Arquivo de Estatística - Página 7 de 9

Média e mediana são duas medidas de tendência central fundamentais em estatística.
Ambas fornecem informações sobre o “centro” de um conjunto de dados, contudo uma é mais sensível a dados extremos (outliers).

O que é Média?

A média aritmética é calculada somando todos os valores de um conjunto
de dados e dividindo pelo número de elementos. É representada pela fórmula:

			    \({\color{Red} \sum_{i=1}^{n} x_i} = x_{1} + x_{2} + .. + x_{n}\)

                \(\bar{x}_{n} =\frac{1}{n} \times {\color{Red} \sum_{i=1}^{n} x_i} = \frac{{\color{Red} \sum_{i=1}^{n} x_i}}{n}\)

                \({\color{Red} S_{n}} = x_{1} + x_{2} + .. + x_{n}\)

				\(\bar{x} = \frac{1}{n} \times {\color{Red} S_{n}} = \frac{{\color{Red} S_{n}}}{n}\)

Onde:

$\bar{x}$ é a média
$x_i$ são os valores individuais
$n$ é o número de elementos no conjunto
$\sum_{i=1}^{n} x_i$ ou $S_{n}$ representa o somatório
$i$ representa um indice ou contador que indica a posição de cada elemento na sequência de dados.

Exemplo com dados reais

Vamos calcular a média dos salários da planilha “media”:

Funcionários	Salários (mil R$)
1	13
2	15
3	20
4	13
5	20
6	13
7	13
8	30
9	16
10	20

Cálculo da média:

Soma = 13 + 15 + 20 + 13 + 20 + 13 + 13 + 30 + 16 + 20 = 173

Número de elementos = 10

Média = 173 ÷ 10 = 17.3 mil R$

Em R, podemos calcular assim:

# Dados da planilha "media"
salarios_media <- c(13, 15, 20, 13, 20, 13, 13, 30, 16, 20)

# Cálculo da média
media <- mean(salarios_media)
print(paste("Média dos salários:", media, "mil R$"))

# Resultado: "Média dos salários: 17.3 mil R$"

# Dados da planilha "media"

salarios_media <- c(13, 15, 20, 13, 20, 13, 13, 30, 16, 20)

# Cálculo da média

media <- mean(salarios_media)

print(paste("Média dos salários:", media, "mil R$"))

# Resultado: "Média dos salários: 17.3 mil R$"

O que é Mediana?

A mediana é o valor que divide um conjunto de dados ordenados em duas partes iguais.
Metade dos valores estão abaixo da mediana e metade estão acima.

Mediana de uma População

Para representar a mediana de uma população, é comum usar:

$\tilde{\mu}$ (mu til) – Por analogia com a média populacional $\mu$
$Med$ – Mantendo a mesma abreviatura, mas aplicada à população
$Md$ – Similar ao caso amostral

Conjunto ÍMPAR de elementos

Para um número ímpar de elementos, a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados.

Exemplo com a planilha “mediana impar” (11 elementos):

Funcionários	Salários (mil R$)
1	13
2	15
3	20
4	13
5	20
6	13
7	13
8	30
9	16
10	20
11	250

Dados ordenados: 13, 13, 13, 13, 15, 16, 20, 20, 20, 30, 250

Mediana = 16 (o 6º elemento, que divide os 11 elementos em duas partes iguais)

# Dados da planilha "mediana impar"
salarios_impar <- c(13, 15, 20, 13, 20, 13, 13, 30, 16, 20, 250)

# Cálculo da mediana
mediana_impar <- median(salarios_impar)
print(paste("Mediana (conjunto ímpar):", mediana_impar, "mil R$"))

# Verificando o processo manualmente
salarios_ordenados <- sort(salarios_impar)
n <- length(salarios_ordenados)
posicao_mediana <- (n + 1) / 2
print(paste("Dados ordenados:", paste(salarios_ordenados, collapse = ", ")))
print(paste("Posição da mediana:", posicao_mediana))
print(paste("Valor na posição", posicao_mediana, ":", salarios_ordenados[posicao_mediana]))

# Resultado: "Mediana (conjunto ímpar): 16 mil R$"

# Dados da planilha "mediana impar"

salarios_impar <- c(13, 15, 20, 13, 20, 13, 13, 30, 16, 20, 250)

# Cálculo da mediana

mediana_impar <- median(salarios_impar)

print(paste("Mediana (conjunto ímpar):", mediana_impar, "mil R$"))

# Verificando o processo manualmente

salarios_ordenados <- sort(salarios_impar)

n <- length(salarios_ordenados)

posicao_mediana <- (n + 1) / 2

print(paste("Dados ordenados:", paste(salarios_ordenados, collapse = ", ")))

print(paste("Posição da mediana:", posicao_mediana))

print(paste("Valor na posição", posicao_mediana, ":", salarios_ordenados[posicao_mediana]))

# Resultado: "Mediana (conjunto ímpar): 16 mil R$"

Conjunto PAR de elementos

Para um número par de elementos, a mediana é a média dos dois valores centrais.

Exemplo com a planilha “mediana par” (10 elementos):

Funcionários	Salários (mil R$)
1	13
2	15
3	20
4	13
5	20
6	13
7	13
8	30
9	16
10	20

Dados ordenados: 13, 13, 13, 13, 15, 16, 20, 20, 20, 30, 250

Mediana = (15 + 16) ÷ 2 = 15.5 (média do 5º e 6º elementos)

# Dados da planilha "mediana par"
salarios_par <- c(13, 15, 20, 13, 20, 13, 13, 30, 16, 20)

# Cálculo da mediana
mediana_par <- median(salarios_par)
print(paste("Mediana (conjunto par):", mediana_par, "mil R$"))

# Verificando o processo manualmente
salarios_ordenados <- sort(salarios_par)
n <- length(salarios_ordenados)
posicao1 <- n / 2
posicao2 <- n / 2 + 1
print(paste("Dados ordenados:", paste(salarios_ordenados, collapse = ", ")))
print(paste("Posições centrais:", posicao1, "e", posicao2))
print(paste("Valores nas posições:", salarios_ordenados[posicao1], "e", salarios_ordenados[posicao2]))
print(paste("Média dos valores:", (salarios_ordenados[posicao1] + salarios_ordenados[posicao2]) / 2))

# Resultado: "Mediana (conjunto par): 15.5 mil R$"

# Dados da planilha "mediana par"

salarios_par <- c(13, 15, 20, 13, 20, 13, 13, 30, 16, 20)

# Cálculo da mediana

mediana_par <- median(salarios_par)

print(paste("Mediana (conjunto par):", mediana_par, "mil R$"))

# Verificando o processo manualmente

salarios_ordenados <- sort(salarios_par)

n <- length(salarios_ordenados)

posicao1 <- n / 2

posicao2 <- n / 2 + 1

print(paste("Dados ordenados:", paste(salarios_ordenados, collapse = ", ")))

print(paste("Posições centrais:", posicao1, "e", posicao2))

print(paste("Valores nas posições:", salarios_ordenados[posicao1], "e", salarios_ordenados[posicao2]))

print(paste("Média dos valores:", (salarios_ordenados[posicao1] + salarios_ordenados[posicao2]) / 2))

# Resultado: "Mediana (conjunto par): 15.5 mil R$"

Comparação entre Média e Mediana

Média

Vantagens:

Considera todos os valores do conjunto
Fácil de calcular e interpretar
Boa para dados com distribuição simétrica

Desvantagens:

Sensível a valores extremos (outliers)
Pode não representar bem o centro em distribuições assimétricas

Mediana

Vantagens:

Robusta a valores extremos (outliers)
Melhor representante do centro em distribuições assimétricas
Fácil de entender como “o valor do meio”

Desvantagens:

Ignora a magnitude dos outros valores
Pode não ser representativa em conjuntos muito pequenos
Mais difícil de usar em análises estatísticas avançadas

Quando usar cada medida?

Use a média quando: Os dados têm distribuição simétrica e não há valores extremos.

Use a mediana quando: Os dados têm distribuição assimétrica ou contêm valores extremos.

No exemplo dos salários, note como a média (17.3) é maior que a mediana (15.5),
indicando uma assimetria à direita causada por salários mais altos que puxam a média para cima.

Conclusão

Média e mediana são ambas medidas de tendência central importantes, mas respondem a perguntas
diferentes sobre os dados. Enquanto a média representa o “centro de gravidade” do conjunto,
a mediana representa o “valor do meio”. A escolha entre elas depende da distribuição dos dados
e da presença de valores extremos.

Em muitos casos, o ideal é reportar ambas as medidas para ter uma visão mais completa
da distribuição dos dados.

Em probabilidade, a classe de eventos aleatórios é o conjunto formado por todos os eventos possíveis (todos os subconjuntos) de um espaço amostral $\Omega$.

$\mathcal{F} = \{ A \mid A \subseteq \Omega \}$

Características Principais

Também chamada de conjunto das partes do espaço amostral
Notação: $\mathcal{P}(\Omega)$ ou $2^\Omega$
Inclui todos os subconjuntos possíveis, desde o vazio até o próprio $\Omega$

Exemplos

Exemplo 1: Moeda

Espaço amostral:
$\Omega = \{Cara, Coroa\}$
Classe de eventos:

$\mathcal{F} = \{\emptyset, \{Cara\}, \{Coroa\}, \{Cara, Coroa\}\}$

Exemplo 2: Dado

Espaço amostral:
$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

A classe de eventos contém:

Evento “número par”: $\{2, 4, 6\}$
Evento “número primo”: $\{2, 3, 5\}$
Todos os 64 subconjuntos possíveis (2⁶)

Emulando lançamento de dados na linguagem R

```{r}
# Resultados COM repetição
resultados <- sample(1:6, 6, replace=TRUE)
print("Com repetições:")
print(resultados)
# Resultados SEM repetição
resultados <- sample(1:6, 6, replace=FALSE)
print("Sem repetições:")
print(resultados)
```
[1] "Com repetições:"
[1] 4 3 2 5 2 5
[1] "Sem repetições:"
[1] 6 4 5 2 3 1

```{r}

# Resultados COM repetição

resultados <- sample(1:6, 6, replace=TRUE)

print("Com repetições:")

print(resultados)

# Resultados SEM repetição

resultados <- sample(1:6, 6, replace=FALSE)

print("Sem repetições:")

print(resultados)

```

[1] "Com repetições:"

[1] 4 3 2 5 2 5

[1] "Sem repetições:"

[1] 6 4 5 2 3 1

Propriedades

Propriedade	Descrição
Contém o espaço amostral	$\Omega \in \mathcal{F}$
Contém o conjunto vazio	$\emptyset \in \mathcal{F}$
Fechada sob complementação	Se $A \in \mathcal{F}$, então $A^c \in \mathcal{F}$
Fechada sob uniões	Se $A, B \in \mathcal{F}$, então $A \cup B \in \mathcal{F}$

Importância

A classe de eventos aleatórios é fundamental porque:

Define exatamente quais subconjuntos podem ter probabilidade associada
Permite operações lógicas entre eventos (e, ou, negação)
Forma a base para a definição de uma medida de probabilidade

Média e Mediana: Conceitos e Aplicações