Q-Learning é um dos algoritmos mais importantes do aprendizado por reforço. Primeiramente, ele é um método off-policy. Isso significa que ele aprende com uma política diferente da que age. Em segundo lugar, ele usa diferença temporal (TD) para atualizações. Por conseguinte, o Q-Learning pode aprender a política ótima enquanto explora. Esta é sua grande vantagem sobre métodos on-policy como o SARSA.
Características da arquitetura Q-Learning
O Q-Learning atualiza a função Q(s,a) usando o máximo sobre ações futuras. A fórmula é \( Q(s,a) \leftarrow Q(s,a) + \alpha [r + \gamma \max_{a’} Q(s’,a’) – Q(s,a)] \). Diferente do SARSA, ele não usa a ação real do próximo passo. Ele assume que a melhor ação será tomada. Portanto, o Q-Learning é mais otimista. Ele busca a política ótima mesmo durante a exploração.
A arquitetura armazena Q(s,a) em uma tabela ou rede neural. A política de comportamento (behavior) é tipicamente ε-greedy. A política alvo (target) é gulosa (maximização). Essa separação é a essência do off-policy learning. O agente pode aprender com experiências passadas. Ele também pode aprender com demonstrações humanas. Consequentemente, o Q-Learning é muito flexível e poderoso.
Hiperparâmetros e fórmulas matemáticas
Os hiperparâmetros incluem α (taxa aprendizado), γ (desconto) e ε (exploração). Valores típicos são α=0.1, γ=0.95, ε=0.1. O algoritmo converge se todos os pares forem visitados. A condição é \( \sum \alpha_t = \infty \) e \(\) \sum \alpha_t^2 < \infty [/latex]. O erro TD do Q-Learning é [latex] \delta = r + \gamma \max_{a'} Q(s',a') - Q(s,a) [/latex]. Este erro é usado para atualizar a Q-table.
Uma variante importante é o Double Q-Learning. Ele resolve o problema de superestimação. Dois estimadores Q são mantidos independentemente. A atualização usa o mínimo entre eles. Outra variante é o Q-Learning com decaying epsilon. A exploração diminui ao longo do tempo. Isso melhora a convergência para a política gulosa. O Q-Learning é a base do DQN (Deep Q-Network), que usa redes neurais profundas.
Exemplo clássico: labirinto com recompensas
Imagine um labirinto 4×4 com um tesouro escondido. O agente começa no canto superior esquerdo. Ele recebe recompensa -1 por passo. O tesouro dá +10 ao ser encontrado. Paredes bloqueiam certas células. O objetivo é maximizar a recompensa total. O Q-Learning encontra o caminho ótimo mesmo com exploração. O código abaixo implementa e visualiza o aprendizado.
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import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import random import time from tqdm import tqdm print("=" * 70) print("Q-LEARNING: APRENDIZADO OFF-POLICY POR DIFERENÇA TEMPORAL") print("=" * 70) # ============================================ # AMBIENTE: LABIRINTO 4x4 COM TESOURO # ============================================ class Labirinto: """Labirinto 4x4 com paredes e tesouro""" def __init__(self): # Mapa: 0=caminho, 1=parede, 2=tesouro self.grid = np.array([ [0, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 2, 0] ]) self.n_estados = 16 self.n_acoes = 4 # 0=cima, 1=baixo, 2=esq, 3=dir self.inicio = 0 self.tesouro = 14 # posição (3,2) def reset(self): self.estado = self.inicio return self.estado def step(self, acao): """Executa ação e retorna (próximo_estado, recompensa, terminou)""" linha = self.estado // 4 coluna = self.estado % 4 # Calcula movimento if acao == 0: # cima nl = max(0, linha - 1) nc = coluna elif acao == 1: # baixo nl = min(3, linha + 1) nc = coluna elif acao == 2: # esquerda nl = linha nc = max(0, coluna - 1) else: # direita nl = linha nc = min(3, coluna + 1) # Verifica parede if self.grid[nl, nc] == 1: return self.estado, -0.5, False novo_estado = nl * 4 + nc self.estado = novo_estado # Verifica tesouro if self.grid[nl, nc] == 2: return novo_estado, 10.0, True # Movimento normal return novo_estado, -0.1, False # ============================================ # AGENTE Q-LEARNING (OFF-POLICY) # ============================================ class QLearningAgente: """Agente Q-Learning off-policy""" def __init__(self, n_estados, n_acoes, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.1): self.Q = np.zeros((n_estados, n_acoes)) self.alpha = alpha self.gamma = gamma self.epsilon = epsilon self.epsilon_min = 0.01 self.epsilon_decay = 0.995 self.n_estados = n_estados self.n_acoes = n_acoes # Para tracking self.historico_erros = [] def escolher_acao(self, estado): """Política de comportamento ε-greedy (off-policy)""" if random.random() < self.epsilon: return random.randint(0, self.n_acoes - 1) return np.argmax(self.Q[estado]) def melhor_acao(self, estado): """Política alvo gulosa (para avaliação)""" return np.argmax(self.Q[estado]) def aprender(self, estado, acao, recompensa, prox_estado, terminou): """Atualização Q-Learning: usa MAX sobre ações futuras (off-policy)""" if terminou: alvo = recompensa else: alvo = recompensa + self.gamma * np.max(self.Q[prox_estado]) erro_td = alvo - self.Q[estado, acao] self.Q[estado, acao] += self.alpha * erro_td self.historico_erros.append(abs(erro_td)) return erro_td def decair_epsilon(self): """Reduz exploração gradualmente""" self.epsilon = max(self.epsilon_min, self.epsilon * self.epsilon_decay) # ============================================ # TREINAMENTO DO Q-LEARNING # ============================================ print("\n" + "=" * 70) print("TREINAMENTO DO Q-LEARNING") print("=" * 70) num_episodios = 2000 env = Labirinto() agente = QLearningAgente(n_estados=16, n_acoes=4, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.3) # Armazena histórico recompensas_por_episodio = [] passos_por_episodio = [] valores_iniciais = [] epsilon_historico = [] print("\n🚀 Treinando...\n") with tqdm(total=num_episodios, desc="Q-Learning", unit="ep", ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}, {rate_fmt}]') as pbar: for ep in range(num_episodios): estado = env.reset() terminou = False recompensa_total = 0 passos = 0 while not terminou and passos < 100: acao = agente.escolher_acao(estado) prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao) agente.aprender(estado, acao, recompensa, prox_estado, terminou) recompensa_total += recompensa estado = prox_estado passos += 1 recompensas_por_episodio.append(recompensa_total) passos_por_episodio.append(passos) valores_iniciais.append(agente.Q[0, :].max()) epsilon_historico.append(agente.epsilon) agente.decair_epsilon() # Atualiza barra if (ep + 1) % 100 == 0: media_recomp = np.mean(recompensas_por_episodio[-100:]) melhor_valor = agente.Q[0, :].max() pbar.set_postfix({'Recomp': f'{media_recomp:.1f}', 'V(0)': f'{melhor_valor:.2f}', 'ε': f'{agente.epsilon:.3f}'}) pbar.update(100) elif ep == 0: pbar.update(1) print("\n✅ Treinamento concluído!") # ============================================ # AVALIAÇÃO DO AGENTE (POLÍTICA GULOSA) # ============================================ print("\n" + "=" * 70) print("AVALIAÇÃO DA POLÍTICA ÓTIMA (SEM EXPLORAÇÃO)") print("=" * 70) def avaliar_politica_gulosa(agente, n_testes=100): """Avalia usando a política gulosa (melhor ação)""" # Salva epsilon original eps_original = agente.epsilon agente.epsilon = 0 recompensas_teste = [] passos_teste = [] sucessos = 0 with tqdm(total=n_testes, desc="Testando política gulosa", unit="teste", ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}]') as pbar: for _ in range(n_testes): estado = env.reset() terminou = False recompensa_total = 0 passos = 0 while not terminou and passos < 100: acao = agente.melhor_acao(estado) estado, recompensa, terminou = env.step(acao) recompensa_total += recompensa passos += 1 if recompensa_total > 0: sucessos += 1 recompensas_teste.append(recompensa_total) passos_teste.append(passos) pbar.update(1) # Restaura epsilon agente.epsilon = eps_original return np.mean(recompensas_teste), np.mean(passos_teste), sucessos / n_testes * 100 recomp_media, passos_medio, taxa_sucesso = avaliar_politica_gulosa(agente) print(f"\n🏆 RESULTADOS DA POLÍTICA ÓTIMA:") print(f" - Recompensa média: {recomp_media:.2f}") print(f" - Passos médios: {passos_medio:.1f}") print(f" - Taxa de sucesso: {taxa_sucesso:.1f}%") # ============================================ # VISUALIZAÇÃO DA Q-TABLE # ============================================ print("\n📊 Gerando visualizações...") plt.figure(figsize=(14, 5)) # Gráfico 1: Convergência do valor do estado inicial plt.subplot(1, 2, 1) plt.plot(valores_iniciais, 'b-', linewidth=1.5, alpha=0.7) plt.xlabel('Episódio') plt.ylabel('V(estado inicial)') plt.title('Convergência do Valor do Estado Inicial') plt.grid(True, alpha=0.3) plt.axhline(y=agente.Q[0, :].max(), color='r', linestyle='--', label=f'Final: {agente.Q[0, :].max():.2f}') plt.legend() # Gráfico 2: Evolução da exploração (epsilon) plt.subplot(1, 2, 2) plt.plot(epsilon_historico, 'g-', linewidth=1.5) plt.xlabel('Episódio') plt.ylabel('ε (exploração)') plt.title('Decaimento da Exploração') plt.grid(True, alpha=0.3) plt.yscale('log') plt.tight_layout() plt.show() # ============================================ # VISUALIZAÇÃO DA FUNÇÃO VALOR E POLÍTICA # ============================================ print("\n📊 Visualizando função valor e política aprendida...") plt.figure(figsize=(14, 5)) # Função Valor V(s) = max_a Q(s,a) plt.subplot(1, 2, 1) V = np.max(agente.Q, axis=1).reshape(4, 4) im = plt.imshow(V, cmap='RdYlGn', interpolation='nearest', vmin=0, vmax=10) plt.colorbar(im, label='Valor V(s)') for i in range(4): for j in range(4): s = i * 4 + j if env.grid[i, j] == 1: plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=16, color='gray') elif s == env.tesouro: plt.text(j, i, '💰', ha='center', va='center', fontsize=14) else: valor = V[i, j] cor = 'white' if valor < 5 else 'black' plt.text(j, i, f'{valor:.1f}', ha='center', va='center', fontsize=10, color=cor) plt.title('Função Valor V*(s) - Q-Learning') plt.xlabel('Coluna') plt.ylabel('Linha') # Política ótima plt.subplot(1, 2, 2) setas = ['↑', '↓', '←', '→'] for i in range(4): for j in range(4): s = i * 4 + j if env.grid[i, j] == 1: plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=20, color='gray') elif s == env.tesouro: plt.text(j, i, '💰', ha='center', va='center', fontsize=20) else: melhor_acao = np.argmax(agente.Q[s]) plt.text(j, i, setas[melhor_acao], ha='center', va='center', fontsize=22) plt.xlim(-0.5, 3.5) plt.ylim(3.5, -0.5) plt.title('Política Ótima π*(s) - Q-Learning') plt.grid(True, alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.show() # ============================================ # MAPA DE CALOR DA Q-TABLE # ============================================ print("\n📊 Mapa de calor da Q-Table (valores para cada ação)...") plt.figure(figsize=(12, 8)) # Mostra Q(s,a) para cada estado e ação for acao in range(4): plt.subplot(2, 2, acao + 1) Q_acao = agente.Q[:, acao].reshape(4, 4) # Mascara paredes Q_masked = np.ma.masked_where(env.grid == 1, Q_acao) im = plt.imshow(Q_masked, cmap='Blues', interpolation='nearest', vmin=-1, vmax=10) plt.colorbar(im, label=f'Q(s,{setas[acao]})') for i in range(4): for j in range(4): s = i * 4 + j if env.grid[i, j] == 1: plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=16, color='gray') elif s == env.tesouro: plt.text(j, i, '💰', ha='center', va='center', fontsize=14) else: plt.text(j, i, f'{Q_acao[i, j]:.1f}', ha='center', va='center', fontsize=9) plt.title(f'Q(s, {setas[acao]})') plt.xlabel('Coluna') plt.ylabel('Linha') plt.tight_layout() plt.show() # ============================================ # DEMONSTRAÇÃO DO CAMINHO APRENDIDO # ============================================ print("\n" + "=" * 70) print("DEMONSTRAÇÃO DO CAMINHO APRENDIDO") print("=" * 70) def demonstrar_caminho(agente): """Mostra uma trajetória seguindo a política ótima""" estado = env.reset() caminho = [estado] terminou = False passo = 0 print("\n🎮 Trajetória do agente:") print(" Posição (linha, coluna) → Ação → Próxima posição") while not terminou and passo < 20: linha_atual = estado // 4 coluna_atual = estado % 4 acao = agente.melhor_acao(estado) seta = ['↑', '↓', '←', '→'][acao] prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao) prox_linha = prox_estado // 4 prox_coluna = prox_estado % 4 print(f" ({linha_atual},{coluna_atual}) → {seta} → ({prox_linha},{prox_coluna}) | recompensa: {recompensa}") caminho.append(prox_estado) estado = prox_estado passo += 1 if recompensa > 0: print(f"\n💰 TESOURO ENCONTRADO em {passo} passos!") else: print(f"\n❌ Não conseguiu encontrar o tesouro") demonstrar_caminho(agente) # ============================================ # COMPARAÇÃO: Q-LEARNING vs SARSA # ============================================ print("\n" + "=" * 70) print("COMPARAÇÃO: Q-LEARNING (OFF-POLICY) vs SARSA (ON-POLICY)") print("=" * 70) # Cria agente SARSA para comparação class SarsaAgente: def __init__(self, n_estados, n_acoes, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.3): self.Q = np.zeros((n_estados, n_acoes)) self.alpha = alpha self.gamma = gamma self.epsilon = epsilon self.epsilon_min = 0.01 self.epsilon_decay = 0.995 def escolher_acao(self, estado): if random.random() < self.epsilon: return random.randint(0, 3) return np.argmax(self.Q[estado]) def aprender(self, estado, acao, recompensa, prox_estado, prox_acao, terminou): if terminou: alvo = recompensa else: alvo = recompensa + self.gamma * self.Q[prox_estado, prox_acao] self.Q[estado, acao] += self.alpha * (alvo - self.Q[estado, acao]) def decair_epsilon(self): self.epsilon = max(self.epsilon_min, self.epsilon * self.epsilon_decay) # Treina SARSA rapidamente sarsa = SarsaAgente(16, 4) recompensas_sarsa = [] with tqdm(total=500, desc="SARSA (comparação)", unit="ep", ncols=80) as pbar: for ep in range(500): estado = env.reset() acao = sarsa.escolher_acao(estado) terminou = False recomp_total = 0 while not terminou: prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao) prox_acao = sarsa.escolher_acao(prox_estado) if not terminou else None sarsa.aprender(estado, acao, recompensa, prox_estado, prox_acao, terminou) recomp_total += recompensa estado = prox_estado acao = prox_acao if not terminou else acao recompensas_sarsa.append(recomp_total) sarsa.decair_epsilon() pbar.update(1) # Comparação final print("\n📊 COMPARAÇÃO FINAL:") print(f" Q-Learning (off-policy):") print(f" - Valor final V(início): {agente.Q[0, :].max():.2f}") print(f" - Recompensa média (teste): {recomp_media:.2f}") print(f" SARSA (on-policy):") print(f" - Valor final V(início): {sarsa.Q[0, :].max():.2f}") print(f" - Recompensa média (teste): {np.mean(recompensas_sarsa[-100:]):.2f}") # ============================================ # EXPLICAÇÃO MATEMÁTICA # ============================================ print("\n" + "=" * 70) print("FUNDAMENTOS DO Q-LEARNING") print("=" * 70) print(""" ✅ Q-LEARNING: ALGORITMO OFF-POLICY FUNDAMENTAL Q-Learning é um método de diferença temporal que aprende a política ótima independentemente da política de comportamento. ✅ FÓRMULA DE ATUALIZAÇÃO: [latex] Q(s,a) \leftarrow Q(s,a) + \\alpha [r + \\gamma \\max_{a'} Q(s',a') - Q(s,a)] [/latex] Onde: - (s,a): par estado-ação atual - r: recompensa imediata - s': próximo estado - max_{a'} Q(s',a'): melhor valor possível no próximo estado ✅ DIFERENÇA CRÍTICA PARA SARSA: • SARSA: usa Q(s',a') onde a' é a ação real (on-policy) • Q-LEARNING: usa max_a Q(s',a) (off-policy) ✅ IMPLICAÇÕES DO OFF-POLICY: • A política de comportamento (ε-greedy) pode ser diferente da política alvo (gulosa) • O agente pode aprender com demonstrações ou replay de experiências • Converge para a política ótima mesmo com exploração constante ✅ HIPERPARÂMETROS: • α (alpha): Taxa de aprendizado (0.1 típico) • γ (gamma): Fator de desconto (0.95 típico) • ε (epsilon): Exploração inicial (0.3 típico) ✅ VARIAÇÕES IMPORTANTES: • DOUBLE Q-LEARNING: Reduz superestimação usando duas Q-tables • DEEP Q-NETWORK (DQN): Usa redes neurais para espaços contínuos • PRIORITIZED REPLAY: Amostra experiências importantes ✅ VANTAGENS DO Q-LEARNING: ✓ Off-policy: pode aprender de qualquer fonte de dados ✓ Converge para política ótima (garantido teoricamente) ✓ Mais amostralmente eficiente que SARSA ✓ Base para algoritmos modernos de RL profundo ✅ DESVANTAGENS: • Pode superestimar valores (Double Q-Learning resolve) • Mais sensível a hiperparâmetros • Pode ser instável com aproximadores de função """) print("\n" + "=" * 70) print("CONCLUSÃO") print("=" * 70) print(""" ✅ Q-Learning é um algoritmo off-policy poderoso e versátil. ✅ Ele aprende a política ótima enquanto explora com ε-greedy. ✅ No labirinto, o agente aprendeu o caminho ideal para o tesouro. ✅ A função valor mostra claramente a distância até o objetivo. ✅ Q-Learning é a base dos métodos modernos de Deep RL. RESUMO DO EXPERIMENTO: • O agente aprendeu a evitar paredes e encontrar o tesouro. • A função valor converge para valores próximos da distância real. • A política ótima mostra o caminho mais curto. • Q-Learning é eficiente mesmo com exploração inicial alta. """) print("\n✅ PROGRAMA CONCLUÍDO COM SUCESSO!") |