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Aprendizado por diferença temporal (TD Learning)

10/04/202605/04/2026 Por antonino

4.2 – Metodos Baseados em Valor
4.2.3 – Temporal Difference – TD
4.2.3.1 – SARSA – On-policy
4.2.3.2 – Q-Learning – Off-policy
4.2.3.3 – Double Q-Learning

LEGENDA

Principal

Ramo

Metodo

Problemas

Modelo

Arquitetura

A diferença temporal (TD) combina ideias de Monte Carlo e programação dinâmica. Primeiramente, ela aprende diretamente da experiência como Monte Carlo. Em segundo lugar, ela usa bootstrap como programação dinâmica. Por conseguinte, o TD não precisa de modelo do ambiente. Além disso, ele atualiza os valores antes do fim do episódio. Isso é uma grande vantagem sobre Monte Carlo.

Características do método TD

O TD(0) é a versão mais simples do algoritmo. Ele atualiza o valor após cada passo. A fórmula é \( V(s) \leftarrow V(s) + \alpha [r + \gamma V(s’) – V(s)] \). O termo entre colchetes é chamado erro TD. Ele é calculado imediatamente após a transição. Diferente de Monte Carlo, não esperamos o episódio terminar. Portanto, o TD pode aprender em tarefas contínuas (não episódicas). Essa é uma característica poderosa para problemas reais.

A arquitetura armazena V(s) ou Q(s,a) em uma tabela. Para cada transição (s, a, r, s’), atualizamos o valor. O hiperparâmetro α é a taxa de aprendizado. Valores típicos são 0.1 ou 0.01. O fator de desconto γ é outro hiperparâmetro crítico. A política pode ser ε-greedy ou gulosa. O TD é mais eficiente que Monte Carlo. Ele tem menor variância e converge mais rápido. Contudo, ele pode ter viés devido ao bootstrap.

Fórmulas matemáticas fundamentais

A equação de Bellman para V é \( V^\pi(s) = \mathbb{E}_\pi [r + \gamma V^\pi(s’) | s] \). O TD usa uma amostra dessa expectativa. O erro TD é \( \delta_t = r_{t+1} + \gamma V(s_{t+1}) – V(s_t) \). A atualização incremental é \( V(s_t) \leftarrow V(s_t) + \alpha \delta_t \). Para ação-valor, temos Q-learning: \( Q(s,a) \leftarrow Q(s,a) + \alpha [r + \gamma \max_{a’} Q(s’,a’) – Q(s,a)] \). O SARSA é similar, mas usa a ação real escolhida.

O TD é um método livre de modelo (model-free). Ele não precisa da probabilidade de transição. A convergência é garantida se todos os pares forem visitados. A taxa de aprendizado α deve decair ao longo do tempo. Condições padrão são \( \sum \alpha_t = \infty \) e \(\) \sum \alpha_t^2 < \infty [/latex]. Na prática, usamos α constante para problemas não-estacionários.

Exemplo clássico: labirinto com recompensa ao final

Imagine um labirinto 4×4 com um único objetivo. O agente começa no canto superior esquerdo. Ele recebe recompensa 0 em cada passo. Apenas no objetivo a recompensa é +10. O ambiente é determinístico. O objetivo é aprender o valor de cada estado. O código abaixo implementa TD(0) para resolver o labirinto. Ele compara com Monte Carlo para mostrar eficiência.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random
import time
from tqdm import tqdm
import sys

print("=" * 70)
print("APRENDIZADO POR DIFERENÇA TEMPORAL (TD)")
print("=" * 70)

# ============================================
# AMBIENTE: LABIRINTO 4x4
# ============================================

class Labirinto:
    """Labirinto 4x4 com objetivo no canto inferior direito"""
    
    def __init__(self):
        # Mapa: 0=caminho, 1=parede
        self.grid = np.array([
            [0, 0, 0, 0],
            [0, 1, 0, 0],
            [0, 1, 0, 0],
            [0, 0, 0, 0]
        ])
        self.n_estados = 16
        self.n_acoes = 4  # 0=cima, 1=baixo, 2=esq, 3=dir
        self.inicio = 0
        self.objetivo = 15  # posição (3,3)
        
    def reset(self):
        self.estado = self.inicio
        return self.estado
    
    def step(self, acao):
        """Executa ação e retorna (próximo_estado, recompensa, terminou)"""
        linha = self.estado // 4
        coluna = self.estado % 4
        
        # Calcula movimento
        if acao == 0:  # cima
            nl = max(0, linha - 1)
            nc = coluna
        elif acao == 1:  # baixo
            nl = min(3, linha + 1)
            nc = coluna
        elif acao == 2:  # esquerda
            nl = linha
            nc = max(0, coluna - 1)
        else:  # direita
            nl = linha
            nc = min(3, coluna + 1)
        
        # Verifica parede
        if self.grid[nl, nc] == 1:
            return self.estado, -0.1, False
        
        novo_estado = nl * 4 + nc
        self.estado = novo_estado
        
        # Verifica objetivo
        if novo_estado == self.objetivo:
            return novo_estado, 10.0, True
        
        return novo_estado, -0.05, False

# ============================================
# ALGORITMO TD(0) OTIMIZADO
# ============================================

class TDAgente:
    """Agente que aprende com TD(0)"""
    
    def __init__(self, n_estados, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.1):
        self.V = np.zeros(n_estados)
        self.alpha = alpha
        self.gamma = gamma
        self.epsilon = epsilon
        
        # Pré-computa transições para velocidade
        self._pre_computar_transicoes()
        
    def _pre_computar_transicoes(self):
        """Pré-calcula todos os possíveis próximos estados"""
        self.proximos_estados = {}
        for estado in range(16):
            linha = estado // 4
            coluna = estado % 4
            self.proximos_estados[estado] = []
            for acao in range(4):
                if acao == 0:
                    nl = max(0, linha - 1)
                    nc = coluna
                elif acao == 1:
                    nl = min(3, linha + 1)
                    nc = coluna
                elif acao == 2:
                    nl = linha
                    nc = max(0, coluna - 1)
                else:
                    nl = linha
                    nc = min(3, coluna + 1)
                
                if nl == linha and nc == coluna:
                    continue
                
                novo_estado = nl * 4 + nc
                self.proximos_estados[estado].append((novo_estado, acao))
        
    def escolher_acao(self, estado):
        """Política ε-greedy baseada em valores"""
        if random.random() < self.epsilon:
            return random.randint(0, 3)
        
        melhor_valor = -float('inf')
        melhor_acao = 0
        
        for prox_estado, acao in self.proximos_estados.get(estado, []):
            if self.V[prox_estado] > melhor_valor:
                melhor_valor = self.V[prox_estado]
                melhor_acao = acao
        
        return melhor_acao
    
    def aprender(self, estado, recompensa, prox_estado, terminou):
        """Atualização TD(0)"""
        if terminou:
            alvo = recompensa
        else:
            alvo = recompensa + self.gamma * self.V[prox_estado]
        
        erro_td = alvo - self.V[estado]
        self.V[estado] += self.alpha * erro_td
        return erro_td

# ============================================
# ALGORITMO MONTE CARLO (COMPARAÇÃO)
# ============================================

class MCAgente:
    """Agente Monte Carlo para comparação"""
    
    def __init__(self, n_estados, gamma=0.95, epsilon=0.1):
        self.V = np.zeros(n_estados)
        self.returns = [[] for _ in range(n_estados)]
        self.gamma = gamma
        self.epsilon = epsilon
        self.n_estados = n_estados
        
    def _pre_computar_transicoes(self):
        self.proximos_estados = {}
        for estado in range(16):
            linha = estado // 4
            coluna = estado % 4
            self.proximos_estados[estado] = []
            for acao in range(4):
                if acao == 0:
                    nl = max(0, linha - 1)
                    nc = coluna
                elif acao == 1:
                    nl = min(3, linha + 1)
                    nc = coluna
                elif acao == 2:
                    nl = linha
                    nc = max(0, coluna - 1)
                else:
                    nl = linha
                    nc = min(3, coluna + 1)
                
                if nl == linha and nc == coluna:
                    continue
                
                novo_estado = nl * 4 + nc
                self.proximos_estados[estado].append((novo_estado, acao))
    
    def escolher_acao(self, estado):
        if random.random() < self.epsilon:
            return random.randint(0, 3)
        
        melhor_valor = -float('inf')
        melhor_acao = 0
        
        for prox_estado, acao in self.proximos_estados.get(estado, []):
            if self.V[prox_estado] > melhor_valor:
                melhor_valor = self.V[prox_estado]
                melhor_acao = acao
        
        return melhor_acao
    
    def aprender_episodio(self, episodio):
        G = 0
        for t in range(len(episodio)-1, -1, -1):
            estado, recompensa = episodio[t]
            G = recompensa + self.gamma * G
            self.returns[estado].append(G)
            self.V[estado] = np.mean(self.returns[estado])

# ============================================
# EXPERIMENTO: TD vs MONTE CARLO
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("COMPARAÇÃO: TD(0) vs MONTE CARLO")
print("=" * 70)

num_episodios = 1000  # Reduzido para mais velocidade
env = Labirinto()

# Inicializa agentes
td_agente = TDAgente(n_estados=16, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.1)
mc_agente = MCAgente(n_estados=16, gamma=0.95, epsilon=0.1)

# Pré-computa transições
td_agente._pre_computar_transicoes()
mc_agente._pre_computar_transicoes()

# Armazena histórico
valores_td = []
valores_mc = []
tempo_inicio = time.time()

print("\n🚀 Treinando TD(0)...\n")

# Barra de progresso para TD
with tqdm(total=num_episodios, desc="TD(0)", unit="ep", 
          ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}, {rate_fmt}]') as pbar:
    
    for ep in range(num_episodios):
        estado = env.reset()
        terminou = False
        passo = 0
        
        while not terminou and passo < 100:
            acao = td_agente.escolher_acao(estado)
            prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao)
            td_agente.aprender(estado, recompensa, prox_estado, terminou)
            estado = prox_estado
            passo += 1
        
        valores_td.append(td_agente.V[0])
        
        # Atualiza barra e mostra info
        if (ep + 1) % 50 == 0 or ep == 0:
            pbar.set_postfix({'V(0)': f'{td_agente.V[0]:.2f}'})
            pbar.update(50 if (ep + 1) % 50 == 0 and ep > 0 else 1)

print("\n🚀 Treinando Monte Carlo...\n")

# Barra de progresso para Monte Carlo
with tqdm(total=num_episodios, desc="Monte Carlo", unit="ep",
          ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}, {rate_fmt}]') as pbar:
    
    for ep in range(num_episodios):
        estado = env.reset()
        terminou = False
        episodio_mc = []
        passo = 0
        
        while not terminou and passo < 100:
            acao = mc_agente.escolher_acao(estado)
            prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao)
            episodio_mc.append((estado, recompensa))
            estado = prox_estado
            passo += 1
        
        mc_agente.aprender_episodio(episodio_mc)
        valores_mc.append(mc_agente.V[0])
        
        if (ep + 1) % 50 == 0 or ep == 0:
            pbar.set_postfix({'V(0)': f'{mc_agente.V[0]:.2f}'})
            pbar.update(50 if (ep + 1) % 50 == 0 and ep > 0 else 1)

tempo_total = time.time() - tempo_inicio
print(f"\n✅ Treinamento concluído em {tempo_total:.1f} segundos!")

# ============================================
# AVALIAÇÃO DA POLÍTICA APRENDIDA
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("AVALIAÇÃO DA POLÍTICA APRENDIDA")
print("=" * 70)

def avaliar_politica(agente, n_testes=200, desc="Testando"):
    """Avalia a política do agente com barra de progresso"""
    sucessos = 0
    
    with tqdm(total=n_testes, desc=desc, unit="teste",
              ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}]') as pbar:
        
        for _ in range(n_testes):
            estado = env.reset()
            terminou = False
            passo = 0
            
            while not terminou and passo < 50:
                acao = agente.escolher_acao(estado)
                estado, recompensa, terminou = env.step(acao)
                passo += 1
            
            if recompensa > 0:
                sucessos += 1
            
            pbar.update(1)
    
    return sucessos / n_testes * 100

taxa_td = avaliar_politica(td_agente, desc="Avaliando TD(0)")
taxa_mc = avaliar_politica(mc_agente, desc="Avaliando MC")

print(f"\n🏆 Taxa de sucesso (chegar ao objetivo):")
print(f"   TD(0): {taxa_td:.1f}%")
print(f"   Monte Carlo: {taxa_mc:.1f}%")

# ============================================
# VISUALIZAÇÃO DA FUNÇÃO VALOR
# ============================================

print("\n📊 Gerando gráficos...")

V_td = td_agente.V.reshape(4, 4)
V_mc = mc_agente.V.reshape(4, 4)

plt.figure(figsize=(14, 6))

# Gráfico 1: Convergência do valor do estado inicial
plt.subplot(2, 2, 1)
plt.plot(valores_td, 'b-', linewidth=1.5, label='TD(0)', alpha=0.7)
plt.plot(valores_mc, 'r-', linewidth=1.5, label='Monte Carlo', alpha=0.7)
plt.xlabel('Episódio')
plt.ylabel('V(estado inicial)')
plt.title('Convergência: TD(0) vs Monte Carlo')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

# Gráfico 2: Função Valor TD(0)
plt.subplot(2, 2, 2)
im1 = plt.imshow(V_td, cmap='RdYlGn', interpolation='nearest', vmin=0, vmax=10)
plt.colorbar(im1, label='Valor V(s)')
for i in range(4):
    for j in range(4):
        if env.grid[i, j] == 1:
            plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=16, color='gray')
        elif i*4+j == env.objetivo:
            plt.text(j, i, '🎯', ha='center', va='center', fontsize=14)
        else:
            plt.text(j, i, f'{V_td[i, j]:.1f}', ha='center', va='center', fontsize=9)
plt.title('Função Valor - TD(0)')
plt.xlabel('Coluna')
plt.ylabel('Linha')

# Gráfico 3: Função Valor Monte Carlo
plt.subplot(2, 2, 3)
im2 = plt.imshow(V_mc, cmap='RdYlGn', interpolation='nearest', vmin=0, vmax=10)
plt.colorbar(im2, label='Valor V(s)')
for i in range(4):
    for j in range(4):
        if env.grid[i, j] == 1:
            plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=16, color='gray')
        elif i*4+j == env.objetivo:
            plt.text(j, i, '🎯', ha='center', va='center', fontsize=14)
        else:
            plt.text(j, i, f'{V_mc[i, j]:.1f}', ha='center', va='center', fontsize=9)
plt.title('Função Valor - Monte Carlo')
plt.xlabel('Coluna')
plt.ylabel('Linha')

# Gráfico 4: Diferença entre métodos
plt.subplot(2, 2, 4)
diferenca = np.abs(V_td - V_mc)
im3 = plt.imshow(diferenca, cmap='hot', interpolation='nearest')
plt.colorbar(im3, label='|V_TD - V_MC|')
for i in range(4):
    for j in range(4):
        if env.grid[i, j] == 1:
            plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=16, color='white')
        else:
            plt.text(j, i, f'{diferenca[i, j]:.2f}', ha='center', va='center', fontsize=8)
plt.title('Diferença Absoluta entre Métodos')
plt.xlabel('Coluna')
plt.ylabel('Linha')

plt.tight_layout()
plt.show()

# ============================================
# EXPERIMENTO: DIFERENTES TAXAS DE APRENDIZADO
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("EFEITO DA TAXA DE APRENDIZADO (α)")
print("=" * 70)

alphas = [0.01, 0.05, 0.1, 0.3, 0.5]
convergencia = []

for alpha in alphas:
    print(f"\n   Testando α = {alpha}...")
    agente = TDAgente(n_estados=16, alpha=alpha, gamma=0.95, epsilon=0.1)
    agente._pre_computar_transicoes()
    
    with tqdm(total=300, desc=f"α={alpha}", unit="ep",
              ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}]') as pbar:
        
        for ep in range(300):
            estado = env.reset()
            terminou = False
            while not terminou:
                acao = agente.escolher_acao(estado)
                prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao)
                agente.aprender(estado, recompensa, prox_estado, terminou)
                estado = prox_estado
            pbar.update(1)
    
    convergencia.append(agente.V[0])
    print(f"      V(início) final = {agente.V[0]:.2f}")

plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.plot(alphas, convergencia, 'bo-', linewidth=2, markersize=8)
plt.xlabel('Taxa de aprendizado (α)')
plt.ylabel('V(estado inicial) final')
plt.title('Impacto da Taxa de Aprendizado no TD(0)')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()

# ============================================
# DEMONSTRAÇÃO DO CAMINHO APRENDIDO
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("DEMONSTRAÇÃO DO CAMINHO APRENDIDO")
print("=" * 70)

def demonstrar_caminho(agente, nome):
    print(f"\n🎮 {nome}:")
    estado = env.reset()
    caminho = [estado]
    terminou = False
    passo = 0
    
    while not terminou and passo < 20:
        acao = agente.escolher_acao(estado)
        estado, recompensa, terminou = env.step(acao)
        caminho.append(estado)
        passo += 1
    
    # Mostra caminho
    setas = ['↑', '↓', '←', '→']
    mapa = [['⬜' for _ in range(4)] for _ in range(4)]
    
    for i in range(4):
        for j in range(4):
            if env.grid[i, j] == 1:
                mapa[i][j] = '█'
            elif i*4+j == env.objetivo:
                mapa[i][j] = '🎯'
    
    # Marca o caminho
    for idx, s in enumerate(caminho):
        i, j = s // 4, s % 4
        if s != env.objetivo and env.grid[i, j] != 1:
            if idx < len(caminho) - 1:
                mapa[i][j] = str(idx)
    
    print("   Mapa com números indicando a ordem do caminho:")
    for i in range(4):
        linha = "   "
        for j in range(4):
            linha += f"{mapa[i][j]} "
        print(linha)
    
    if recompensa > 0:
        print(f"   ✅ Sucesso! Objetivo alcançado em {passo} passos.")
    else:
        print(f"   ❌ Falhou após {passo} passos.")

demonstrar_caminho(td_agente, "Agente TD(0)")
demonstrar_caminho(mc_agente, "Agente Monte Carlo")

# ============================================
# EXPLICAÇÃO MATEMÁTICA
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("FUNDAMENTOS DO TD LEARNING")
print("=" * 70)

print("""
✅ DIFERENÇA TEMPORAL (TD) COMBINA O MELHOR DE DOIS MUNDOS:

• MONTE CARLO: Aprende da experiência real (sem viés)
• PROGRAM. DINÂMICA: Usa bootstrap (atualiza com estimativas)

✅ FÓRMULA FUNDAMENTAL DO TD(0):

[latex] V(s) \leftarrow V(s) + \\alpha [r + \\gamma V(s') - V(s)] [/latex]

Onde:
- α = taxa de aprendizado
- γ = fator de desconto
- δ = r + γV(s') - V(s) é o ERRO TD

✅ HIPERPARÂMETROS CRÍTICOS:

• α (alpha): Taxa aprendizado (0 a 1) - quão rápido aprende
• γ (gamma): Fator desconto (0 a 1) - importância do futuro
• ε (epsilon): Exploração (0 a 1) - para políticas suaves

✅ VANTAGENS DO TD SOBRE MONTE CARLO:

✓ Aprende a cada passo (não precisa esperar episódio)
✓ Menor variância (estimações mais estáveis)
✓ Funciona para problemas contínuos (não episódicos)
✓ Mais eficiente computacionalmente

✅ CONDIÇÕES DE CONVERGÊNCIA:

[latex] \\sum_{t=0}^\\infty \\alpha_t = \\infty [/latex]
[latex] \\sum_{t=0}^\\infty \\alpha_t^2 < \\infty [/latex]
""")

print("\n" + "=" * 70)
print("CONCLUSÃO")
print("=" * 70)

print("""
✅ TD Learning converge mais rápido que Monte Carlo.
✅ Ele é mais eficiente e prático para problemas reais.
✅ As barras de progresso mostraram a evolução em tempo real.
✅ O agente aprendeu a navegar pelo labirinto.
✅ TD(0) é a base para algoritmos modernos como DQN.
""")

print("\n✅ PROGRAMA CONCLUÍDO COM SUCESSO!")

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import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import random

import time

from tqdm import tqdm

import sys

print("=" * 70)

print("APRENDIZADO POR DIFERENÇA TEMPORAL (TD)")

print("=" * 70)

# ============================================

# AMBIENTE: LABIRINTO 4x4

# ============================================

class Labirinto:

"""Labirinto 4x4 com objetivo no canto inferior direito"""

def __init__(self):

# Mapa: 0=caminho, 1=parede

self.grid = np.array([

[0, 0, 0, 0],

[0, 1, 0, 0],

[0, 0, 0, 0]

])

self.n_estados = 16

self.n_acoes = 4 # 0=cima, 1=baixo, 2=esq, 3=dir

self.inicio = 0

self.objetivo = 15 # posição (3,3)

def reset(self):

self.estado = self.inicio

return self.estado

def step(self, acao):

"""Executa ação e retorna (próximo_estado, recompensa, terminou)"""

linha = self.estado // 4

coluna = self.estado % 4

# Calcula movimento

if acao == 0: # cima

nl = max(0, linha - 1)

nc = coluna

elif acao == 1: # baixo

nl = min(3, linha + 1)

nc = coluna

elif acao == 2: # esquerda

nl = linha

nc = max(0, coluna - 1)

else: # direita

nl = linha

nc = min(3, coluna + 1)

# Verifica parede

if self.grid[nl, nc] == 1:

return self.estado, -0.1, False

novo_estado = nl * 4 + nc

self.estado = novo_estado

# Verifica objetivo

if novo_estado == self.objetivo:

return novo_estado, 10.0, True

return novo_estado, -0.05, False

# ============================================

# ALGORITMO TD(0) OTIMIZADO

# ============================================

class TDAgente:

"""Agente que aprende com TD(0)"""

def __init__(self, n_estados, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.1):

self.V = np.zeros(n_estados)

self.alpha = alpha

self.gamma = gamma

self.epsilon = epsilon

# Pré-computa transições para velocidade

self._pre_computar_transicoes()

def _pre_computar_transicoes(self):

"""Pré-calcula todos os possíveis próximos estados"""

self.proximos_estados = {}

for estado in range(16):

linha = estado // 4

coluna = estado % 4

self.proximos_estados[estado] = []

for acao in range(4):

if acao == 0:

nl = max(0, linha - 1)

nc = coluna

elif acao == 1:

nl = min(3, linha + 1)

nc = coluna

elif acao == 2:

nl = linha

nc = max(0, coluna - 1)

else:

nl = linha

nc = min(3, coluna + 1)

if nl == linha and nc == coluna:

continue

novo_estado = nl * 4 + nc

self.proximos_estados[estado].append((novo_estado, acao))

def escolher_acao(self, estado):

"""Política ε-greedy baseada em valores"""

if random.random() < self.epsilon:

return random.randint(0, 3)

melhor_valor = -float('inf')

melhor_acao = 0

for prox_estado, acao in self.proximos_estados.get(estado, []):

if self.V[prox_estado] > melhor_valor:

melhor_valor = self.V[prox_estado]

melhor_acao = acao

return melhor_acao

def aprender(self, estado, recompensa, prox_estado, terminou):

"""Atualização TD(0)"""

if terminou:

alvo = recompensa

else:

alvo = recompensa + self.gamma * self.V[prox_estado]

erro_td = alvo - self.V[estado]

self.V[estado] += self.alpha * erro_td

return erro_td

# ============================================

# ALGORITMO MONTE CARLO (COMPARAÇÃO)

# ============================================

class MCAgente:

"""Agente Monte Carlo para comparação"""

def __init__(self, n_estados, gamma=0.95, epsilon=0.1):

self.V = np.zeros(n_estados)

self.returns = [[] for _ in range(n_estados)]

self.gamma = gamma

self.epsilon = epsilon

self.n_estados = n_estados

def _pre_computar_transicoes(self):

self.proximos_estados = {}

for estado in range(16):

linha = estado // 4

coluna = estado % 4

self.proximos_estados[estado] = []

for acao in range(4):

if acao == 0:

nl = max(0, linha - 1)

nc = coluna

elif acao == 1:

nl = min(3, linha + 1)

nc = coluna

elif acao == 2:

nl = linha

nc = max(0, coluna - 1)

else:

nl = linha

nc = min(3, coluna + 1)

if nl == linha and nc == coluna:

continue

novo_estado = nl * 4 + nc

self.proximos_estados[estado].append((novo_estado, acao))

def escolher_acao(self, estado):

if random.random() < self.epsilon:

return random.randint(0, 3)

melhor_valor = -float('inf')

melhor_acao = 0

for prox_estado, acao in self.proximos_estados.get(estado, []):

if self.V[prox_estado] > melhor_valor:

melhor_valor = self.V[prox_estado]

melhor_acao = acao

return melhor_acao

def aprender_episodio(self, episodio):

G = 0

for t in range(len(episodio)-1, -1, -1):

estado, recompensa = episodio[t]

G = recompensa + self.gamma * G

self.returns[estado].append(G)

self.V[estado] = np.mean(self.returns[estado])

# ============================================

# EXPERIMENTO: TD vs MONTE CARLO

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("COMPARAÇÃO: TD(0) vs MONTE CARLO")

print("=" * 70)

num_episodios = 1000 # Reduzido para mais velocidade

env = Labirinto()

# Inicializa agentes

td_agente = TDAgente(n_estados=16, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.1)

mc_agente = MCAgente(n_estados=16, gamma=0.95, epsilon=0.1)

# Pré-computa transições

td_agente._pre_computar_transicoes()

mc_agente._pre_computar_transicoes()

# Armazena histórico

valores_td = []

valores_mc = []

tempo_inicio = time.time()

print("\n🚀 Treinando TD(0)...\n")

# Barra de progresso para TD

with tqdm(total=num_episodios, desc="TD(0)", unit="ep",

ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}, {rate_fmt}]') as pbar:

for ep in range(num_episodios):

estado = env.reset()

terminou = False

passo = 0

while not terminou and passo < 100:

acao = td_agente.escolher_acao(estado)

prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao)

td_agente.aprender(estado, recompensa, prox_estado, terminou)

estado = prox_estado

passo += 1

valores_td.append(td_agente.V[0])

# Atualiza barra e mostra info

if (ep + 1) % 50 == 0 or ep == 0:

pbar.set_postfix({'V(0)': f'{td_agente.V[0]:.2f}'})

pbar.update(50 if (ep + 1) % 50 == 0 and ep > 0 else 1)

print("\n🚀 Treinando Monte Carlo...\n")

# Barra de progresso para Monte Carlo

with tqdm(total=num_episodios, desc="Monte Carlo", unit="ep",

ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}, {rate_fmt}]') as pbar:

for ep in range(num_episodios):

estado = env.reset()

terminou = False

episodio_mc = []

passo = 0

while not terminou and passo < 100:

acao = mc_agente.escolher_acao(estado)

prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao)

episodio_mc.append((estado, recompensa))

estado = prox_estado

passo += 1

mc_agente.aprender_episodio(episodio_mc)

valores_mc.append(mc_agente.V[0])

if (ep + 1) % 50 == 0 or ep == 0:

pbar.set_postfix({'V(0)': f'{mc_agente.V[0]:.2f}'})

pbar.update(50 if (ep + 1) % 50 == 0 and ep > 0 else 1)

tempo_total = time.time() - tempo_inicio

print(f"\n✅ Treinamento concluído em {tempo_total:.1f} segundos!")

# ============================================

# AVALIAÇÃO DA POLÍTICA APRENDIDA

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("AVALIAÇÃO DA POLÍTICA APRENDIDA")

print("=" * 70)

def avaliar_politica(agente, n_testes=200, desc="Testando"):

"""Avalia a política do agente com barra de progresso"""

sucessos = 0

with tqdm(total=n_testes, desc=desc, unit="teste",

ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}]') as pbar:

for _ in range(n_testes):

estado = env.reset()

terminou = False

passo = 0

while not terminou and passo < 50:

acao = agente.escolher_acao(estado)

estado, recompensa, terminou = env.step(acao)

passo += 1

if recompensa > 0:

sucessos += 1

pbar.update(1)

return sucessos / n_testes * 100

taxa_td = avaliar_politica(td_agente, desc="Avaliando TD(0)")

taxa_mc = avaliar_politica(mc_agente, desc="Avaliando MC")

print(f"\n🏆 Taxa de sucesso (chegar ao objetivo):")

print(f" TD(0): {taxa_td:.1f}%")

print(f" Monte Carlo: {taxa_mc:.1f}%")

# ============================================

# VISUALIZAÇÃO DA FUNÇÃO VALOR

# ============================================

print("\n📊 Gerando gráficos...")

V_td = td_agente.V.reshape(4, 4)

V_mc = mc_agente.V.reshape(4, 4)

plt.figure(figsize=(14, 6))

# Gráfico 1: Convergência do valor do estado inicial

plt.subplot(2, 2, 1)

plt.plot(valores_td, 'b-', linewidth=1.5, label='TD(0)', alpha=0.7)

plt.plot(valores_mc, 'r-', linewidth=1.5, label='Monte Carlo', alpha=0.7)

plt.xlabel('Episódio')

plt.ylabel('V(estado inicial)')

plt.title('Convergência: TD(0) vs Monte Carlo')

plt.legend()

plt.grid(True, alpha=0.3)

# Gráfico 2: Função Valor TD(0)

plt.subplot(2, 2, 2)

im1 = plt.imshow(V_td, cmap='RdYlGn', interpolation='nearest', vmin=0, vmax=10)

plt.colorbar(im1, label='Valor V(s)')

for i in range(4):

for j in range(4):

if env.grid[i, j] == 1:

plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=16, color='gray')

elif i*4+j == env.objetivo:

plt.text(j, i, '🎯', ha='center', va='center', fontsize=14)

else:

plt.text(j, i, f'{V_td[i, j]:.1f}', ha='center', va='center', fontsize=9)

plt.title('Função Valor - TD(0)')

plt.xlabel('Coluna')

plt.ylabel('Linha')

# Gráfico 3: Função Valor Monte Carlo

plt.subplot(2, 2, 3)

im2 = plt.imshow(V_mc, cmap='RdYlGn', interpolation='nearest', vmin=0, vmax=10)

plt.colorbar(im2, label='Valor V(s)')

for i in range(4):

for j in range(4):

if env.grid[i, j] == 1:

plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=16, color='gray')

elif i*4+j == env.objetivo:

plt.text(j, i, '🎯', ha='center', va='center', fontsize=14)

else:

plt.text(j, i, f'{V_mc[i, j]:.1f}', ha='center', va='center', fontsize=9)

plt.title('Função Valor - Monte Carlo')

plt.xlabel('Coluna')

plt.ylabel('Linha')

# Gráfico 4: Diferença entre métodos

plt.subplot(2, 2, 4)

diferenca = np.abs(V_td - V_mc)

im3 = plt.imshow(diferenca, cmap='hot', interpolation='nearest')

plt.colorbar(im3, label='|V_TD - V_MC|')

for i in range(4):

for j in range(4):

if env.grid[i, j] == 1:

plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=16, color='white')

else:

plt.text(j, i, f'{diferenca[i, j]:.2f}', ha='center', va='center', fontsize=8)

plt.title('Diferença Absoluta entre Métodos')

plt.xlabel('Coluna')

plt.ylabel('Linha')

plt.tight_layout()

plt.show()

# ============================================

# EXPERIMENTO: DIFERENTES TAXAS DE APRENDIZADO

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("EFEITO DA TAXA DE APRENDIZADO (α)")

print("=" * 70)

alphas = [0.01, 0.05, 0.1, 0.3, 0.5]

convergencia = []

for alpha in alphas:

print(f"\n Testando α = {alpha}...")

agente = TDAgente(n_estados=16, alpha=alpha, gamma=0.95, epsilon=0.1)

agente._pre_computar_transicoes()

with tqdm(total=300, desc=f"α={alpha}", unit="ep",

ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}]') as pbar:

for ep in range(300):

estado = env.reset()

terminou = False

while not terminou:

acao = agente.escolher_acao(estado)

prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao)

agente.aprender(estado, recompensa, prox_estado, terminou)

estado = prox_estado

pbar.update(1)

convergencia.append(agente.V[0])

print(f" V(início) final = {agente.V[0]:.2f}")

plt.figure(figsize=(8, 4))

plt.plot(alphas, convergencia, 'bo-', linewidth=2, markersize=8)

plt.xlabel('Taxa de aprendizado (α)')

plt.ylabel('V(estado inicial) final')

plt.title('Impacto da Taxa de Aprendizado no TD(0)')

plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.show()

# ============================================

# DEMONSTRAÇÃO DO CAMINHO APRENDIDO

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("DEMONSTRAÇÃO DO CAMINHO APRENDIDO")

print("=" * 70)

def demonstrar_caminho(agente, nome):

print(f"\n🎮 {nome}:")

estado = env.reset()

caminho = [estado]

terminou = False

passo = 0

while not terminou and passo < 20:

acao = agente.escolher_acao(estado)

estado, recompensa, terminou = env.step(acao)

caminho.append(estado)

passo += 1

# Mostra caminho

setas = ['↑', '↓', '←', '→']

mapa = [['⬜' for _ in range(4)] for _ in range(4)]

for i in range(4):

for j in range(4):

if env.grid[i, j] == 1:

mapa[i][j] = '█'

elif i*4+j == env.objetivo:

mapa[i][j] = '🎯'

# Marca o caminho

for idx, s in enumerate(caminho):

i, j = s // 4, s % 4

if s != env.objetivo and env.grid[i, j] != 1:

if idx < len(caminho) - 1:

mapa[i][j] = str(idx)

print(" Mapa com números indicando a ordem do caminho:")

for i in range(4):

linha = " "

for j in range(4):

linha += f"{mapa[i][j]} "

print(linha)

if recompensa > 0:

print(f" ✅ Sucesso! Objetivo alcançado em {passo} passos.")

else:

print(f" ❌ Falhou após {passo} passos.")

demonstrar_caminho(td_agente, "Agente TD(0)")

demonstrar_caminho(mc_agente, "Agente Monte Carlo")

# ============================================

# EXPLICAÇÃO MATEMÁTICA

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("FUNDAMENTOS DO TD LEARNING")

print("=" * 70)

print("""

✅ DIFERENÇA TEMPORAL (TD) COMBINA O MELHOR DE DOIS MUNDOS:

• MONTE CARLO: Aprende da experiência real (sem viés)

• PROGRAM. DINÂMICA: Usa bootstrap (atualiza com estimativas)

✅ FÓRMULA FUNDAMENTAL DO TD(0):

[latex] V(s) \leftarrow V(s) + \\alpha [r + \\gamma V(s') - V(s)] [/latex]

Onde:

- α = taxa de aprendizado

- γ = fator de desconto

- δ = r + γV(s') - V(s) é o ERRO TD

✅ HIPERPARÂMETROS CRÍTICOS:

• α (alpha): Taxa aprendizado (0 a 1) - quão rápido aprende

• γ (gamma): Fator desconto (0 a 1) - importância do futuro

• ε (epsilon): Exploração (0 a 1) - para políticas suaves

✅ VANTAGENS DO TD SOBRE MONTE CARLO:

✓ Aprende a cada passo (não precisa esperar episódio)

✓ Menor variância (estimações mais estáveis)

✓ Funciona para problemas contínuos (não episódicos)

✓ Mais eficiente computacionalmente

✅ CONDIÇÕES DE CONVERGÊNCIA:

[latex] \\sum_{t=0}^\\infty \\alpha_t = \\infty [/latex]

[latex] \\sum_{t=0}^\\infty \\alpha_t^2 < \\infty [/latex]

""")

print("\n" + "=" * 70)

print("CONCLUSÃO")

print("=" * 70)

print("""

✅ TD Learning converge mais rápido que Monte Carlo.

✅ Ele é mais eficiente e prático para problemas reais.

✅ As barras de progresso mostraram a evolução em tempo real.

✅ O agente aprendeu a navegar pelo labirinto.

✅ TD(0) é a base para algoritmos modernos como DQN.

""")

print("\n✅ PROGRAMA CONCLUÍDO COM SUCESSO!")

Aprendizado por reforço: função de valor e ação-valor

10/04/202605/04/2026 Por antonino

4 – Por Reforco
4.1 – Fundamentos Por Reforco
4.1.4 – Funcao de Valor e Acao-Valor

LEGENDA

Principal

Ramo

Metodo

Problemas

Modelo

Arquitetura

A função de valor estima o quão bom é um estado. Ela prevê o retorno futuro esperado a partir dali. Por outro lado, a função ação-valor Q(s,a) avalia um par estado-ação. Assim, o agente pode comparar diferentes escolhas. Essas funções são fundamentais para planejamento e aprendizado.

Definição formal de V(s) e Q(s,a)

A função valor V(s) é definida como \( V^\pi(s) = \mathbb{E}_\pi \left[ G_t \mid S_t = s \right] \). Ela depende da política π seguida pelo agente. Já a função ação-valor é \( Q^\pi(s,a) = \mathbb{E}_\pi \left[ G_t \mid S_t = s, A_t = a \right] \). A diferença entre elas é o momento da ação. Primeiro, V(s) assume que a política já foi definida. Segundo, Q(s,a) permite testar ações específicas. Consequentemente, Q é mais flexível para aprendizado.

Ambas as funções obedecem à equação de Bellman. Para V(s), temos \( V^\pi(s) = \sum_a \pi(a|s) \sum_{s’,r} p(s’,r|s,a) [r + \gamma V^\pi(s’)] \). Para Q(s,a), a equação é \( Q^\pi(s,a) = \sum_{s’,r} p(s’,r|s,a) [r + \gamma \sum_{a’} \pi(a’|s’) Q^\pi(s’,a’)] \). Essas equações relacionam valor presente e futuro. Portanto, elas permitem calcular V e Q recursivamente.

Arquiteturas e hiperparâmetros comuns

Uma tabela armazena V(s) ou Q(s,a) para espaços discretos pequenos. Porém, em problemas grandes, usamos aproximadores. Redes neurais profundas são a escolha mais comum. A arquitetura típica inclui camadas convolucionais (para imagens) ou densas (para vetores). A saída da rede pode ser um único valor V(s). Alternativamente, a rede pode ter múltiplos neurônios de saída, um para cada Q(s,a).

Os hiperparâmetros críticos são a taxa de aprendizado α, o fator de desconto γ, e a taxa de exploração ε. Além disso, o tamanho do replay buffer é importante (ex: 10000 transições). O batch size (ex: 32) afeta a estabilidade. A frequência de atualização da rede alvo (ex: a cada 100 passos) também é usada. Esses parâmetros são ajustados empiricamente.

Exemplo clássico: FrozenLake com Q-learning

Imagine um lago congelado dividido em uma grade 4×4. O objetivo do aventureiro é chegar ao bloco de gelo seguro (posição (3,3) – canto inferior direito). Porém, existem 4 buracos (gelo fino) espalhados pelo lago. Se o aventureiro cair em um buraco, ele morre e o episódio termina com recompensa 0.

Regras do ambiente:

Gelo seguro (caminho normal): 12 posições onde o aventureiro pode andar. Cada passo dá recompensa 0.

Buracos (perigo): 4 posições onde o gelo quebra. Cair neles dá recompensa 0 e encerra o jogo.

Objetivo (gelo seguro especial): 1 posição (canto inferior direito). Chegar lá dá recompensa +1 e encerra o jogo com vitória.

Estocasticidade: O gelo é escorregadio. Quando o aventureiro tenta mover-se em uma direção, ele pode escorregar para os lados (probabilidade 1/3 para cada direção adjacente). Isso torna o aprendizado desafiador. Mapa Visual:

(0,0) S  S  S  S
(1,0) S  B  S  B
(2,0) S  B  S  S
(3,0) S  S  G  B

Onde: S = Seguro | B = Buraco (perigo) | G = Objetivo (meta)

(0,0) S S S S

(1,0) S B S B

(2,0) S B S S

(3,0) S S G B

Onde: S = Seguro | B = Buraco (perigo) | G = Objetivo (meta)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import random
from tqdm import tqdm
import time

print("=" * 70)
print("FROZENLAKE - TREINAMENTO COM 4 AGENTES (VERSÃO ESTÁVEL)")
print("=" * 70)

# ============================================
# CLASSE DO AMBIENTE FROZENLAKE
# ============================================

class FrozenLakeAmbiente:
    """Ambiente FrozenLake 4x4 - Versão estável"""
    
    def __init__(self, is_slippery=True):
        self.mapa = np.array([
            [0, 3, 3, 3],
            [3, 1, 3, 1],
            [3, 1, 3, 3],
            [3, 3, 2, 1]
        ], dtype=np.int8)
        
        self.is_slippery = is_slippery
        self.n_states = 16
        self.n_actions = 4
        self.start_state = 0
        self._precompute_transitions()
        
    def _precompute_transitions(self):
        """Pré-calcula todas as transições"""
        self.transitions = {}
        for state in range(self.n_states):
            linha, coluna = state // 4, state % 4
            self.transitions[state] = {}
            for acao in range(self.n_actions):
                if self.is_slippery:
                    acoes_possiveis = [
                        acao,
                        {0: 2, 1: 3, 2: 1, 3: 0}[acao],
                        {0: 3, 1: 2, 2: 0, 3: 1}[acao]
                    ]
                    probs = [0.33, 0.33, 0.34]
                else:
                    acoes_possiveis = [acao]
                    probs = [1.0]
                
                resultados = []
                for acao_real, prob in zip(acoes_possiveis, probs):
                    nl, nc = linha, coluna
                    if acao_real == 0: nl = max(0, linha - 1)
                    elif acao_real == 1: nl = min(3, linha + 1)
                    elif acao_real == 2: nc = max(0, coluna - 1)
                    elif acao_real == 3: nc = min(3, coluna + 1)
                    
                    novo_state = nl * 4 + nc
                    tipo = self.mapa[nl, nc]
                    
                    if tipo == 2:
                        recompensa = 1.0
                        done = True
                    elif tipo == 1:
                        recompensa = 0.0
                        done = True
                    else:
                        recompensa = 0.0
                        done = False
                    
                    resultados.append((novo_state, recompensa, done, prob))
                
                self.transitions[state][acao] = resultados
    
    def reset(self):
        return self.start_state
    
    def step_fast(self, state, acao):
        resultados = self.transitions[state][acao]
        r = random.random()
        cum_prob = 0
        for novo_state, recompensa, done, prob in resultados:
            cum_prob += prob
            if r <= cum_prob:
                return novo_state, recompensa, done
        return resultados[-1][:3]


# ============================================
# AGENTE Q-LEARNING
# ============================================

class AgenteQLearning:
    def __init__(self, n_states, n_actions, alpha=0.8, gamma=0.95, epsilon=0.3):
        self.Q = np.zeros((n_states, n_actions))
        self.alpha = alpha
        self.gamma = gamma
        self.epsilon = epsilon
        self.epsilon_min = 0.01
        self.epsilon_decay = 0.995
        
    def escolher_acao(self, state):
        if np.random.rand() < self.epsilon:
            return np.random.randint(4)
        return np.argmax(self.Q[state])
    
    def atualizar(self, state, acao, reward, next_state, done):
        if done:
            target = reward
        else:
            target = reward + self.gamma * np.max(self.Q[next_state])
        self.Q[state, acao] += self.alpha * (target - self.Q[state, acao])
    
    def decair_epsilon(self):
        self.epsilon = max(self.epsilon_min, self.epsilon * self.epsilon_decay)


# ============================================
# FUNÇÃO PARA TESTAR AGENTE (MAIS RÁPIDA)
# ============================================

def testar_agente_rapido(Q, num_testes=100):
    """Testa agente rapidamente sem criar muitos objetos"""
    vitorias = 0
    
    for _ in range(num_testes):
        state = 0  # estado inicial
        feito = False
        passos = 0
        
        # Usa o ambiente global para evitar recriação
        while not feito and passos < 50:
            acao = np.argmax(Q[state])
            
            # Simula transição diretamente (sem criar novo ambiente)
            linha, coluna = state // 4, state % 4
            
            # Aplica escorregamento
            r = random.random()
            if r < 0.33:
                acao_real = acao
            elif r < 0.66:
                acao_real = {0: 2, 1: 3, 2: 1, 3: 0}[acao]
            else:
                acao_real = {0: 3, 1: 2, 2: 0, 3: 1}[acao]
            
            # Calcula novo estado
            nl, nc = linha, coluna
            if acao_real == 0: nl = max(0, linha - 1)
            elif acao_real == 1: nl = min(3, linha + 1)
            elif acao_real == 2: nc = max(0, coluna - 1)
            elif acao_real == 3: nc = min(3, coluna + 1)
            
            novo_state = nl * 4 + nc
            
            # Verifica recompensa
            tipo = env_global.mapa[nl, nc] if 'env_global' in globals() else 0
            # Simplificado: usa mapa fixo
            if nl == 3 and nc == 2:  # objetivo
                vitorias += 1
                break
            elif (nl == 1 and nc == 1) or (nl == 1 and nc == 3) or (nl == 2 and nc == 1) or (nl == 3 and nc == 3):
                break  # buraco
            
            state = novo_state
            passos += 1
    
    return vitorias / num_testes


# ============================================
# CRIA AMBIENTE GLOBAL PARA TESTES
# ============================================

env_global = FrozenLakeAmbiente(is_slippery=True)

# ============================================
# TREINAMENTO DOS 4 AGENTES
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("ETAPA 1: TREINANDO 4 AGENTES")
print("=" * 70)

num_episodios = 1500
num_agentes = 4

print(f"\n📊 Configuração:")
print(f"   - Agentes: {num_agentes}")
print(f"   - Episódios por agente: {num_episodios}")

resultados = []

for agente_id in range(num_agentes):
    print(f"\n🤖 Treinando Agente {agente_id + 1}/{num_agentes}")
    
    env = FrozenLakeAmbiente(is_slippery=True)
    agente = AgenteQLearning(16, 4)
    
    vitorias = np.zeros(num_episodios)
    
    with tqdm(total=num_episodios, desc=f"Agente {agente_id + 1}", 
              unit="ep", ncols=80, mininterval=0.05) as pbar:
        
        for ep in range(num_episodios):
            state = env.reset()
            feito = False
            venceu = False
            num_passos = 0
            
            while not feito and num_passos < 100:
                acao = agente.escolher_acao(state)
                next_state, reward, feito = env.step_fast(state, acao)
                agente.atualizar(state, acao, reward, next_state, feito)
                state = next_state
                num_passos += 1
                if reward > 0:
                    venceu = True
            
            vitorias[ep] = 1 if venceu else 0
            agente.decair_epsilon()
            
            # Atualiza barra a cada 5 episódios
            if ep % 5 == 0:
                taxa_recente = np.mean(vitorias[max(0, ep-99):ep+1]) * 100
                pbar.set_postfix({'Taxa': f'{taxa_recente:.1f}%'}, refresh=True)
                pbar.update(5)
            elif ep == 0:
                pbar.update(1)
    
    resultados.append({
        'id': agente_id,
        'Q': agente.Q.copy(),
        'vitorias': vitorias
    })

print("\n✅ Treinamento concluído!")

# ============================================
# ETAPA 2: TESTANDO CADA AGENTE (VERSÃO CORRIGIDA)
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("ETAPA 2: TESTANDO CADA AGENTE")
print("=" * 70)

print("\n🎮 Avaliando desempenho individual...")
print("   (Isso pode levar alguns segundos)\n")

taxas_agentes = []

# Testa cada agente individualmente com barra de progresso
for idx, r in enumerate(resultados):
    print(f"\n📊 Testando Agente {idx + 1}...")
    
    num_testes = 200
    vitorias = 0
    
    # Barra de progresso para o teste deste agente
    with tqdm(total=num_testes, desc=f"Agente {idx + 1}", 
              unit="teste", ncols=80, mininterval=0.01) as pbar:
        
        for teste_num in range(num_testes):
            state = 0
            feito = False
            passos = 0
            
            while not feito and passos < 50:
                acao = np.argmax(r['Q'][state])
                
                # Simula passo sem criar novo ambiente
                linha, coluna = state // 4, state % 4
                
                # Escorregamento
                rand = random.random()
                if rand < 0.33:
                    acao_real = acao
                elif rand < 0.66:
                    acao_real = {0: 2, 1: 3, 2: 1, 3: 0}[acao]
                else:
                    acao_real = {0: 3, 1: 2, 2: 0, 3: 1}[acao]
                
                # Move
                nl, nc = linha, coluna
                if acao_real == 0: nl = max(0, linha - 1)
                elif acao_real == 1: nl = min(3, linha + 1)
                elif acao_real == 2: nc = max(0, coluna - 1)
                elif acao_real == 3: nc = min(3, coluna + 1)
                
                novo_state = nl * 4 + nc
                
                # Verifica resultado
                if nl == 3 and nc == 2:  # objetivo
                    vitorias += 1
                    break
                elif (nl == 1 and nc == 1) or (nl == 1 and nc == 3) or \
                     (nl == 2 and nc == 1) or (nl == 3 and nc == 3):  # buraco
                    break
                
                state = novo_state
                passos += 1
            
            pbar.update(1)
            
            # Mostra taxa atual a cada 50 testes
            if (teste_num + 1) % 50 == 0:
                taxa_atual = (vitorias / (teste_num + 1)) * 100
                pbar.set_postfix({'Taxa': f'{taxa_atual:.1f}%'}, refresh=True)
    
    taxa = (vitorias / num_testes) * 100
    taxas_agentes.append(taxa)
    print(f"   ✅ Agente {idx + 1}: {taxa:.1f}% de sucesso")

# Mostra resumo
print("\n" + "-" * 50)
print("📊 RESUMO DOS TESTES:")
for idx, taxa in enumerate(taxas_agentes):
    print(f"   Agente {idx + 1}: {taxa:.1f}%")
print("-" * 50)

melhor_agente_idx = np.argmax(taxas_agentes)
print(f"\n🏆 Melhor agente: Agente {melhor_agente_idx + 1} com {taxas_agentes[melhor_agente_idx]:.1f}%")

# ============================================
# ETAPA 3: COMBINANDO AGENTES
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("ETAPA 3: COMBINANDO OS 4 AGENTES")
print("=" * 70)

print("\n🔄 Criando agente combinado...")

Q_combinado = np.zeros((16, 4))

with tqdm(total=16, desc="Combinando estados", unit="estado", ncols=80, mininterval=0.05) as pbar:
    for state in range(16):
        # Encontra melhor agente para este estado
        melhores_valores = [np.max(r['Q'][state]) for r in resultados]
        melhor_agente = np.argmax(melhores_valores)
        Q_combinado[state] = resultados[melhor_agente]['Q'][state].copy()
        pbar.update(1)

print("\n✅ Combinação concluída!")

# ============================================
# ETAPA 4: TESTANDO AGENTE COMBINADO
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("ETAPA 4: TESTANDO AGENTE COMBINADO")
print("=" * 70)

num_testes_combinado = 500
vitorias_combinado = 0

print(f"\n🎮 Testando em {num_testes_combinado} partidas...")

with tqdm(total=num_testes_combinado, desc="Testando combinado", 
          unit="partida", ncols=80, mininterval=0.01) as pbar:
    
    for teste_num in range(num_testes_combinado):
        state = 0
        feito = False
        passos = 0
        
        while not feito and passos < 50:
            acao = np.argmax(Q_combinado[state])
            
            # Simula passo
            linha, coluna = state // 4, state % 4
            
            rand = random.random()
            if rand < 0.33:
                acao_real = acao
            elif rand < 0.66:
                acao_real = {0: 2, 1: 3, 2: 1, 3: 0}[acao]
            else:
                acao_real = {0: 3, 1: 2, 2: 0, 3: 1}[acao]
            
            nl, nc = linha, coluna
            if acao_real == 0: nl = max(0, linha - 1)
            elif acao_real == 1: nl = min(3, linha + 1)
            elif acao_real == 2: nc = max(0, coluna - 1)
            elif acao_real == 3: nc = min(3, coluna + 1)
            
            if nl == 3 and nc == 2:  # objetivo
                vitorias_combinado += 1
                break
            elif (nl == 1 and nc == 1) or (nl == 1 and nc == 3) or \
                 (nl == 2 and nc == 1) or (nl == 3 and nc == 3):
                break
            
            state = nl * 4 + nc
            passos += 1
        
        pbar.update(1)
        
        # Mostra taxa atual frequentemente
        if (teste_num + 1) % 25 == 0:
            taxa_atual = (vitorias_combinado / (teste_num + 1)) * 100
            pbar.set_postfix({'Taxa': f'{taxa_atual:.1f}%'}, refresh=True)

taxa_combinado = (vitorias_combinado / num_testes_combinado) * 100
print(f"\n🏆 Agente combinado: {taxa_combinado:.1f}% de sucesso")

# ============================================
# VISUALIZAÇÃO
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("ETAPA 5: GERANDO GRÁFICOS")
print("=" * 70)

plt.figure(figsize=(15, 5))

# Gráfico 1: Evolução dos agentes
plt.subplot(1, 3, 1)
for r in resultados:
    media = np.convolve(r['vitorias'], np.ones(100)/100, mode='valid')
    plt.plot(range(99, num_episodios), media, alpha=0.6, linewidth=1)
plt.xlabel('Episódio')
plt.ylabel('Taxa de vitória')
plt.title('Evolução do Aprendizado')
plt.ylim(0, 1)
plt.grid(True, alpha=0.3)

# Gráfico 2: Função Valor
plt.subplot(1, 3, 2)
V = np.max(Q_combinado, axis=1).reshape(4, 4)
im = plt.imshow(V, cmap='RdYlGn', interpolation='nearest', vmin=0, vmax=1)
plt.colorbar(im, label='Valor')
for i in range(4):
    for j in range(4):
        if env_global.mapa[i, j] == 1:
            plt.text(j, i, '💀', ha='center', va='center', fontsize=16)
        elif env_global.mapa[i, j] == 2:
            plt.text(j, i, '🎯', ha='center', va='center', fontsize=16)
        else:
            plt.text(j, i, f'{V[i,j]:.2f}', ha='center', va='center', fontsize=9)
plt.title('Função Valor V(s)')
plt.xlabel('Coluna')
plt.ylabel('Linha')

# Gráfico 3: Política
plt.subplot(1, 3, 3)
setas = ['↑', '↓', '←', '→']
for i in range(4):
    for j in range(4):
        state = i * 4 + j
        tipo = env_global.mapa[i, j]
        if tipo == 1:
            plt.text(j, i, '💀', ha='center', va='center', fontsize=20, color='red')
        elif tipo == 2:
            plt.text(j, i, '🏆', ha='center', va='center', fontsize=20)
        else:
            melhor_acao = np.argmax(Q_combinado[state])
            plt.text(j, i, setas[melhor_acao], ha='center', va='center', fontsize=22)
plt.xlim(-0.5, 3.5)
plt.ylim(3.5, -0.5)
plt.title('Política Ótima')
plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

# ============================================
# RELATÓRIO FINAL
# ============================================

print("\n" + "=" * 70)
print("RELATÓRIO FINAL")
print("=" * 70)

print(f"""
✅ RESULTADOS:
   - Melhor agente individual: {max(taxas_agentes):.1f}%
   - Agente combinado: {taxa_combinado:.1f}%
   - Melhoria: {taxa_combinado - max(taxas_agentes):.1f}%

📋 MAPA DO LAGO (com política aprendida):
""")

print("    Col0 Col1 Col2 Col3")
for i in range(4):
    linha = f"Lin{i}: "
    for j in range(4):
        state = i * 4 + j
        tipo = env_global.mapa[i, j]
        if tipo == 1:
            linha += "  💀  "
        elif tipo == 2:
            linha += "  🏆  "
        else:
            melhor = np.argmax(Q_combinado[state])
            setas = ['↑', '↓', '←', '→']
            linha += f"  {setas[melhor]}  "
    print(linha)

print("\n" + "=" * 70)
print("✅ PROGRAMA CONCLUÍDO!")
print("=" * 70)

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import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import random

from tqdm import tqdm

import time

print("=" * 70)

print("FROZENLAKE - TREINAMENTO COM 4 AGENTES (VERSÃO ESTÁVEL)")

print("=" * 70)

# ============================================

# CLASSE DO AMBIENTE FROZENLAKE

# ============================================

class FrozenLakeAmbiente:

"""Ambiente FrozenLake 4x4 - Versão estável"""

def __init__(self, is_slippery=True):

self.mapa = np.array([

[0, 3, 3, 3],

[3, 1, 3, 1],

[3, 1, 3, 3],

[3, 3, 2, 1]

], dtype=np.int8)

self.is_slippery = is_slippery

self.n_states = 16

self.n_actions = 4

self.start_state = 0

self._precompute_transitions()

def _precompute_transitions(self):

"""Pré-calcula todas as transições"""

self.transitions = {}

for state in range(self.n_states):

linha, coluna = state // 4, state % 4

self.transitions[state] = {}

for acao in range(self.n_actions):

if self.is_slippery:

acoes_possiveis = [

acao,

{0: 2, 1: 3, 2: 1, 3: 0}[acao],

{0: 3, 1: 2, 2: 0, 3: 1}[acao]

]

probs = [0.33, 0.33, 0.34]

else:

acoes_possiveis = [acao]

probs = [1.0]

resultados = []

for acao_real, prob in zip(acoes_possiveis, probs):

nl, nc = linha, coluna

if acao_real == 0: nl = max(0, linha - 1)

elif acao_real == 1: nl = min(3, linha + 1)

elif acao_real == 2: nc = max(0, coluna - 1)

elif acao_real == 3: nc = min(3, coluna + 1)

novo_state = nl * 4 + nc

tipo = self.mapa[nl, nc]

if tipo == 2:

recompensa = 1.0

done = True

elif tipo == 1:

recompensa = 0.0

done = True

else:

recompensa = 0.0

done = False

resultados.append((novo_state, recompensa, done, prob))

self.transitions[state][acao] = resultados

def reset(self):

return self.start_state

def step_fast(self, state, acao):

resultados = self.transitions[state][acao]

r = random.random()

cum_prob = 0

for novo_state, recompensa, done, prob in resultados:

cum_prob += prob

if r <= cum_prob:

return novo_state, recompensa, done

return resultados[-1][:3]

# ============================================

# AGENTE Q-LEARNING

# ============================================

class AgenteQLearning:

def __init__(self, n_states, n_actions, alpha=0.8, gamma=0.95, epsilon=0.3):

self.Q = np.zeros((n_states, n_actions))

self.alpha = alpha

self.gamma = gamma

self.epsilon = epsilon

self.epsilon_min = 0.01

self.epsilon_decay = 0.995

def escolher_acao(self, state):

if np.random.rand() < self.epsilon:

return np.random.randint(4)

return np.argmax(self.Q[state])

def atualizar(self, state, acao, reward, next_state, done):

if done:

target = reward

else:

target = reward + self.gamma * np.max(self.Q[next_state])

self.Q[state, acao] += self.alpha * (target - self.Q[state, acao])

def decair_epsilon(self):

self.epsilon = max(self.epsilon_min, self.epsilon * self.epsilon_decay)

# ============================================

# FUNÇÃO PARA TESTAR AGENTE (MAIS RÁPIDA)

# ============================================

def testar_agente_rapido(Q, num_testes=100):

"""Testa agente rapidamente sem criar muitos objetos"""

vitorias = 0

for _ in range(num_testes):

state = 0 # estado inicial

feito = False

passos = 0

# Usa o ambiente global para evitar recriação

while not feito and passos < 50:

acao = np.argmax(Q[state])

# Simula transição diretamente (sem criar novo ambiente)

linha, coluna = state // 4, state % 4

# Aplica escorregamento

r = random.random()

if r < 0.33:

acao_real = acao

elif r < 0.66:

acao_real = {0: 2, 1: 3, 2: 1, 3: 0}[acao]

else:

acao_real = {0: 3, 1: 2, 2: 0, 3: 1}[acao]

# Calcula novo estado

nl, nc = linha, coluna

if acao_real == 0: nl = max(0, linha - 1)

elif acao_real == 1: nl = min(3, linha + 1)

elif acao_real == 2: nc = max(0, coluna - 1)

elif acao_real == 3: nc = min(3, coluna + 1)

novo_state = nl * 4 + nc

# Verifica recompensa

tipo = env_global.mapa[nl, nc] if 'env_global' in globals() else 0

# Simplificado: usa mapa fixo

if nl == 3 and nc == 2: # objetivo

vitorias += 1

break

elif (nl == 1 and nc == 1) or (nl == 1 and nc == 3) or (nl == 2 and nc == 1) or (nl == 3 and nc == 3):

break # buraco

state = novo_state

passos += 1

return vitorias / num_testes

# ============================================

# CRIA AMBIENTE GLOBAL PARA TESTES

# ============================================

env_global = FrozenLakeAmbiente(is_slippery=True)

# ============================================

# TREINAMENTO DOS 4 AGENTES

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("ETAPA 1: TREINANDO 4 AGENTES")

print("=" * 70)

num_episodios = 1500

num_agentes = 4

print(f"\n📊 Configuração:")

print(f" - Agentes: {num_agentes}")

print(f" - Episódios por agente: {num_episodios}")

resultados = []

for agente_id in range(num_agentes):

print(f"\n🤖 Treinando Agente {agente_id + 1}/{num_agentes}")

env = FrozenLakeAmbiente(is_slippery=True)

agente = AgenteQLearning(16, 4)

vitorias = np.zeros(num_episodios)

with tqdm(total=num_episodios, desc=f"Agente {agente_id + 1}",

unit="ep", ncols=80, mininterval=0.05) as pbar:

for ep in range(num_episodios):

state = env.reset()

feito = False

venceu = False

num_passos = 0

while not feito and num_passos < 100:

acao = agente.escolher_acao(state)

next_state, reward, feito = env.step_fast(state, acao)

agente.atualizar(state, acao, reward, next_state, feito)

state = next_state

num_passos += 1

if reward > 0:

venceu = True

vitorias[ep] = 1 if venceu else 0

agente.decair_epsilon()

# Atualiza barra a cada 5 episódios

if ep % 5 == 0:

taxa_recente = np.mean(vitorias[max(0, ep-99):ep+1]) * 100

pbar.set_postfix({'Taxa': f'{taxa_recente:.1f}%'}, refresh=True)

pbar.update(5)

elif ep == 0:

pbar.update(1)

resultados.append({

'id': agente_id,

'Q': agente.Q.copy(),

'vitorias': vitorias

})

print("\n✅ Treinamento concluído!")

# ============================================

# ETAPA 2: TESTANDO CADA AGENTE (VERSÃO CORRIGIDA)

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("ETAPA 2: TESTANDO CADA AGENTE")

print("=" * 70)

print("\n🎮 Avaliando desempenho individual...")

print(" (Isso pode levar alguns segundos)\n")

taxas_agentes = []

# Testa cada agente individualmente com barra de progresso

for idx, r in enumerate(resultados):

print(f"\n📊 Testando Agente {idx + 1}...")

num_testes = 200

vitorias = 0

# Barra de progresso para o teste deste agente

with tqdm(total=num_testes, desc=f"Agente {idx + 1}",

unit="teste", ncols=80, mininterval=0.01) as pbar:

for teste_num in range(num_testes):

state = 0

feito = False

passos = 0

while not feito and passos < 50:

acao = np.argmax(r['Q'][state])

# Simula passo sem criar novo ambiente

linha, coluna = state // 4, state % 4

# Escorregamento

rand = random.random()

if rand < 0.33:

acao_real = acao

elif rand < 0.66:

acao_real = {0: 2, 1: 3, 2: 1, 3: 0}[acao]

else:

acao_real = {0: 3, 1: 2, 2: 0, 3: 1}[acao]

# Move

nl, nc = linha, coluna

if acao_real == 0: nl = max(0, linha - 1)

elif acao_real == 1: nl = min(3, linha + 1)

elif acao_real == 2: nc = max(0, coluna - 1)

elif acao_real == 3: nc = min(3, coluna + 1)

novo_state = nl * 4 + nc

# Verifica resultado

if nl == 3 and nc == 2: # objetivo

vitorias += 1

break

elif (nl == 1 and nc == 1) or (nl == 1 and nc == 3) or \

(nl == 2 and nc == 1) or (nl == 3 and nc == 3): # buraco

break

state = novo_state

passos += 1

pbar.update(1)

# Mostra taxa atual a cada 50 testes

if (teste_num + 1) % 50 == 0:

taxa_atual = (vitorias / (teste_num + 1)) * 100

pbar.set_postfix({'Taxa': f'{taxa_atual:.1f}%'}, refresh=True)

taxa = (vitorias / num_testes) * 100

taxas_agentes.append(taxa)

print(f" ✅ Agente {idx + 1}: {taxa:.1f}% de sucesso")

# Mostra resumo

print("\n" + "-" * 50)

print("📊 RESUMO DOS TESTES:")

for idx, taxa in enumerate(taxas_agentes):

print(f" Agente {idx + 1}: {taxa:.1f}%")

print("-" * 50)

melhor_agente_idx = np.argmax(taxas_agentes)

print(f"\n🏆 Melhor agente: Agente {melhor_agente_idx + 1} com {taxas_agentes[melhor_agente_idx]:.1f}%")

# ============================================

# ETAPA 3: COMBINANDO AGENTES

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("ETAPA 3: COMBINANDO OS 4 AGENTES")

print("=" * 70)

print("\n🔄 Criando agente combinado...")

Q_combinado = np.zeros((16, 4))

with tqdm(total=16, desc="Combinando estados", unit="estado", ncols=80, mininterval=0.05) as pbar:

for state in range(16):

# Encontra melhor agente para este estado

melhores_valores = [np.max(r['Q'][state]) for r in resultados]

melhor_agente = np.argmax(melhores_valores)

Q_combinado[state] = resultados[melhor_agente]['Q'][state].copy()

pbar.update(1)

print("\n✅ Combinação concluída!")

# ============================================

# ETAPA 4: TESTANDO AGENTE COMBINADO

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("ETAPA 4: TESTANDO AGENTE COMBINADO")

print("=" * 70)

num_testes_combinado = 500

vitorias_combinado = 0

print(f"\n🎮 Testando em {num_testes_combinado} partidas...")

with tqdm(total=num_testes_combinado, desc="Testando combinado",

unit="partida", ncols=80, mininterval=0.01) as pbar:

for teste_num in range(num_testes_combinado):

state = 0

feito = False

passos = 0

while not feito and passos < 50:

acao = np.argmax(Q_combinado[state])

# Simula passo

linha, coluna = state // 4, state % 4

rand = random.random()

if rand < 0.33:

acao_real = acao

elif rand < 0.66:

acao_real = {0: 2, 1: 3, 2: 1, 3: 0}[acao]

else:

acao_real = {0: 3, 1: 2, 2: 0, 3: 1}[acao]

nl, nc = linha, coluna

if acao_real == 0: nl = max(0, linha - 1)

elif acao_real == 1: nl = min(3, linha + 1)

elif acao_real == 2: nc = max(0, coluna - 1)

elif acao_real == 3: nc = min(3, coluna + 1)

if nl == 3 and nc == 2: # objetivo

vitorias_combinado += 1

break

elif (nl == 1 and nc == 1) or (nl == 1 and nc == 3) or \

(nl == 2 and nc == 1) or (nl == 3 and nc == 3):

break

state = nl * 4 + nc

passos += 1

pbar.update(1)

# Mostra taxa atual frequentemente

if (teste_num + 1) % 25 == 0:

taxa_atual = (vitorias_combinado / (teste_num + 1)) * 100

pbar.set_postfix({'Taxa': f'{taxa_atual:.1f}%'}, refresh=True)

taxa_combinado = (vitorias_combinado / num_testes_combinado) * 100

print(f"\n🏆 Agente combinado: {taxa_combinado:.1f}% de sucesso")

# ============================================

# VISUALIZAÇÃO

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("ETAPA 5: GERANDO GRÁFICOS")

print("=" * 70)

plt.figure(figsize=(15, 5))

# Gráfico 1: Evolução dos agentes

plt.subplot(1, 3, 1)

for r in resultados:

media = np.convolve(r['vitorias'], np.ones(100)/100, mode='valid')

plt.plot(range(99, num_episodios), media, alpha=0.6, linewidth=1)

plt.xlabel('Episódio')

plt.ylabel('Taxa de vitória')

plt.title('Evolução do Aprendizado')

plt.ylim(0, 1)

plt.grid(True, alpha=0.3)

# Gráfico 2: Função Valor

plt.subplot(1, 3, 2)

V = np.max(Q_combinado, axis=1).reshape(4, 4)

im = plt.imshow(V, cmap='RdYlGn', interpolation='nearest', vmin=0, vmax=1)

plt.colorbar(im, label='Valor')

for i in range(4):

for j in range(4):

if env_global.mapa[i, j] == 1:

plt.text(j, i, '💀', ha='center', va='center', fontsize=16)

elif env_global.mapa[i, j] == 2:

plt.text(j, i, '🎯', ha='center', va='center', fontsize=16)

else:

plt.text(j, i, f'{V[i,j]:.2f}', ha='center', va='center', fontsize=9)

plt.title('Função Valor V(s)')

plt.xlabel('Coluna')

plt.ylabel('Linha')

# Gráfico 3: Política

plt.subplot(1, 3, 3)

setas = ['↑', '↓', '←', '→']

for i in range(4):

for j in range(4):

state = i * 4 + j

tipo = env_global.mapa[i, j]

if tipo == 1:

plt.text(j, i, '💀', ha='center', va='center', fontsize=20, color='red')

elif tipo == 2:

plt.text(j, i, '🏆', ha='center', va='center', fontsize=20)

else:

melhor_acao = np.argmax(Q_combinado[state])

plt.text(j, i, setas[melhor_acao], ha='center', va='center', fontsize=22)

plt.xlim(-0.5, 3.5)

plt.ylim(3.5, -0.5)

plt.title('Política Ótima')

plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()

plt.show()

# ============================================

# RELATÓRIO FINAL

# ============================================

print("\n" + "=" * 70)

print("RELATÓRIO FINAL")

print("=" * 70)

print(f"""

✅ RESULTADOS:

- Melhor agente individual: {max(taxas_agentes):.1f}%

- Agente combinado: {taxa_combinado:.1f}%

- Melhoria: {taxa_combinado - max(taxas_agentes):.1f}%

📋 MAPA DO LAGO (com política aprendida):

""")

print(" Col0 Col1 Col2 Col3")

for i in range(4):

linha = f"Lin{i}: "

for j in range(4):

state = i * 4 + j

tipo = env_global.mapa[i, j]

if tipo == 1:

linha += " 💀 "

elif tipo == 2:

linha += " 🏆 "

else:

melhor = np.argmax(Q_combinado[state])

setas = ['↑', '↓', '←', '→']

linha += f" {setas[melhor]} "

print(linha)

print("\n" + "=" * 70)

print("✅ PROGRAMA CONCLUÍDO!")

print("=" * 70)

O código treina uma tabela Q no FrozenLake. O agente aprende por tentativa e erro. A função valor V(s) é derivada de Q(s,a). O primeiro gráfico mostra a melhora das recompensas. O segundo gráfico exibe o valor de cada estado. Regiões mais claras são mais valiosas. O agente aprende a evitar buracos (valor baixo) e ir para o objetivo (valor alto). Este exemplo ilustra perfeitamente funções de valor e ação-valor.