vies_ql) * 100

print(f"""

✅ Double Q-Learning corrige um problema fundamental do Q-Learning.

✅ A superestimação foi reduzida significativamente no experimento.

✅ O método é simples e eficaz, com pouca sobrecarga.

✅ É a base do DDQN, usado em aplicações state-of-the-art.

✅ Recomendado para qualquer problema com recompensas estocásticas.

RESULTADOS DO EXPERIMENTO:

• Q-Learning padrão superestimou o valor em {vies_ql:.3f}

• Double Q-Learning superestimou em apenas {vies_dql:.3f}

• Melhoria de {melhoria:.3f} no viés ({melhoria_percentual:.1f}% de redução)

• Double Q-Learning é mais estável e confiável

""")

else:

print("""

✅ Double Q-Learning corrige um problema fundamental do Q-Learning.

✅ O método é simples e eficaz, com pouca sobrecarga.

✅ É a base do DDQN, usado em aplicações state-of-the-art.

✅ Recomendado para qualquer problema com recompensas estocásticas.

""")

print("\n✅ PROGRAMA CONCLUÍDO COM SUCESSO!")

Indice

Características da arquitetura Double Q-Learning

Hiperparâmetros e fórmulas matemáticas

Exemplo clássico: ambiente com ruído

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