Este documento apresenta a resolução de um problema envolvendo três variáveis aleatórias independentes: X com distribuição Normal e Y, Z com distribuição Uniforme. O objetivo é encontrar os parâmetros μ e σ da distribuição Normal com base nas expectativas fornecidas.
Definição do Problema
Sejam X, Y e Z três variáveis aleatórias independentes com:
- \(X \sim N(\mu, \sigma^{2})\)
- \(Y, Z \sim \text{Uniforme}(0, 2)\)
Temos também que:
- \(E[X^{2}Y + XYZ] = 13\)
- \(E[XY^{2} + ZX^{2}] = 14\)
Resolução Matemática
Passo 1: Aproveitando a Independência e Linearidade da Expectância
Como as variáveis são independentes, a expectância do produto é o produto das expectâncias. Vamos expandir as duas equações dadas.
Primeira Equação:
- \(E[X^{2}Y + XYZ] = \)
- \(E[X^{2}Y] + E[XYZ] = \)
- \(E[X^2]E[Y] + E[X]E[Y]E[Z] = 13\)
Segunda Equação:
- \(E[XY^{2} + ZX^{2}] = \)
- \(E[XY^2] + E[ZX^2] = \)
- \(E[X]E[Y^2] + E[Z]E[X^2] = 14\)
Passo 2: Cálculo dos Momentos das Distribuições
Precisamos calcular os valores de \(E[Y], E[Z], E[Y^2]\) e \(E[Z^2]\) para a distribuição Uniforme(0,2).
Para \(Y \sim \text{Uniforme}(a, b)\), temos:
- \(E[Y] = \frac{a + b}{2} = \)
- \(\frac{0 + 2}{2} = 1\)
- \(E[Y^2] = \frac{(b – a)^2}{12} + (E[Y])^2 = \)
- \(\frac{(2-0)^2}{12} + 1^2 = \)
- \(\frac{4}{12} + 1 = \)
- \(\frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3} \)
Por simetria, os resultados são os mesmos para Z:
- \(E[Z] = 1\)
- \(E[Z^2] = \frac{4}{3}\)
Passo 3: Momentos da Distribuição Normal
Para \(X \sim N(\mu, \sigma^{2})\), temos:
\(E[X] = \mu\) \(E[X^2] = \text{Var}(X) + (E[X])^2 = \sigma^2 + \mu^2\)Passo 4: Substituir nas Equações Originais
Substituindo os momentos conhecidos nas duas equações:
Equação 1:
\(E[X^2]E[Y] + E[X]E[Y]E[Z] = 13\) \((\sigma^2 + \mu^2) \cdot 1 + \mu \cdot 1 \cdot 1 = 13\) \(\sigma^2 + \mu^2 + \mu = 13 \quad (1)\)Equação 2:
\(E[X]E[Y^2] + E[Z]E[X^2] = 14\) \(\mu \cdot \frac{4}{3} + 1 \cdot (\sigma^2 + \mu^2) = 14\) \(\frac{4}{3}\mu + \sigma^2 + \mu^2 = 14 \quad (2)\)Passo 5: Resolver o Sistema de Equações
Temos o seguinte sistema:
\(\begin{cases}\sigma^2 + \mu^2 + \mu = 13 \\
\sigma^2 + \mu^2 + \frac{4}{3}\mu = 14
\end{cases}\)
Subtraindo a primeira equação (1) da segunda (2):
\((\sigma^2 + \mu^2 + \frac{4}{3}\mu) – (\sigma^2 + \mu^2 + \mu) = 14 – 13\) \(\frac{4}{3}\mu – \mu = 1\) \(\frac{1}{3}\mu = 1\) \(\mu = 3\)Substituindo \(\mu = 3\) na equação (1):
\(\sigma^2 + (3)^2 + (3) = 13\) \(\sigma^2 + 9 + 3 = 13\) \(\sigma^2 + 12 = 13\) \(\sigma^2 = 1\) \(\sqrt{\sigma ^{2}} = \sigma = 1\)Solução
Os parâmetros da distribuição Normal são:
\(\mu = 3\) \(\sigma = 1\)Portanto, \(X \sim N(3, 1)\).
Simulação em R
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# Parâmetros mu <- 3 sigma2 <- 1 n <- 1000000 # Número de amostras # Gerar amostras set.seed(123) # Para reproducibilidade X <- rnorm(n, mean = mu, sd = sqrt(sigma2)) Y <- runif(n, min = 0, max = 2) Z <- runif(n, min = 0, max = 2) # Calcular as expressões expressao1 <- X^2 * Y + X * Y * Z expressao2 <- X * Y^2 + Z * X^2 # Calcular as expectâncias (médias) E1 <- mean(expressao1) E2 <- mean(expressao2) # Imprimir resultados print(paste("E[X²Y + XYZ] =", round(E1, 4))) print(paste("Valor teórico: 13")) print(paste("E[XY² + ZX²] =", round(E2, 4))) print(paste("Valor teórico: 14")) |
Nota: A simulação utiliza um grande número de amostras (n=1.000.000) para se aproximar dos valores teóricos das expectâncias. Os resultados devem ser próximos de 13 e 14, validando que \(\mu=3\) e \(\sigma=1\) é a solução correta.