Análise Discriminante: Formulação Matemática dos Classificadores LDA e QDA

Após explorarmos as aplicações práticas da Análise Discriminante, mergulhemos agora nos fundamentos matemáticos que sustentam os classificadores LDA e QDA. Primordialmente, compreender estas formulações nos permitirá aplicar estas técnicas com maior discernimento e interpretar seus resultados de forma mais profunda.

Pressupostos Fundamentais

Conforme mencionamos anteriormente, ambos os métodos assumem que os dados seguem distribuições Gaussianas multivariadas. Analogamente, podemos expressar esta suposição formalmente:

\(P(x | y = k) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2} |\Sigma_k|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2} (x – \mu_k)^T \Sigma_k^{-1} (x – \mu_k)\right)\)

Onde para cada classe k:

μ_k é o vetor de médias
Σ_k é a matriz de covariância
d é a dimensionalidade dos dados

Teorema de Bayes e Função Discriminante

A decisão de classificação baseia-se no teorema de Bayes:

\(P(y = k | x) = \frac{P(x | y = k) P(y = k)}{P(x)}\)

Como P(x) é constante para todas as classes, maximizar P(y=k|x) equivale a maximizar o numerador. Portanto, definimos a função discriminante como:

\(\delta_k(x) = \log P(x | y = k) + \log P(y = k)\)

Análise Discriminante Linear (LDA)

Pressuposto de Covariância Comum

O LDA assume que todas as classes compartilham a mesma matriz de covariância:

\(\Sigma_k = \Sigma \quad \text{para todo } k\)

Desenvolvendo a função discriminante com este pressuposto, obtemos:

\(\delta_k(x) = x^T \Sigma^{-1} \mu_k – \frac{1}{2} \mu_k^T \Sigma^{-1} \mu_k + \log \pi_k\)

Onde π_k = P(y=k) é a probabilidade a priori da classe k.

Forma Linear da Fronteira de Decisão

A fronteira entre duas classes i e j é determinada por:

\(\delta_i(x) = \delta_j(x)\)

O que resulta em uma equação linear em x:

\(x^T \Sigma^{-1} (\mu_i – \mu_j) – \frac{1}{2} (\mu_i + \mu_j)^T \Sigma^{-1} (\mu_i – \mu_j) + \log(\pi_i/\pi_j) = 0\)

Análise Discriminante Quadrática (QDA)

Matrizes de Covariância Distintas

O QDA permite que cada classe tenha sua própria matriz de covariância:

\(\Sigma_k \neq \Sigma_j \quad \text{para } k \neq j\)

Desenvolvendo a função discriminante, obtemos:

\(\delta_k(x) = -\frac{1}{2} \log |\Sigma_k| – \frac{1}{2} (x – \mu_k)^T \Sigma_k^{-1} (x – \mu_k) + \log \pi_k\)

Forma Quadrática da Fronteira de Decisão

A fronteira entre classes i e j é dada por:

\(\delta_i(x) = \delta_j(x)\)

O que resulta em uma equação quadrática em x, criando fronteiras de decisão curvas.

Estimativa dos Parâmetros

Estimativas de Máxima Verossimilhança

Os parâmetros são estimados a partir dos dados de treinamento:

Médias das classes: \(\hat{\mu}_k = \frac{1}{N_k} \sum_{i: y_i = k} x_i\)
Probabilidades a priori: \(\hat{\pi}_k = \frac{N_k}{N}\)
Matriz de covariância (LDA): \(\hat{\Sigma} = \frac{1}{N-K} \sum_{k=1}^K \sum_{i: y_i = k} (x_i – \hat{\mu}_k)(x_i – \hat{\mu}_k)^T\)
Matrizes de covariância (QDA): \(\hat{\Sigma}_k = \frac{1}{N_k-1} \sum_{i: y_i = k} (x_i – \hat{\mu}_k)(x_i – \hat{\mu}_k)^T\)

Comparação Matemática Detalhada

Complexidade de Parâmetros

O número de parâmetros a estimar difere significativamente:

LDA: K × d (médias) + d(d+1)/2 (covariância) + K (priors)
QDA: K × d (médias) + K × d(d+1)/2 (covariâncias) + K (priors)

Inegavelmente, o QDA requer substancialmente mais parâmetros, especialmente quando o número de features é grande.

Propriedades Estatísticas

Ambos os métodos possuem propriedades interessantes:

São classificadores Bayes ótimos sob os pressupostos Gaussianos
Produzem estimativas de probabilidade posteriores
Podem ser regularizados para melhor generalização
São consistentes sob condições apropriadas

Exemplo Prático em Python

Para ilustrar estas formulações matemáticas, implementemos um exemplo que demonstra os cálculos fundamentais:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis, QuadraticDiscriminantAnalysis
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score, confusion_matrix
import scipy.stats as stats

'''
Implementação manual dos cálculos LDA e QDA para demonstrar
as formulações matemáticas discutidas
'''

class ManualLDA:
    '''Implementação manual do LDA para fins educacionais'''
    
    def fit(self, X, y):
        """
        Estima os parâmetros do LDA: médias, covariância comum e priors
        """
        self.classes_ = np.unique(y)
        self.n_classes = len(self.classes_)
        self.n_features = X.shape[1]
        
        # Calculando médias por classe
        self.means_ = []
        for k in self.classes_:
            class_mask = (y == k)
            self.means_.append(np.mean(X[class_mask], axis=0))
        self.means_ = np.array(self.means_)
        
        # Calculando probabilidades a priori
        self.priors_ = []
        for k in self.classes_:
            self.priors_.append(np.mean(y == k))
        self.priors_ = np.array(self.priors_)
        
        # Calculando matriz de covariância comum
        self.covariance_ = np.zeros((self.n_features, self.n_features))
        for k, mean in zip(self.classes_, self.means_):
            class_mask = (y == k)
            X_centered = X[class_mask] - mean
            self.covariance_ += X_centered.T @ X_centered
        self.covariance_ /= (len(y) - self.n_classes)
        
        # Pré-calculando a inversa da covariância
        self.covariance_inv_ = np.linalg.pinv(self.covariance_)
        
        return self
    
    def _discriminant_function(self, x, k):
        """
        Calcula a função discriminante para uma observação x e classe k
        δ_k(x) = x^T Σ^{-1} μ_k - 1/2 μ_k^T Σ^{-1} μ_k + log(π_k)
        """
        mean_k = self.means_[k]
        prior_k = self.priors_[k]
        
        linear_term = x @ self.covariance_inv_ @ mean_k
        quadratic_term = 0.5 * mean_k @ self.covariance_inv_ @ mean_k
        prior_term = np.log(prior_k)
        
        return linear_term - quadratic_term + prior_term
    
    def predict_proba(self, X):
        """
        Calcula probabilidades posteriores usando softmax nas funções discriminantes
        """
        n_samples = X.shape[0]
        discriminant_scores = np.zeros((n_samples, self.n_classes))
        
        for k in range(self.n_classes):
            for i in range(n_samples):
                discriminant_scores[i, k] = self._discriminant_function(X[i], k)
        
        # Aplicando softmax para obter probabilidades
        exp_scores = np.exp(discriminant_scores - np.max(discriminant_scores, axis=1, keepdims=True))
        probabilities = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True)
        
        return probabilities
    
    def predict(self, X):
        """
        Prediz classes selecionando a com maior probabilidade posterior
        """
        probabilities = self.predict_proba(X)
        return np.argmax(probabilities, axis=1)

'''
Demonstração comparativa entre implementação manual e scikit-learn
'''
print("=== DEMONSTRAÇÃO DAS FORMULAÇÕES MATEMÁTICAS ===")

# Gerando dados de exemplo
X, y = make_classification(
    n_samples=300, n_features=2, n_informative=2, n_redundant=0,
    n_classes=3, n_clusters_per_class=1, random_state=42
)

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

# Aplicando implementação manual
print("\n1. IMPLEMENTAÇÃO MANUAL DO LDA")
manual_lda = ManualLDA()
manual_lda.fit(X_train, y_train)
y_pred_manual = manual_lda.predict(X_test)
accuracy_manual = accuracy_score(y_test, y_pred_manual)

print(f"Parâmetros estimados:")
print(f"  - Médias das classes: {manual_lda.means_.shape}")
print(f"  - Matriz de covariância: {manual_lda.covariance_.shape}")
print(f"  - Priors: {manual_lda.priors_}")
print(f"  - Acurácia (manual): {accuracy_manual:.3f}")

# Comparando com scikit-learn
print("\n2. COMPARAÇÃO COM SCIKIT-LEARN")
sklearn_lda = LinearDiscriminantAnalysis()
sklearn_lda.fit(X_train, y_train)
y_pred_sklearn = sklearn_lda.predict(X_test)
accuracy_sklearn = accuracy_score(y_test, y_pred_sklearn)

print(f"  - Acurácia (scikit-learn): {accuracy_sklearn:.3f}")
print(f"  - Coincidência nas predições: {np.mean(y_pred_manual == y_pred_sklearn):.3f}")

'''
Análise das funções discriminantes para uma observação específica
'''
print("\n3. ANÁLISE DAS FUNÇÕES DISCRIMINANTES")
sample_idx = 0
x_sample = X_test[sample_idx]
true_class = y_test[sample_idx]

print(f"Observação de teste {sample_idx}:")
print(f"  - Classe verdadeira: {true_class}")

# Calculando scores discriminantes manualmente
for k in range(manual_lda.n_classes):
    score = manual_lda._discriminant_function(x_sample, k)
    print(f"  - Score classe {k}: {score:.3f}")

# Probabilidades calculadas manualmente
proba_manual = manual_lda.predict_proba(X_test[sample_idx:sample_idx+1])[0]
print(f"  - Probabilidades (manual): {proba_manual}")

# Probabilidades do scikit-learn
proba_sklearn = sklearn_lda.predict_proba(X_test[sample_idx:sample_idx+1])[0]
print(f"  - Probabilidades (scikit-learn): {proba_sklearn}")

'''
Visualização das fronteiras de decisão
'''
print("\n4. VISUALIZAÇÃO DAS FRONTEIRAS DE DECISÃO")

# Criando grid para plotar fronteiras
h = 0.02
x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h),
                     np.arange(y_min, y_max, h))

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(15, 6))

# Plot implementação manual
Z_manual = manual_lda.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z_manual = Z_manual.reshape(xx.shape)
contour1 = ax1.contourf(xx, yy, Z_manual, alpha=0.3, cmap=plt.cm.Paired)
scatter1 = ax1.scatter(X_train[:, 0], X_train[:, 1], c=y_train, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')
ax1.set_title('Fronteiras de Decisão - Implementação Manual')
ax1.set_xlabel('Feature 1')
ax1.set_ylabel('Feature 2')

# Plot scikit-learn
Z_sklearn = sklearn_lda.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z_sklearn = Z_sklearn.reshape(xx.shape)
contour2 = ax2.contourf(xx, yy, Z_sklearn, alpha=0.3, cmap=plt.cm.Paired)
scatter2 = ax2.scatter(X_train[:, 0], X_train[:, 1], c=y_train, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')
ax2.set_title('Fronteiras de Decisão - Scikit-learn')
ax2.set_xlabel('Feature 1')
ax2.set_ylabel('Feature 2')

plt.tight_layout()
plt.show()

'''
Demonstração do cálculo da matriz de covariância
'''
print("\n5. CÁLCULO DETALHADO DA MATRIZ DE COVARIÂNCIA")
print("Matriz de covariância comum (LDA):")
print(manual_lda.covariance_)

# Verificando cálculo manual vs numpy
cov_numpy = np.cov(X_train.T, bias=True)
print("\nVerificação com numpy.cov (com bias adjustment):")
print("Diferença máxima:", np.max(np.abs(manual_lda.covariance_ - cov_numpy)))

'''
Implementação simplificada do QDA para comparação
'''
print("\n6. COMPARAÇÃO COM QDA")

sklearn_qda = QuadraticDiscriminantAnalysis()
sklearn_qda.fit(X_train, y_train)
y_pred_qda = sklearn_qda.predict(X_test)
accuracy_qda = accuracy_score(y_test, y_pred_qda)

print(f"  - Acurácia QDA: {accuracy_qda:.3f}")
print(f"  - Acurácia LDA: {accuracy_sklearn:.3f}")

# Analisando diferenças nas predições
diff_lda_qda = np.mean(y_pred_sklearn != y_pred_qda)
print(f"  - Diferença nas predições LDA vs QDA: {diff_lda_qda:.3f}")

'''
Interpretação dos resultados matemáticos
'''
print("\n7. INTERPRETAÇÃO MATEMÁTICA")
print("Os resultados demonstram que:")
print("  - As formulações matemáticas produzem classificadores consistentes")
print("  - A implementação manual coincide com o scikit-learn")
print("  - As funções discriminantes capturam a informação de classe")
print("  - As fronteiras de decisão refletem a estrutura linear do LDA")

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import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis, QuadraticDiscriminantAnalysis

from sklearn.datasets import make_classification

from sklearn.model_selection import train_test_split

from sklearn.metrics import accuracy_score, confusion_matrix

import scipy.stats as stats

'''

Implementação manual dos cálculos LDA e QDA para demonstrar

as formulações matemáticas discutidas

'''

class ManualLDA:

'''Implementação manual do LDA para fins educacionais'''

def fit(self, X, y):

"""

Estima os parâmetros do LDA: médias, covariância comum e priors

"""

self.classes_ = np.unique(y)

self.n_classes = len(self.classes_)

self.n_features = X.shape[1]

# Calculando médias por classe

self.means_ = []

for k in self.classes_:

class_mask = (y == k)

self.means_.append(np.mean(X[class_mask], axis=0))

self.means_ = np.array(self.means_)

# Calculando probabilidades a priori

self.priors_ = []

for k in self.classes_:

self.priors_.append(np.mean(y == k))

self.priors_ = np.array(self.priors_)

# Calculando matriz de covariância comum

self.covariance_ = np.zeros((self.n_features, self.n_features))

for k, mean in zip(self.classes_, self.means_):

class_mask = (y == k)

X_centered = X[class_mask] - mean

self.covariance_ += X_centered.T @ X_centered

self.covariance_ /= (len(y) - self.n_classes)

# Pré-calculando a inversa da covariância

self.covariance_inv_ = np.linalg.pinv(self.covariance_)

return self

def _discriminant_function(self, x, k):

"""

Calcula a função discriminante para uma observação x e classe k

δ_k(x) = x^T Σ^{-1} μ_k - 1/2 μ_k^T Σ^{-1} μ_k + log(π_k)

"""

mean_k = self.means_[k]

prior_k = self.priors_[k]

linear_term = x @ self.covariance_inv_ @ mean_k

quadratic_term = 0.5 * mean_k @ self.covariance_inv_ @ mean_k

prior_term = np.log(prior_k)

return linear_term - quadratic_term + prior_term

def predict_proba(self, X):

"""

Calcula probabilidades posteriores usando softmax nas funções discriminantes

"""

n_samples = X.shape[0]

discriminant_scores = np.zeros((n_samples, self.n_classes))

for k in range(self.n_classes):

for i in range(n_samples):

discriminant_scores[i, k] = self._discriminant_function(X[i], k)

# Aplicando softmax para obter probabilidades

exp_scores = np.exp(discriminant_scores - np.max(discriminant_scores, axis=1, keepdims=True))

probabilities = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True)

return probabilities

def predict(self, X):

"""

Prediz classes selecionando a com maior probabilidade posterior

"""

probabilities = self.predict_proba(X)

return np.argmax(probabilities, axis=1)

'''

Demonstração comparativa entre implementação manual e scikit-learn

'''

print("=== DEMONSTRAÇÃO DAS FORMULAÇÕES MATEMÁTICAS ===")

# Gerando dados de exemplo

X, y = make_classification(

n_samples=300, n_features=2, n_informative=2, n_redundant=0,

n_classes=3, n_clusters_per_class=1, random_state=42

)

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

# Aplicando implementação manual

print("\n1. IMPLEMENTAÇÃO MANUAL DO LDA")

manual_lda = ManualLDA()

manual_lda.fit(X_train, y_train)

y_pred_manual = manual_lda.predict(X_test)

accuracy_manual = accuracy_score(y_test, y_pred_manual)

print(f"Parâmetros estimados:")

print(f" - Médias das classes: {manual_lda.means_.shape}")

print(f" - Matriz de covariância: {manual_lda.covariance_.shape}")

print(f" - Priors: {manual_lda.priors_}")

print(f" - Acurácia (manual): {accuracy_manual:.3f}")

# Comparando com scikit-learn

print("\n2. COMPARAÇÃO COM SCIKIT-LEARN")

sklearn_lda = LinearDiscriminantAnalysis()

sklearn_lda.fit(X_train, y_train)

y_pred_sklearn = sklearn_lda.predict(X_test)

accuracy_sklearn = accuracy_score(y_test, y_pred_sklearn)

print(f" - Acurácia (scikit-learn): {accuracy_sklearn:.3f}")

print(f" - Coincidência nas predições: {np.mean(y_pred_manual == y_pred_sklearn):.3f}")

'''

Análise das funções discriminantes para uma observação específica

'''

print("\n3. ANÁLISE DAS FUNÇÕES DISCRIMINANTES")

sample_idx = 0

x_sample = X_test[sample_idx]

true_class = y_test[sample_idx]

print(f"Observação de teste {sample_idx}:")

print(f" - Classe verdadeira: {true_class}")

# Calculando scores discriminantes manualmente

for k in range(manual_lda.n_classes):

score = manual_lda._discriminant_function(x_sample, k)

print(f" - Score classe {k}: {score:.3f}")

# Probabilidades calculadas manualmente

proba_manual = manual_lda.predict_proba(X_test[sample_idx:sample_idx+1])[0]

print(f" - Probabilidades (manual): {proba_manual}")

# Probabilidades do scikit-learn

proba_sklearn = sklearn_lda.predict_proba(X_test[sample_idx:sample_idx+1])[0]

print(f" - Probabilidades (scikit-learn): {proba_sklearn}")

'''

Visualização das fronteiras de decisão

'''

print("\n4. VISUALIZAÇÃO DAS FRONTEIRAS DE DECISÃO")

# Criando grid para plotar fronteiras

h = 0.02

x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1

y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1

xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h),

np.arange(y_min, y_max, h))

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(15, 6))

# Plot implementação manual

Z_manual = manual_lda.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])

Z_manual = Z_manual.reshape(xx.shape)

contour1 = ax1.contourf(xx, yy, Z_manual, alpha=0.3, cmap=plt.cm.Paired)

scatter1 = ax1.scatter(X_train[:, 0], X_train[:, 1], c=y_train, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')

ax1.set_title('Fronteiras de Decisão - Implementação Manual')

ax1.set_xlabel('Feature 1')

ax1.set_ylabel('Feature 2')

# Plot scikit-learn

Z_sklearn = sklearn_lda.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])

Z_sklearn = Z_sklearn.reshape(xx.shape)

contour2 = ax2.contourf(xx, yy, Z_sklearn, alpha=0.3, cmap=plt.cm.Paired)

scatter2 = ax2.scatter(X_train[:, 0], X_train[:, 1], c=y_train, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')

ax2.set_title('Fronteiras de Decisão - Scikit-learn')

ax2.set_xlabel('Feature 1')

ax2.set_ylabel('Feature 2')

plt.tight_layout()

plt.show()

'''

Demonstração do cálculo da matriz de covariância

'''

print("\n5. CÁLCULO DETALHADO DA MATRIZ DE COVARIÂNCIA")

print("Matriz de covariância comum (LDA):")

print(manual_lda.covariance_)

# Verificando cálculo manual vs numpy

cov_numpy = np.cov(X_train.T, bias=True)

print("\nVerificação com numpy.cov (com bias adjustment):")

print("Diferença máxima:", np.max(np.abs(manual_lda.covariance_ - cov_numpy)))

'''

Implementação simplificada do QDA para comparação

'''

print("\n6. COMPARAÇÃO COM QDA")

sklearn_qda = QuadraticDiscriminantAnalysis()

sklearn_qda.fit(X_train, y_train)

y_pred_qda = sklearn_qda.predict(X_test)

accuracy_qda = accuracy_score(y_test, y_pred_qda)

print(f" - Acurácia QDA: {accuracy_qda:.3f}")

print(f" - Acurácia LDA: {accuracy_sklearn:.3f}")

# Analisando diferenças nas predições

diff_lda_qda = np.mean(y_pred_sklearn != y_pred_qda)

print(f" - Diferença nas predições LDA vs QDA: {diff_lda_qda:.3f}")

'''

Interpretação dos resultados matemáticos

'''

print("\n7. INTERPRETAÇÃO MATEMÁTICA")

print("Os resultados demonstram que:")

print(" - As formulações matemáticas produzem classificadores consistentes")

print(" - A implementação manual coincide com o scikit-learn")

print(" - As funções discriminantes capturam a informação de classe")

print(" - As fronteiras de decisão refletem a estrutura linear do LDA")

Interpretação dos Resultados Matemáticos

Analisando a implementação e os resultados, podemos observar que:

As funções discriminantes realmente capturam a informação de separação entre classes
A matriz de covariância comum no LDA produz fronteiras lineares
As probabilidades posteriores são calculadas corretamente via softmax
A implementação manual coincide com a do scikit-learn, validando as formulações

Implicações Práticas das Formulações

Vantagens do LDA

Menos parâmetros para estimar → mais robusto com dados limitados
Computacionalmente mais eficiente
Fronteiras de decisão lineares são mais interpretáveis

Vantagens do QDA

Mais flexibilidade para capturar relações complexas
Melhor performance quando as covariâncias são realmente diferentes
Fronteiras de decisão curvas podem se ajustar melhor aos dados

Considerações Finais

As formulações matemáticas do LDA e QDA revelam por que estas técnicas são tão eficazes sob os pressupostos Gaussianos. Embora baseadas em conceitos estatísticos clássicos, continuam sendo ferramentas valiosas no machine learning moderno.

Portanto, compreender estas fundamentações não apenas nos permite aplicar os métodos corretamente, mas também nos capacita a interpretar seus resultados, diagnosticar problemas e fazer escolhas informadas entre diferentes abordagens de classificação.