Análise Discriminante: Formulação Matemática da Redução de Dimensionalidade LDA

Após explorarmos as formulações dos classificadores LDA e QDA, aprofundemo-nos agora na fundamentação matemática da redução de dimensionalidade via LDA. Primordialmente, esta abordagem representa uma aplicação elegante dos conceitos discriminativos para transformação de dados em espaços de menor dimensão.

O Problema de Otimização

Conforme discutimos anteriormente, o LDA para redução de dimensionalidade busca encontrar projeções que maximizem a separação entre classes. Analogamente, podemos formular este problema como uma otimização que maximiza o critério de Fisher:

\(J(W) = \frac{W^T S_B W}{W^T S_W W}\)

Onde W é a matriz de transformação que projeta os dados em um espaço de dimensão reduzida.

Matrizes de Dispersão

Matriz de Dispersão Entre Classes (Between-Class Scatter)

Esta matriz captura a dispersão das médias das classes em relação à média global:

\(S_B = \sum_{k=1}^K N_k (\mu_k – \mu)(\mu_k – \mu)^T\)

Onde:

\(K\) é o número de classes
\(N_k\) é o número de amostras na classe k
\(μ_k\) é a média da classe k
\(μ\) é a média global dos dados

Matriz de Dispersão Dentro das Classes (Within-Class Scatter)

Esta matriz quantifica a dispersão dos dados dentro de cada classe:

\(S_W = \sum_{k=1}^K \sum_{x_i \in C_k} (x_i – \mu_k)(x_i – \mu_k)^T\)

Alternativamente, podemos expressar S_W em termos das matrizes de covariância de cada classe:

\(S_W = \sum_{k=1}^K N_k \Sigma_k\)

Solução do Problema de Autovalor Generalizado

Maximizar J(W) equivale a resolver o problema de autovalor generalizado:

\(S_B w = \lambda S_W w\)

Os autovetores correspondentes aos maiores autovalores formam as direções de projeção ótimas. Ademais, o número máximo de componentes discriminantes é limitado por:

\(L \leq \min(K-1, d)\)

Onde K é o número de classes e d é a dimensionalidade original.

Interpretação Geométrica

Projeção Ótima

Os autovetores w_i que resolvem o problema de autovalor definem um novo sistema de coordenadas onde:

\(y = W^T x\)

Neste espaço projetado, a razão entre a dispersão entre classes e dentro das classes é maximizada.

Variância Explicada

Os autovalores λ_i associados a cada autovetor indicam o poder discriminativo de cada componente:

\(\text{Variância explicada} = \frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^L \lambda_j}\)

Relação com Análise de Variância (ANOVA)

Similarmente à ANOVA, o LDA decompõe a variabilidade total em componentes:

\(S_T = S_W + S_B\)

Onde \(S_T\) é a matriz de dispersão total. Inegavelmente, esta decomposição revela a estrutura fundamental dos dados.

Regularização e Estabilidade Numérica

Quando \(S_W\) é singular ou mal-condicionada, utilizamos regularização:

\(S_W^{reg} = S_W + \gamma I\)

Esta abordagem melhora a estabilidade numérica sem comprometer significativamente o poder discriminativo.

Exemplo Prático em Python

Para ilustrar estas formulações matemáticas, implementemos um exemplo detalhado que demonstra os cálculos fundamentais:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis
from sklearn.datasets import load_iris, make_classification
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import scipy.linalg as la

'''
Implementação manual da redução de dimensionalidade LDA
para demonstrar as formulações matemáticas
'''

class ManualLDAReducer:
    '''Implementação manual do LDA para redução de dimensionalidade'''
    
    def fit(self, X, y, n_components=None):
        """
        Implementa a formulação matemática completa do LDA
        para redução de dimensionalidade
        """
        self.classes_ = np.unique(y)
        self.n_classes = len(self.classes_)
        self.n_features = X.shape[1]
        
        if n_components is None:
            n_components = min(self.n_classes - 1, self.n_features)
        self.n_components = n_components
        
        # Calculando estatísticas básicas
        self.means_ = self._calculate_class_means(X, y)
        self.global_mean_ = np.mean(X, axis=0)
        self.priors_ = self._calculate_priors(y)
        
        # Calculando matrizes de dispersão
        self.S_B = self._calculate_between_class_scatter()
        self.S_W = self._calculate_within_class_scatter(X, y)
        
        # Resolvendo problema de autovalor generalizado
        self.eigenvalues_, self.eigenvectors_ = self._solve_eigenproblem()
        
        # Selecionando componentes principais
        self.components_ = self.eigenvectors_[:, :self.n_components]
        
        return self
    
    def _calculate_class_means(self, X, y):
        """Calcula as médias de cada classe"""
        means = []
        for k in self.classes_:
            class_mask = (y == k)
            means.append(np.mean(X[class_mask], axis=0))
        return np.array(means)
    
    def _calculate_priors(self, y):
        """Calcula as probabilidades a priori de cada classe"""
        priors = []
        for k in self.classes_:
            priors.append(np.mean(y == k))
        return np.array(priors)
    
    def _calculate_between_class_scatter(self):
        """Calcula a matriz de dispersão entre classes S_B"""
        S_B = np.zeros((self.n_features, self.n_features))
        for k, mean_k in enumerate(self.means_):
            n_k = np.sum(self.priors_[k] * len(self.classes_))  # Aproximação
            diff = (mean_k - self.global_mean_).reshape(-1, 1)
            S_B += n_k * (diff @ diff.T)
        return S_B
    
    def _calculate_within_class_scatter(self, X, y):
        """Calcula a matriz de dispersão dentro das classes S_W"""
        S_W = np.zeros((self.n_features, self.n_features))
        for k, mean_k in enumerate(self.means_):
            class_mask = (y == self.classes_[k])
            X_class = X[class_mask]
            X_centered = X_class - mean_k
            S_W += X_centered.T @ X_centered
        return S_W
    
    def _solve_eigenproblem(self):
        """
        Resolve o problema de autovalor generalizado S_B w = λ S_W w
        usando decomposição simultânea das matrizes
        """
        # Decomposição de Cholesky de S_W para estabilidade numérica
        try:
            L = la.cholesky(self.S_W, lower=True)
            Linv = la.inv(L)
            
            # Transformando o problema em problema de autovalor regular
            S_B_transformed = Linv @ self.S_B @ Linv.T
            
            # Resolvendo problema de autovalor simétrico
            eigvals, eigvecs_transformed = la.eigh(S_B_transformed)
            
            # Transformando autovetores de volta para o espaço original
            eigenvectors = Linv.T @ eigvecs_transformed
            
            # Ordenando autovalores e autovetores em ordem decrescente
            idx = np.argsort(eigvals)[::-1]
            eigenvalues = eigvals[idx]
            eigenvectors = eigenvectors[:, idx]
            
        except la.LinAlgError:
            # Fallback: usar pseudo-inversa se Cholesky falhar
            print("Cholesky failed, using pseudo-inverse approach")
            S_W_pinv = la.pinv(self.S_W)
            S_combined = S_W_pinv @ self.S_B
            eigenvalues, eigenvectors = la.eig(S_combined)
            eigenvalues = eigenvalues.real
            eigenvectors = eigenvectors.real
            
            # Ordenando
            idx = np.argsort(eigenvalues)[::-1]
            eigenvalues = eigenvalues[idx]
            eigenvectors = eigenvectors[:, idx]
        
        return eigenvalues, eigenvectors
    
    def transform(self, X):
        """Projeta os dados no espaço LDA"""
        return X @ self.components_
    
    def explained_variance_ratio(self):
        """Calcula a razão de variância explicada por cada componente"""
        total_variance = np.sum(self.eigenvalues_)
        return self.eigenvalues_[:self.n_components] / total_variance

'''
Demonstração completa da formulação matemática
'''
print("=== FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DA REDUÇÃO LDA ===")

# Carregando dataset para demonstração
iris = load_iris()
X, y = iris.data, iris.target

# Padronizando os dados
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)

print(f"Dados originais: {X_scaled.shape}")
print(f"Número de classes: {len(np.unique(y))}")

# Aplicando implementação manual
print("\n1. IMPLEMENTAÇÃO MANUAL")
manual_lda = ManualLDAReducer()
manual_lda.fit(X_scaled, y, n_components=2)
X_manual = manual_lda.transform(X_scaled)

print(f"Matriz S_B (Between-class scatter): {manual_lda.S_B.shape}")
print(f"Matriz S_W (Within-class scatter): {manual_lda.S_W.shape}")
print(f"Autovalores: {manual_lda.eigenvalues_}")
print(f"Razão de variância explicada: {manual_lda.explained_variance_ratio()}")
print(f"Variância total explicada: {np.sum(manual_lda.explained_variance_ratio()):.3f}")

# Comparando com scikit-learn
print("\n2. COMPARAÇÃO COM SCIKIT-LEARN")
sklearn_lda = LinearDiscriminantAnalysis(n_components=2)
X_sklearn = sklearn_lda.fit_transform(X_scaled, y)

print(f"Autovalores (scikit-learn): {sklearn_lda.explained_variance_ratio_}")
print(f"Variância total explicada: {np.sum(sklearn_lda.explained_variance_ratio_):.3f}")

'''
Análise das matrizes de dispersão
'''
print("\n3. ANÁLISE DAS MATRIZES DE DISPERSÃO")

# Verificando propriedades matemáticas
S_T = manual_lda.S_W + manual_lda.S_B  # Decomposição total
print(f"Decomposição S_T = S_W + S_B:")
print(f"  Norma de S_T - (S_W + S_B): {np.linalg.norm(S_T - (manual_lda.S_W + manual_lda.S_B)):.6f}")

# Análise de rank
print(f"Rank das matrizes:")
print(f"  Rank(S_B): {np.linalg.matrix_rank(manual_lda.S_B)}")
print(f"  Rank(S_W): {np.linalg.matrix_rank(manual_lda.S_W)}")
print(f"  Rank(S_T): {np.linalg.matrix_rank(S_T)}")

'''
Visualização comparativa
'''
print("\n4. VISUALIZAÇÃO DOS RESULTADOS")

fig, ((ax1, ax2), (ax3, ax4)) = plt.subplots(2, 2, figsize=(15, 12))

# Plot 1: Dados originais (duas primeiras features)
for i, class_label in enumerate(np.unique(y)):
    ax1.scatter(X_scaled[y == class_label, 0], X_scaled[y == class_label, 1], 
                alpha=0.7, label=f'Classe {class_label}')
ax1.set_title('Dados Originais (2 Features)')
ax1.set_xlabel('Feature 1')
ax1.set_ylabel('Feature 2')
ax1.legend()
ax1.grid(True, alpha=0.3)

# Plot 2: Projeção manual LDA
for i, class_label in enumerate(np.unique(y)):
    ax2.scatter(X_manual[y == class_label, 0], X_manual[y == class_label, 1], 
                alpha=0.7, label=f'Classe {class_label}')
ax2.set_title('Projeção LDA Manual')
ax2.set_xlabel('Componente LDA 1')
ax2.set_ylabel('Componente LDA 2')
ax2.legend()
ax2.grid(True, alpha=0.3)

# Plot 3: Projeção scikit-learn LDA
for i, class_label in enumerate(np.unique(y)):
    ax3.scatter(X_sklearn[y == class_label, 0], X_sklearn[y == class_label, 1], 
                alpha=0.7, label=f'Classe {class_label}')
ax3.set_title('Projeção LDA Scikit-learn')
ax3.set_xlabel('Componente LDA 1')
ax3.set_ylabel('Componente LDA 2')
ax3.legend()
ax3.grid(True, alpha=0.3)

# Plot 4: Comparação das projeções
ax4.scatter(X_manual[:, 0], X_manual[:, 1], alpha=0.5, label='Manual', marker='o')
ax4.scatter(X_sklearn[:, 0], X_sklearn[:, 1], alpha=0.5, label='Scikit-learn', marker='x')
ax4.set_title('Comparação das Projeções')
ax4.set_xlabel('Componente LDA 1')
ax4.set_ylabel('Componente LDA 2')
ax4.legend()
ax4.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

'''
Análise dos autovetores e direções discriminantes
'''
print("\n5. ANÁLISE DAS DIREÇÕES DISCRIMINANTES")

print("Autovetores (componentes LDA) - Manual:")
print(manual_lda.components_)

if hasattr(sklearn_lda, 'scalings_'):
    print("\nAutovetores (componentes LDA) - Scikit-learn:")
    print(sklearn_lda.scalings_)

# Calculando ângulo entre os componentes
if hasattr(sklearn_lda, 'scalings_') and manual_lda.components_.shape == sklearn_lda.scalings_.shape:
    for i in range(manual_lda.n_components):
        v1 = manual_lda.components_[:, i]
        v2 = sklearn_lda.scalings_[:, i]
        cosine_sim = np.abs(np.dot(v1, v2) / (np.linalg.norm(v1) * np.linalg.norm(v2)))
        print(f"Similaridade do cosseno componente {i+1}: {cosine_sim:.6f}")

'''
Exemplo com dados de alta dimensionalidade
'''
print("\n6. APLICAÇÃO EM ALTA DIMENSIONALIDADE")

# Criando dataset com mais features
X_high, y_high = make_classification(
    n_samples=200, n_features=10, n_informative=5, 
    n_redundant=3, n_classes=4, random_state=42
)

X_high_scaled = StandardScaler().fit_transform(X_high)

manual_lda_high = ManualLDAReducer()
manual_lda_high.fit(X_high_scaled, y_high, n_components=3)
X_high_manual = manual_lda_high.transform(X_high_scaled)

print(f"Dimensionalidade original: {X_high_scaled.shape}")
print(f"Dimensionalidade após LDA: {X_high_manual.shape}")
print(f"Autovalores: {manual_lda_high.eigenvalues_[:3]}")
print(f"Variância explicada: {manual_lda_high.explained_variance_ratio()}")

'''
Interpretação matemática dos resultados
'''
print("\n7. INTERPRETAÇÃO MATEMÁTICA")
print("A formulação matemática demonstra que:")
print("  - O LDA maximiza a razão entre dispersão entre classes e dentro delas")
print("  - Os autovetores definem as direções de máxima separabilidade")
print("  - Os autovalores quantificam o poder discriminativo de cada componente")
print("  - A decomposição S_T = S_W + S_B revela a estrutura de variabilidade")
print("  - A implementação manual valida as fundamentações teóricas")

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

241

242

243

244

245

246

247

248

249

250

251

252

253

254

255

256

257

258

259

260

261

262

263

264

265

266

267

268

269

270

271

272

273

274

275

276

277

278

279

280

281

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis

from sklearn.datasets import load_iris, make_classification

from sklearn.preprocessing import StandardScaler

import scipy.linalg as la

'''

Implementação manual da redução de dimensionalidade LDA

para demonstrar as formulações matemáticas

'''

class ManualLDAReducer:

'''Implementação manual do LDA para redução de dimensionalidade'''

def fit(self, X, y, n_components=None):

"""

Implementa a formulação matemática completa do LDA

para redução de dimensionalidade

"""

self.classes_ = np.unique(y)

self.n_classes = len(self.classes_)

self.n_features = X.shape[1]

if n_components is None:

n_components = min(self.n_classes - 1, self.n_features)

self.n_components = n_components

# Calculando estatísticas básicas

self.means_ = self._calculate_class_means(X, y)

self.global_mean_ = np.mean(X, axis=0)

self.priors_ = self._calculate_priors(y)

# Calculando matrizes de dispersão

self.S_B = self._calculate_between_class_scatter()

self.S_W = self._calculate_within_class_scatter(X, y)

# Resolvendo problema de autovalor generalizado

self.eigenvalues_, self.eigenvectors_ = self._solve_eigenproblem()

# Selecionando componentes principais

self.components_ = self.eigenvectors_[:, :self.n_components]

return self

def _calculate_class_means(self, X, y):

"""Calcula as médias de cada classe"""

means = []

for k in self.classes_:

class_mask = (y == k)

means.append(np.mean(X[class_mask], axis=0))

return np.array(means)

def _calculate_priors(self, y):

"""Calcula as probabilidades a priori de cada classe"""

priors = []

for k in self.classes_:

priors.append(np.mean(y == k))

return np.array(priors)

def _calculate_between_class_scatter(self):

"""Calcula a matriz de dispersão entre classes S_B"""

S_B = np.zeros((self.n_features, self.n_features))

for k, mean_k in enumerate(self.means_):

n_k = np.sum(self.priors_[k] * len(self.classes_)) # Aproximação

diff = (mean_k - self.global_mean_).reshape(-1, 1)

S_B += n_k * (diff @ diff.T)

return S_B

def _calculate_within_class_scatter(self, X, y):

"""Calcula a matriz de dispersão dentro das classes S_W"""

S_W = np.zeros((self.n_features, self.n_features))

for k, mean_k in enumerate(self.means_):

class_mask = (y == self.classes_[k])

X_class = X[class_mask]

X_centered = X_class - mean_k

S_W += X_centered.T @ X_centered

return S_W

def _solve_eigenproblem(self):

"""

Resolve o problema de autovalor generalizado S_B w = λ S_W w

usando decomposição simultânea das matrizes

"""

# Decomposição de Cholesky de S_W para estabilidade numérica

try:

L = la.cholesky(self.S_W, lower=True)

Linv = la.inv(L)

# Transformando o problema em problema de autovalor regular

S_B_transformed = Linv @ self.S_B @ Linv.T

# Resolvendo problema de autovalor simétrico

eigvals, eigvecs_transformed = la.eigh(S_B_transformed)

# Transformando autovetores de volta para o espaço original

eigenvectors = Linv.T @ eigvecs_transformed

# Ordenando autovalores e autovetores em ordem decrescente

idx = np.argsort(eigvals)[::-1]

eigenvalues = eigvals[idx]

eigenvectors = eigenvectors[:, idx]

except la.LinAlgError:

# Fallback: usar pseudo-inversa se Cholesky falhar

print("Cholesky failed, using pseudo-inverse approach")

S_W_pinv = la.pinv(self.S_W)

S_combined = S_W_pinv @ self.S_B

eigenvalues, eigenvectors = la.eig(S_combined)

eigenvalues = eigenvalues.real

eigenvectors = eigenvectors.real

# Ordenando

idx = np.argsort(eigenvalues)[::-1]

eigenvalues = eigenvalues[idx]

eigenvectors = eigenvectors[:, idx]

return eigenvalues, eigenvectors

def transform(self, X):

"""Projeta os dados no espaço LDA"""

return X @ self.components_

def explained_variance_ratio(self):

"""Calcula a razão de variância explicada por cada componente"""

total_variance = np.sum(self.eigenvalues_)

return self.eigenvalues_[:self.n_components] / total_variance

'''

Demonstração completa da formulação matemática

'''

print("=== FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DA REDUÇÃO LDA ===")

# Carregando dataset para demonstração

iris = load_iris()

X, y = iris.data, iris.target

# Padronizando os dados

scaler = StandardScaler()

X_scaled = scaler.fit_transform(X)

print(f"Dados originais: {X_scaled.shape}")

print(f"Número de classes: {len(np.unique(y))}")

# Aplicando implementação manual

print("\n1. IMPLEMENTAÇÃO MANUAL")

manual_lda = ManualLDAReducer()

manual_lda.fit(X_scaled, y, n_components=2)

X_manual = manual_lda.transform(X_scaled)

print(f"Matriz S_B (Between-class scatter): {manual_lda.S_B.shape}")

print(f"Matriz S_W (Within-class scatter): {manual_lda.S_W.shape}")

print(f"Autovalores: {manual_lda.eigenvalues_}")

print(f"Razão de variância explicada: {manual_lda.explained_variance_ratio()}")

print(f"Variância total explicada: {np.sum(manual_lda.explained_variance_ratio()):.3f}")

# Comparando com scikit-learn

print("\n2. COMPARAÇÃO COM SCIKIT-LEARN")

sklearn_lda = LinearDiscriminantAnalysis(n_components=2)

X_sklearn = sklearn_lda.fit_transform(X_scaled, y)

print(f"Autovalores (scikit-learn): {sklearn_lda.explained_variance_ratio_}")

print(f"Variância total explicada: {np.sum(sklearn_lda.explained_variance_ratio_):.3f}")

'''

Análise das matrizes de dispersão

'''

print("\n3. ANÁLISE DAS MATRIZES DE DISPERSÃO")

# Verificando propriedades matemáticas

S_T = manual_lda.S_W + manual_lda.S_B # Decomposição total

print(f"Decomposição S_T = S_W + S_B:")

print(f" Norma de S_T - (S_W + S_B): {np.linalg.norm(S_T - (manual_lda.S_W + manual_lda.S_B)):.6f}")

# Análise de rank

print(f"Rank das matrizes:")

print(f" Rank(S_B): {np.linalg.matrix_rank(manual_lda.S_B)}")

print(f" Rank(S_W): {np.linalg.matrix_rank(manual_lda.S_W)}")

print(f" Rank(S_T): {np.linalg.matrix_rank(S_T)}")

'''

Visualização comparativa

'''

print("\n4. VISUALIZAÇÃO DOS RESULTADOS")

fig, ((ax1, ax2), (ax3, ax4)) = plt.subplots(2, 2, figsize=(15, 12))

# Plot 1: Dados originais (duas primeiras features)

for i, class_label in enumerate(np.unique(y)):

ax1.scatter(X_scaled[y == class_label, 0], X_scaled[y == class_label, 1],

alpha=0.7, label=f'Classe {class_label}')

ax1.set_title('Dados Originais (2 Features)')

ax1.set_xlabel('Feature 1')

ax1.set_ylabel('Feature 2')

ax1.legend()

ax1.grid(True, alpha=0.3)

# Plot 2: Projeção manual LDA

for i, class_label in enumerate(np.unique(y)):

ax2.scatter(X_manual[y == class_label, 0], X_manual[y == class_label, 1],

alpha=0.7, label=f'Classe {class_label}')

ax2.set_title('Projeção LDA Manual')

ax2.set_xlabel('Componente LDA 1')

ax2.set_ylabel('Componente LDA 2')

ax2.legend()

ax2.grid(True, alpha=0.3)

# Plot 3: Projeção scikit-learn LDA

for i, class_label in enumerate(np.unique(y)):

ax3.scatter(X_sklearn[y == class_label, 0], X_sklearn[y == class_label, 1],

alpha=0.7, label=f'Classe {class_label}')

ax3.set_title('Projeção LDA Scikit-learn')

ax3.set_xlabel('Componente LDA 1')

ax3.set_ylabel('Componente LDA 2')

ax3.legend()

ax3.grid(True, alpha=0.3)

# Plot 4: Comparação das projeções

ax4.scatter(X_manual[:, 0], X_manual[:, 1], alpha=0.5, label='Manual', marker='o')

ax4.scatter(X_sklearn[:, 0], X_sklearn[:, 1], alpha=0.5, label='Scikit-learn', marker='x')

ax4.set_title('Comparação das Projeções')

ax4.set_xlabel('Componente LDA 1')

ax4.set_ylabel('Componente LDA 2')

ax4.legend()

ax4.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()

plt.show()

'''

Análise dos autovetores e direções discriminantes

'''

print("\n5. ANÁLISE DAS DIREÇÕES DISCRIMINANTES")

print("Autovetores (componentes LDA) - Manual:")

print(manual_lda.components_)

if hasattr(sklearn_lda, 'scalings_'):

print("\nAutovetores (componentes LDA) - Scikit-learn:")

print(sklearn_lda.scalings_)

# Calculando ângulo entre os componentes

if hasattr(sklearn_lda, 'scalings_') and manual_lda.components_.shape == sklearn_lda.scalings_.shape:

for i in range(manual_lda.n_components):

v1 = manual_lda.components_[:, i]

v2 = sklearn_lda.scalings_[:, i]

cosine_sim = np.abs(np.dot(v1, v2) / (np.linalg.norm(v1) * np.linalg.norm(v2)))

print(f"Similaridade do cosseno componente {i+1}: {cosine_sim:.6f}")

'''

Exemplo com dados de alta dimensionalidade

'''

print("\n6. APLICAÇÃO EM ALTA DIMENSIONALIDADE")

# Criando dataset com mais features

X_high, y_high = make_classification(

n_samples=200, n_features=10, n_informative=5,

n_redundant=3, n_classes=4, random_state=42

)

X_high_scaled = StandardScaler().fit_transform(X_high)

manual_lda_high = ManualLDAReducer()

manual_lda_high.fit(X_high_scaled, y_high, n_components=3)

X_high_manual = manual_lda_high.transform(X_high_scaled)

print(f"Dimensionalidade original: {X_high_scaled.shape}")

print(f"Dimensionalidade após LDA: {X_high_manual.shape}")

print(f"Autovalores: {manual_lda_high.eigenvalues_[:3]}")

print(f"Variância explicada: {manual_lda_high.explained_variance_ratio()}")

'''

Interpretação matemática dos resultados

'''

print("\n7. INTERPRETAÇÃO MATEMÁTICA")

print("A formulação matemática demonstra que:")

print(" - O LDA maximiza a razão entre dispersão entre classes e dentro delas")

print(" - Os autovetores definem as direções de máxima separabilidade")

print(" - Os autovalores quantificam o poder discriminativo de cada componente")

print(" - A decomposição S_T = S_W + S_B revela a estrutura de variabilidade")

print(" - A implementação manual valida as fundamentações teóricas")

Interpretação dos Resultados Matemáticos

Analisando a implementação e os resultados, podemos observar que:

As matrizes S_B e S_W capturam adequadamente a estrutura de dispersão dos dados
Os autovalores refletem o poder discriminativo de cada componente LDA
A decomposição da variabilidade total é matematicamente consistente
As projeções preservam a separabilidade entre classes mesmo com redução dimensional

Propriedades Matemáticas Importantes

Ortogonalidade dos Componentes

No espaço transformado, os componentes LDA são ortogonais em relação à métrica definida por S_W:

\(w_i^T S_W w_j = 0 \quad \text{para } i \neq j\)

Maximização Sequencial

Os componentes são encontrados sequencialmente, onde cada novo componente maximiza a separação sujeito à ortogonalidade com os anteriores.

Considerações Numéricas

Na prática, várias considerações numéricas são importantes:

O problema de autovalor generalizado requer cuidado com matrizes singulares
Técnicas de regularização melhoram a estabilidade numérica
Decomposições como Cholesky podem ser preferíveis para eficiência
A seleção do número de componentes deve considerar tanto aspectos matemáticos quanto práticos

Relação com Outras Técnicas

Similarmente a outras técnicas de redução de dimensionalidade, o LDA compartilha conceitos fundamentais:

Como o PCA, busca direções de máxima variância, mas com foco na variância entre classes
Como a ANOVA, decompõe a variabilidade total em componentes estruturados
Como métodos de projeção linear, transforma dados preservando propriedades desejadas

Portanto, a formulação matemática do LDA para redução de dimensionalidade não apenas fornece uma ferramenta prática, mas também revela insights profundos sobre a estrutura dos dados e as relações entre observações de diferentes classes.

Indice