Arquivo de análise-de-dados

Imagine que você está ouvindo uma música complexa. Algumas batidas se repetem regularmente, outras têm variações sutis, mas todas seguem um ritmo subjacente. O kernel Exp-Seno-Quadrado é como ter um ouvido musical treinado que consegue identificar não apenas a periodicidade principal, mas também como esse padrão evolui e varia suavemente ao longo do tempo. Ele é a ferramenta perfeita para dados que dançam ao ritmo de ciclos e estações, desde batidas cardíacas até movimentos planetários.

Como isso funciona na prática?

O kernel Exp-Seno-Quadrado (Exp-Sine-Squared) é especificamente projetado para capturar padrões periódicos que não são perfeitamente rígidos, mas sim suavemente variáveis. Diferentemente de uma simples função seno que assume periodicidade perfeita, este kernel permite que a similaridade entre pontos dependa tanto do tempo quanto de quão bem seus “fases” se alinham no ciclo periódico. Ele modela a ideia de que pontos separados por exatamente um período devem ser muito similares, mas essa similaridade decai suavemente conforme nos afastamos do alinhamento perfeito de fase.

Mãos na massa: caçando periodicidades com o kernel Exp-Seno-Quadrado

"""
Explorando o kernel Exp-Seno-Quadrado para dados periódicos
Demonstra como capturar padrões cíclicos com variações suaves
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.gaussian_process.kernels import ExpSineSquared, RBF
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor

# Criando dados com diferentes tipos de periodicidade
def criar_dados_periodicos():
    """Cria dados com vários tipos de padrões periódicos do mundo real"""
    np.random.seed(42)
    
    # Dados com periodicidade perfeita (para comparação)
    t_perfeito = np.linspace(0, 20, 200).reshape(-1, 1)
    y_perfeito = np.sin(2 * np.pi * t_perfeito.ravel() / 5) + 0.1 * np.random.normal(size=200)
    
    # Dados com periodicidade variável (mais realista)
    t_variavel = np.linspace(0, 20, 200).reshape(-1, 1)
    periodo_variavel = 5 + 0.5 * np.sin(t_variavel.ravel() / 3)  # Período que varia suavemente
    y_variavel = np.sin(2 * np.pi * t_variavel.ravel() / periodo_variavel) + 0.1 * np.random.normal(size=200)
    
    # Dados com múltiplas periodicidades (caso complexo)
    t_multiplo = np.linspace(0, 30, 300).reshape(-1, 1)
    y_multiplo = (np.sin(2 * np.pi * t_multiplo.ravel() / 3) +      # Período curto
                  0.5 * np.sin(2 * np.pi * t_multiplo.ravel() / 8) + # Período médio
                  0.3 * np.sin(2 * np.pi * t_multiplo.ravel() / 15) + # Período longo
                  0.1 * np.random.normal(size=300))
    
    # Dados do mundo real simulados: batimentos cardíacos
    t_coracao = np.linspace(0, 10, 500).reshape(-1, 1)
    # Simula batimentos com pequenas variações no ritmo
    frequencia_base = 1.2  # Hz (72 batimentos por minuto)
    variacao_ritmo = 0.1 * np.sin(2 * np.pi * t_coracao.ravel() / 4)  # Variação respiratória
    y_coracao = np.sin(2 * np.pi * (frequencia_base + variacao_ritmo) * t_coracao.ravel())
    y_coracao += 0.05 * np.random.normal(size=500)  # Ruído de medição
    
    return (t_perfeito, y_perfeito), (t_variavel, y_variavel), (t_multiplo, y_multiplo), (t_coracao, y_coracao)

dados_perfeito, dados_variavel, dados_multiplo, dados_coracao = criar_dados_periodicos()

print("=== EXPLORANDO O KERNEL EXP-SENO-QUADRADO ===\n")

print("O kernel Exp-Seno-Quadrado é definido por:")
print("[latex]k(x_i, x_j) = \\exp\\left(-\\frac{2\\sin^2(\\pi d(x_i, x_j)/p)}{l^2}\\right)[/latex]")
print("Onde p é o período e l é o length_scale que controla a suavidade\n")

# Explorando diferentes parâmetros do kernel
parametros_testar = [
    {'periodicity': 5.0, 'length_scale': 1.0},
    {'periodicity': 5.0, 'length_scale': 0.5},
    {'periodicity': 5.0, 'length_scale': 2.0},
    {'periodicity': 3.0, 'length_scale': 1.0},
    {'periodicity': 8.0, 'length_scale': 1.0}
]

fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(18, 12))
axes = axes.ravel()

t_dados, y_dados = dados_perfeito

for idx, params in enumerate(parametros_testar):
    kernel_ess = ExpSineSquared(length_scale=params['length_scale'], 
                               periodicity=params['periodicity'])
    gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel_ess, alpha=0.0, random_state=42)
    gpr.fit(t_dados, y_dados)
    
    # Previsões
    t_pred = np.linspace(0, 20, 300).reshape(-1, 1)
    y_pred, sigma = gpr.predict(t_pred, return_std=True)
    
    # Plot
    axes[idx].plot(t_dados, y_dados, 'ro', alpha=0.4, markersize=2, label='Dados')
    axes[idx].plot(t_pred, y_pred, 'b-', linewidth=2, label='Previsão ESS')
    axes[idx].fill_between(t_pred.ravel(), y_pred - 1.96*sigma, 
                         y_pred + 1.96*sigma, alpha=0.2, label='Incerteza 95%')
    
    axes[idx].set_title(f'ESS: p={params["periodicity"]}, l={params["length_scale"]}\n'
                       f'LL: {gpr.log_marginal_likelihood():.2f}', fontsize=11)
    axes[idx].grid(True, alpha=0.3)
    axes[idx].legend(fontsize=9)

# Comparação com RBF no último subplot
kernel_rbf = RBF(length_scale=1.0)
gpr_rbf = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel_rbf, alpha=0.0, random_state=42)
gpr_rbf.fit(t_dados, y_dados)
y_pred_rbf, sigma_rbf = gpr_rbf.predict(t_pred, return_std=True)

axes[5].plot(t_dados, y_dados, 'ro', alpha=0.4, markersize=2, label='Dados')
axes[5].plot(t_pred, y_pred_rbf, 'g-', linewidth=2, label='Previsão RBF')
axes[5].fill_between(t_pred.ravel(), y_pred_rbf - 1.96*sigma_rbf, 
                   y_pred_rbf + 1.96*sigma_rbf, alpha=0.2, label='Incerteza 95%')
axes[5].set_title(f'RBF (comparação)\nLL: {gpr_rbf.log_marginal_likelihood():.2f}', 
                 fontsize=11)
axes[5].grid(True, alpha=0.3)
axes[5].legend(fontsize=9)

plt.tight_layout()
plt.show()

# Testando em diferentes cenários periódicos
print("\n=== TESTANDO EM DIFERENTES CENÁRIOS PERIÓDICOS ===\n")

cenarios = {
    'Periodicidade Perfeita': dados_perfeito,
    'Periodicidade Variável': dados_variavel,
    'Múltiplas Periodicidades': dados_multiplo,
    'Batimentos Cardíacos': dados_coracao
}

resultados_comparacao = {}

fig, axes = plt.subplots(len(cenarios), 2, figsize=(15, 12))

for i, (nome_cenario, (t_data, y_data)) in enumerate(cenarios.items()):
    # Kernel Exp-Seno-Quadrado com otimização
    kernel_ess = ExpSineSquared(length_scale=1.0, periodicity=5.0)
    gpr_ess = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel_ess, random_state=42)
    gpr_ess.fit(t_data, y_data)
    
    # RBF para comparação
    kernel_rbf = RBF(length_scale=1.0)
    gpr_rbf = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel_rbf, random_state=42)
    gpr_rbf.fit(t_data, y_data)
    
    # Previsões
    t_pred = np.linspace(t_data.min(), t_data.max(), 300).reshape(-1, 1)
    y_pred_ess, sigma_ess = gpr_ess.predict(t_pred, return_std=True)
    y_pred_rbf, sigma_rbf = gpr_rbf.predict(t_pred, return_std=True)
    
    # Plot Exp-Seno-Quadrado
    axes[i, 0].plot(t_data, y_data, 'ro', alpha=0.5, markersize=2, label='Dados')
    axes[i, 0].plot(t_pred, y_pred_ess, 'b-', linewidth=2, label='Previsão ESS')
    axes[i, 0].fill_between(t_pred.ravel(), y_pred_ess - 1.96*sigma_ess, 
                          y_pred_ess + 1.96*sigma_ess, alpha=0.2, label='Incerteza')
    axes[i, 0].set_title(f'Exp-Seno-Quadrado - {nome_cenario}\n'
                        f'Kernel: {gpr_ess.kernel_}\n'
                        f'LL: {gpr_ess.log_marginal_likelihood():.2f}', fontsize=10)
    axes[i, 0].grid(True, alpha=0.3)
    axes[i, 0].legend(fontsize=8)
    
    # Plot RBF
    axes[i, 1].plot(t_data, y_data, 'ro', alpha=0.5, markersize=2, label='Dados')
    axes[i, 1].plot(t_pred, y_pred_rbf, 'g-', linewidth=2, label='Previsão RBF')
    axes[i, 1].fill_between(t_pred.ravel(), y_pred_rbf - 1.96*sigma_rbf, 
                          y_pred_rbf + 1.96*sigma_rbf, alpha=0.2, label='Incerteza')
    axes[i, 1].set_title(f'RBF - {nome_cenario}\n'
                        f'Kernel: {gpr_rbf.kernel_}\n'
                        f'LL: {gpr_rbf.log_marginal_likelihood():.2f}', fontsize=10)
    axes[i, 1].grid(True, alpha=0.3)
    axes[i, 1].legend(fontsize=8)
    
    # Armazenar resultados
    resultados_comparacao[nome_cenario] = {
        'ESS_LL': gpr_ess.log_marginal_likelihood(),
        'RBF_LL': gpr_rbf.log_marginal_likelihood(),
        'ESS_kernel': str(gpr_ess.kernel_),
        'RBF_kernel': str(gpr_rbf.kernel_)
    }

plt.tight_layout()
plt.show()

# Análise dos resultados
print("=== ANÁLISE DOS RESULTADOS (Log-Likelihood) ===\n")
for cenario, resultados in resultados_comparacao.items():
    ess_ll = resultados['ESS_LL']
    rbf_ll = resultados['RBF_LL']
    diferenca = ess_ll - rbf_ll
    melhor = "Exp-Seno-Quadrado" if diferenca > 0 else "RBF"
    
    print(f"{cenario}:")
    print(f"  Exp-Seno-Quadrado: {ess_ll:8.2f}")
    print(f"  RBF:               {rbf_ll:8.2f}")
    print(f"  Diferença:         {diferenca:8.2f} → {melhor} é melhor")
    print(f"  Kernel ESS otimizado: {resultados['ESS_kernel']}")
    print()

# Visualização das funções de covariância
print("=== FUNÇÕES DE COVARIÂNCIA EXP-SENO-QUADRADO ===\n")

plt.figure(figsize=(15, 10))

# Plot das funções de covariância para diferentes períodos
plt.subplot(2, 2, 1)
distances = np.linspace(0, 10, 100)

periodos = [3.0, 5.0, 8.0, 12.0]
for periodo in periodos:
    kernel = ExpSineSquared(length_scale=1.0, periodicity=periodo)
    K = kernel(np.array([[0]]), distances.reshape(-1, 1))
    plt.plot(distances, K, label=f'p = {periodo}', linewidth=2)

plt.title('Funções de Covariância - Diferentes Períodos')
plt.xlabel('Distância')
plt.ylabel('Covariância')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

# Plot para diferentes length_scales
plt.subplot(2, 2, 2)
length_scales = [0.5, 1.0, 2.0, 5.0]
for ls in length_scales:
    kernel = ExpSineSquared(length_scale=ls, periodicity=5.0)
    K = kernel(np.array([[0]]), distances.reshape(-1, 1))
    plt.plot(distances, K, label=f'l = {ls}', linewidth=2)

plt.title('Funções de Covariância - Diferentes Length Scales')
plt.xlabel('Distância')
plt.ylabel('Covariância')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

# Comparação com RBF
plt.subplot(2, 2, 3)
kernel_ess = ExpSineSquared(length_scale=1.0, periodicity=5.0)
K_ess = kernel_ess(np.array([[0]]), distances.reshape(-1, 1))

kernel_rbf = RBF(length_scale=1.0)
K_rbf = kernel_rbf(np.array([[0]]), distances.reshape(-1, 1))

plt.plot(distances, K_ess, 'b-', linewidth=2, label='Exp-Seno-Quadrado (p=5)')
plt.plot(distances, K_rbf, 'g--', linewidth=2, label='RBF')
plt.title('Comparação: Exp-Seno-Quadrado vs RBF')
plt.xlabel('Distância')
plt.ylabel('Covariância')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

# Aplicações do mundo real
plt.subplot(2, 2, 4)
aplicacoes = [
    ('Clima/Tempo', 'Sazonalidade anual/diária', 'p = 24 (horas), 365 (dias)'),
    ('Finanças', 'Ciclos econômicos/sazonais', 'p = 12 (meses), 4 (trimestres)'),
    ('Medicina', 'Batimentos cardíacos/respiração', 'p = 0.8-1.2 (segundos)'),
    ('Astronomia', 'Movimentos planetários/fases', 'p = 27.3 (lunar), 365 (solar)'),
    ('Engenharia', 'Vibrações/rotações mecânicas', 'p = 1/frequência')
]

y_pos = range(len(aplicacoes))
app_names = [app[0] for app in aplicacoes]
periodos_typical = [365, 12, 1, 27.3, 0.1]  # Períodos típicos

plt.barh(y_pos, periodos_typical, color='lightsteelblue', alpha=0.7)
plt.yticks(y_pos, app_names)
plt.xlabel('Período Típico')
plt.title('Aplicações do Mundo Real')
for i, (nome, desc, periodo) in enumerate(aplicacoes):
    plt.text(10, i, f'{desc}\n{periodo}', va='center', ha='left', fontsize=8)

plt.tight_layout()
plt.show()

# Detectando periodicidade automaticamente
print("=== DETECTANDO PERIODICIDADE AUTOMATICAMENTE ===\n")

def detectar_periodicidade(t, y):
    """Ferramenta simples para detectar periodicidade nos dados"""
    from scipy import signal
    
    # Usando FFT para encontrar frequências dominantes
    y_detrended = y - np.mean(y)
    fft = np.fft.fft(y_detrended)
    freqs = np.fft.fftfreq(len(y), t[1]-t[0])
    
    # Encontrando pico não-DC
    magnitude = np.abs(fft)
    magnitude[0] = 0  # Ignorar componente DC
    
    idx_pico = np.argmax(magnitude[1:]) + 1
    frequencia_dominante = np.abs(freqs[idx_pico])
    periodo_estimado = 1.0 / frequencia_dominante if frequencia_dominante > 0 else 0
    
    # Análise de autocorrelação
    autocorr = signal.correlate(y_detrended, y_detrended, mode='full')
    autocorr = autocorr[len(autocorr)//2:]
    lag_pico = signal.find_peaks(autocorr, distance=10)[0]
    
    if len(lag_pico) > 1:
        periodo_autocorr = (lag_pico[1] - lag_pico[0]) * (t[1]-t[0])
    else:
        periodo_autocorr = 0
    
    return periodo_estimado, periodo_autocorr

# Testando detecção em nossos dados
for nome, (t_data, y_data) in cenarios.items():
    periodo_fft, periodo_autocorr = detectar_periodicidade(t_data.ravel(), y_data)
    print(f"{nome}:")
    print(f"  Período estimado (FFT): {periodo_fft:.2f}")
    print(f"  Período estimado (Autocorr): {periodo_autocorr:.2f}")
    print()

# Resumo prático
print("=== RESUMO PRÁTICO: QUANDO USAR EXP-SENO-QUADRADO ===\n")

vantagens_ess = [
    "• Captura especificamente padrões periódicos e quase-periódicos",
    "• Permite variações suaves na fase e amplitude dos ciclos",
    "• Parâmetro de período é interpretável diretamente",
    "• Excelente para dados sazonais, climáticos e biológicos",
    "• Pode ser combinado com outros kernels para padrões complexos"
]

casos_uso_especificos = [
    "Dados climáticos e meteorológicos (sazonalidade)",
    "Sinais fisiológicos (batimentos cardíacos, respiração)",
    "Dados econômicos e financeiros (ciclos sazonais)",
    "Sinais astronômicos (movimentos planetários)",
    "Vibrações mecânicas e sinais de engenharia"
]

print("VANTAGENS PRINCIPAIS:")
for vantagem in vantagens_ess:
    print(vantagem)

print("\nCASOS DE USO RECOMENDADOS:")
for caso in casos_uso_especificos:
    print(f"  • {caso}")

print("\nCONFIGURAÇÃO INICIAL RECOMENDADA:")
print("  • Use detecção automática para estimar o período inicial")
print("  • Comece com length_scale = 1.0 e ajuste conforme necessário")
print("  • Combine com RBF para capturar tendências não-periódicas")
print("  • Use bounds realistas baseados no conhecimento do domínio")

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Explorando o kernel Exp-Seno-Quadrado para dados periódicos

Demonstra como capturar padrões cíclicos com variações suaves

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import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.gaussian_process.kernels import ExpSineSquared, RBF

from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor

# Criando dados com diferentes tipos de periodicidade

def criar_dados_periodicos():

"""Cria dados com vários tipos de padrões periódicos do mundo real"""

np.random.seed(42)

# Dados com periodicidade perfeita (para comparação)

t_perfeito = np.linspace(0, 20, 200).reshape(-1, 1)

y_perfeito = np.sin(2 * np.pi * t_perfeito.ravel() / 5) + 0.1 * np.random.normal(size=200)

# Dados com periodicidade variável (mais realista)

t_variavel = np.linspace(0, 20, 200).reshape(-1, 1)

periodo_variavel = 5 + 0.5 * np.sin(t_variavel.ravel() / 3) # Período que varia suavemente

y_variavel = np.sin(2 * np.pi * t_variavel.ravel() / periodo_variavel) + 0.1 * np.random.normal(size=200)

# Dados com múltiplas periodicidades (caso complexo)

t_multiplo = np.linspace(0, 30, 300).reshape(-1, 1)

y_multiplo = (np.sin(2 * np.pi * t_multiplo.ravel() / 3) + # Período curto

0.5 * np.sin(2 * np.pi * t_multiplo.ravel() / 8) + # Período médio

0.3 * np.sin(2 * np.pi * t_multiplo.ravel() / 15) + # Período longo

0.1 * np.random.normal(size=300))

# Dados do mundo real simulados: batimentos cardíacos

t_coracao = np.linspace(0, 10, 500).reshape(-1, 1)

# Simula batimentos com pequenas variações no ritmo

frequencia_base = 1.2 # Hz (72 batimentos por minuto)

variacao_ritmo = 0.1 * np.sin(2 * np.pi * t_coracao.ravel() / 4) # Variação respiratória

y_coracao = np.sin(2 * np.pi * (frequencia_base + variacao_ritmo) * t_coracao.ravel())

y_coracao += 0.05 * np.random.normal(size=500) # Ruído de medição

return (t_perfeito, y_perfeito), (t_variavel, y_variavel), (t_multiplo, y_multiplo), (t_coracao, y_coracao)

dados_perfeito, dados_variavel, dados_multiplo, dados_coracao = criar_dados_periodicos()

print("=== EXPLORANDO O KERNEL EXP-SENO-QUADRADO ===\n")

print("O kernel Exp-Seno-Quadrado é definido por:")

print("[latex]k(x_i, x_j) = \\exp\\left(-\\frac{2\\sin^2(\\pi d(x_i, x_j)/p)}{l^2}\\right)[/latex]")

print("Onde p é o período e l é o length_scale que controla a suavidade\n")

# Explorando diferentes parâmetros do kernel

parametros_testar = [

{'periodicity': 5.0, 'length_scale': 1.0},

{'periodicity': 5.0, 'length_scale': 0.5},

{'periodicity': 5.0, 'length_scale': 2.0},

{'periodicity': 3.0, 'length_scale': 1.0},

{'periodicity': 8.0, 'length_scale': 1.0}

]

fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(18, 12))

axes = axes.ravel()

t_dados, y_dados = dados_perfeito

for idx, params in enumerate(parametros_testar):

kernel_ess = ExpSineSquared(length_scale=params['length_scale'],

periodicity=params['periodicity'])

gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel_ess, alpha=0.0, random_state=42)

gpr.fit(t_dados, y_dados)

# Previsões

t_pred = np.linspace(0, 20, 300).reshape(-1, 1)

y_pred, sigma = gpr.predict(t_pred, return_std=True)

# Plot

axes[idx].plot(t_dados, y_dados, 'ro', alpha=0.4, markersize=2, label='Dados')

axes[idx].plot(t_pred, y_pred, 'b-', linewidth=2, label='Previsão ESS')

axes[idx].fill_between(t_pred.ravel(), y_pred - 1.96*sigma,

y_pred + 1.96*sigma, alpha=0.2, label='Incerteza 95%')

axes[idx].set_title(f'ESS: p={params["periodicity"]}, l={params["length_scale"]}\n'

f'LL: {gpr.log_marginal_likelihood():.2f}', fontsize=11)

axes[idx].grid(True, alpha=0.3)

axes[idx].legend(fontsize=9)

# Comparação com RBF no último subplot

kernel_rbf = RBF(length_scale=1.0)

gpr_rbf = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel_rbf, alpha=0.0, random_state=42)

gpr_rbf.fit(t_dados, y_dados)

y_pred_rbf, sigma_rbf = gpr_rbf.predict(t_pred, return_std=True)

axes[5].plot(t_dados, y_dados, 'ro', alpha=0.4, markersize=2, label='Dados')

axes[5].plot(t_pred, y_pred_rbf, 'g-', linewidth=2, label='Previsão RBF')

axes[5].fill_between(t_pred.ravel(), y_pred_rbf - 1.96*sigma_rbf,

y_pred_rbf + 1.96*sigma_rbf, alpha=0.2, label='Incerteza 95%')

axes[5].set_title(f'RBF (comparação)\nLL: {gpr_rbf.log_marginal_likelihood():.2f}',

fontsize=11)

axes[5].grid(True, alpha=0.3)

axes[5].legend(fontsize=9)

plt.tight_layout()

plt.show()

# Testando em diferentes cenários periódicos

print("\n=== TESTANDO EM DIFERENTES CENÁRIOS PERIÓDICOS ===\n")

cenarios = {

'Periodicidade Perfeita': dados_perfeito,

'Periodicidade Variável': dados_variavel,

'Múltiplas Periodicidades': dados_multiplo,

'Batimentos Cardíacos': dados_coracao

}

resultados_comparacao = {}

fig, axes = plt.subplots(len(cenarios), 2, figsize=(15, 12))

for i, (nome_cenario, (t_data, y_data)) in enumerate(cenarios.items()):

# Kernel Exp-Seno-Quadrado com otimização

kernel_ess = ExpSineSquared(length_scale=1.0, periodicity=5.0)

gpr_ess = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel_ess, random_state=42)

gpr_ess.fit(t_data, y_data)

# RBF para comparação

kernel_rbf = RBF(length_scale=1.0)

gpr_rbf = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel_rbf, random_state=42)

gpr_rbf.fit(t_data, y_data)

# Previsões

t_pred = np.linspace(t_data.min(), t_data.max(), 300).reshape(-1, 1)

y_pred_ess, sigma_ess = gpr_ess.predict(t_pred, return_std=True)

y_pred_rbf, sigma_rbf = gpr_rbf.predict(t_pred, return_std=True)

# Plot Exp-Seno-Quadrado

axes[i, 0].plot(t_data, y_data, 'ro', alpha=0.5, markersize=2, label='Dados')

axes[i, 0].plot(t_pred, y_pred_ess, 'b-', linewidth=2, label='Previsão ESS')

axes[i, 0].fill_between(t_pred.ravel(), y_pred_ess - 1.96*sigma_ess,

y_pred_ess + 1.96*sigma_ess, alpha=0.2, label='Incerteza')

axes[i, 0].set_title(f'Exp-Seno-Quadrado - {nome_cenario}\n'

f'Kernel: {gpr_ess.kernel_}\n'

f'LL: {gpr_ess.log_marginal_likelihood():.2f}', fontsize=10)

axes[i, 0].grid(True, alpha=0.3)

axes[i, 0].legend(fontsize=8)

# Plot RBF

axes[i, 1].plot(t_data, y_data, 'ro', alpha=0.5, markersize=2, label='Dados')

axes[i, 1].plot(t_pred, y_pred_rbf, 'g-', linewidth=2, label='Previsão RBF')

axes[i, 1].fill_between(t_pred.ravel(), y_pred_rbf - 1.96*sigma_rbf,

y_pred_rbf + 1.96*sigma_rbf, alpha=0.2, label='Incerteza')

axes[i, 1].set_title(f'RBF - {nome_cenario}\n'

f'Kernel: {gpr_rbf.kernel_}\n'

f'LL: {gpr_rbf.log_marginal_likelihood():.2f}', fontsize=10)

axes[i, 1].grid(True, alpha=0.3)

axes[i, 1].legend(fontsize=8)

# Armazenar resultados

resultados_comparacao[nome_cenario] = {

'ESS_LL': gpr_ess.log_marginal_likelihood(),

'RBF_LL': gpr_rbf.log_marginal_likelihood(),

'ESS_kernel': str(gpr_ess.kernel_),

'RBF_kernel': str(gpr_rbf.kernel_)

}

plt.tight_layout()

plt.show()

# Análise dos resultados

print("=== ANÁLISE DOS RESULTADOS (Log-Likelihood) ===\n")

for cenario, resultados in resultados_comparacao.items():

ess_ll = resultados['ESS_LL']

rbf_ll = resultados['RBF_LL']

diferenca = ess_ll - rbf_ll

melhor = "Exp-Seno-Quadrado" if diferenca > 0 else "RBF"

print(f"{cenario}:")

print(f" Exp-Seno-Quadrado: {ess_ll:8.2f}")

print(f" RBF: {rbf_ll:8.2f}")

print(f" Diferença: {diferenca:8.2f} → {melhor} é melhor")

print(f" Kernel ESS otimizado: {resultados['ESS_kernel']}")

print()

# Visualização das funções de covariância

print("=== FUNÇÕES DE COVARIÂNCIA EXP-SENO-QUADRADO ===\n")

plt.figure(figsize=(15, 10))

# Plot das funções de covariância para diferentes períodos

plt.subplot(2, 2, 1)

distances = np.linspace(0, 10, 100)

periodos = [3.0, 5.0, 8.0, 12.0]

for periodo in periodos:

kernel = ExpSineSquared(length_scale=1.0, periodicity=periodo)

K = kernel(np.array([[0]]), distances.reshape(-1, 1))

plt.plot(distances, K, label=f'p = {periodo}', linewidth=2)

plt.title('Funções de Covariância - Diferentes Períodos')

plt.xlabel('Distância')

plt.ylabel('Covariância')

plt.legend()

plt.grid(True, alpha=0.3)

# Plot para diferentes length_scales

plt.subplot(2, 2, 2)

length_scales = [0.5, 1.0, 2.0, 5.0]

for ls in length_scales:

kernel = ExpSineSquared(length_scale=ls, periodicity=5.0)

K = kernel(np.array([[0]]), distances.reshape(-1, 1))

plt.plot(distances, K, label=f'l = {ls}', linewidth=2)

plt.title('Funções de Covariância - Diferentes Length Scales')

plt.xlabel('Distância')

plt.ylabel('Covariância')

plt.legend()

plt.grid(True, alpha=0.3)

# Comparação com RBF

plt.subplot(2, 2, 3)

kernel_ess = ExpSineSquared(length_scale=1.0, periodicity=5.0)

K_ess = kernel_ess(np.array([[0]]), distances.reshape(-1, 1))

kernel_rbf = RBF(length_scale=1.0)

K_rbf = kernel_rbf(np.array([[0]]), distances.reshape(-1, 1))

plt.plot(distances, K_ess, 'b-', linewidth=2, label='Exp-Seno-Quadrado (p=5)')

plt.plot(distances, K_rbf, 'g--', linewidth=2, label='RBF')

plt.title('Comparação: Exp-Seno-Quadrado vs RBF')

plt.xlabel('Distância')

plt.ylabel('Covariância')

plt.legend()

plt.grid(True, alpha=0.3)

# Aplicações do mundo real

plt.subplot(2, 2, 4)

aplicacoes = [

('Clima/Tempo', 'Sazonalidade anual/diária', 'p = 24 (horas), 365 (dias)'),

('Finanças', 'Ciclos econômicos/sazonais', 'p = 12 (meses), 4 (trimestres)'),

('Medicina', 'Batimentos cardíacos/respiração', 'p = 0.8-1.2 (segundos)'),

('Astronomia', 'Movimentos planetários/fases', 'p = 27.3 (lunar), 365 (solar)'),

('Engenharia', 'Vibrações/rotações mecânicas', 'p = 1/frequência')

]

y_pos = range(len(aplicacoes))

app_names = [app[0] for app in aplicacoes]

periodos_typical = [365, 12, 1, 27.3, 0.1] # Períodos típicos

plt.barh(y_pos, periodos_typical, color='lightsteelblue', alpha=0.7)

plt.yticks(y_pos, app_names)

plt.xlabel('Período Típico')

plt.title('Aplicações do Mundo Real')

for i, (nome, desc, periodo) in enumerate(aplicacoes):

plt.text(10, i, f'{desc}\n{periodo}', va='center', ha='left', fontsize=8)

plt.tight_layout()

plt.show()

# Detectando periodicidade automaticamente

print("=== DETECTANDO PERIODICIDADE AUTOMATICAMENTE ===\n")

def detectar_periodicidade(t, y):

"""Ferramenta simples para detectar periodicidade nos dados"""

from scipy import signal

# Usando FFT para encontrar frequências dominantes

y_detrended = y - np.mean(y)

fft = np.fft.fft(y_detrended)

freqs = np.fft.fftfreq(len(y), t[1]-t[0])

# Encontrando pico não-DC

magnitude = np.abs(fft)

magnitude[0] = 0 # Ignorar componente DC

idx_pico = np.argmax(magnitude[1:]) + 1

frequencia_dominante = np.abs(freqs[idx_pico])

periodo_estimado = 1.0 / frequencia_dominante if frequencia_dominante > 0 else 0

# Análise de autocorrelação

autocorr = signal.correlate(y_detrended, y_detrended, mode='full')

autocorr = autocorr[len(autocorr)//2:]

lag_pico = signal.find_peaks(autocorr, distance=10)[0]

if len(lag_pico) > 1:

periodo_autocorr = (lag_pico[1] - lag_pico[0]) * (t[1]-t[0])

else:

periodo_autocorr = 0

return periodo_estimado, periodo_autocorr

# Testando detecção em nossos dados

for nome, (t_data, y_data) in cenarios.items():

periodo_fft, periodo_autocorr = detectar_periodicidade(t_data.ravel(), y_data)

print(f"{nome}:")

print(f" Período estimado (FFT): {periodo_fft:.2f}")

print(f" Período estimado (Autocorr): {periodo_autocorr:.2f}")

print()

# Resumo prático

print("=== RESUMO PRÁTICO: QUANDO USAR EXP-SENO-QUADRADO ===\n")

vantagens_ess = [

"• Captura especificamente padrões periódicos e quase-periódicos",

"• Permite variações suaves na fase e amplitude dos ciclos",

"• Parâmetro de período é interpretável diretamente",

"• Excelente para dados sazonais, climáticos e biológicos",

"• Pode ser combinado com outros kernels para padrões complexos"

]

casos_uso_especificos = [

"Dados climáticos e meteorológicos (sazonalidade)",

"Sinais fisiológicos (batimentos cardíacos, respiração)",

"Dados econômicos e financeiros (ciclos sazonais)",

"Sinais astronômicos (movimentos planetários)",

"Vibrações mecânicas e sinais de engenharia"

]

print("VANTAGENS PRINCIPAIS:")

for vantagem in vantagens_ess:

print(vantagem)

print("\nCASOS DE USO RECOMENDADOS:")

for caso in casos_uso_especificos:

print(f" • {caso}")

print("\nCONFIGURAÇÃO INICIAL RECOMENDADA:")

print(" • Use detecção automática para estimar o período inicial")

print(" • Comece com length_scale = 1.0 e ajuste conforme necessário")

print(" • Combine com RBF para capturar tendências não-periódicas")

print(" • Use bounds realistas baseados no conhecimento do domínio")

Os detalhes que fazem diferença

O kernel Exp-Seno-Quadrado brilha em sua capacidade de modelar periodicidades que não são perfeitamente rígidas. O parâmetro de periodicity (p) especifica o comprimento do ciclo, enquanto o length_scale (l) controla quão rapidamente a similaridade decai quando os pontos se desalinham em fase. Valores pequenos de length_scale criam funções mais “rígidas” que exigem alinhamento quase perfeito de fase, enquanto valores maiores permitem mais flexibilidade. Uma propriedade crucial é que este kernel é estacionário – ele depende apenas da distância entre pontos, não de suas posições absolutas, o que o torna matematicamente bem comportado e eficiente computacionalmente.

Periodicity (p): Comprimento do ciclo, altamente interpretável
Length_scale (l): Controla a rigidez do padrão periódico
Estacionário: Depende apenas da distância, não da posição
Suave: Produz funções infinitamente diferenciáveis
Combinável: Funciona bem com outros kernels via adição/multiplicação

Perguntas que os iniciantes fazem

Você deve estar se perguntando: “Como saber se meus dados são periódicos o suficiente para usar este kernel?” Observe se há picos regulares na autocorrelação ou se você consegue identificar visualmente padrões que se repetem. Uma confusão comum é tentar usar este kernel para dados que são apenas oscilatórios mas não verdadeiramente periódicos – nesse caso, RBF ou Matérn podem ser melhores. Outra dúvida frequente: “E se eu não souber o período?” Use análise de Fourier ou autocorrelação para estimar um período inicial, depois deixe a otimização refiná-lo.

Para onde ir agora?

Experimente o kernel Exp-Seno-Quadrado em seus dados que exibam sazonalidade ou ciclicidade. Comece com uma estimativa grosseira do período usando técnicas simples de análise de Fourier, depois refine com a otimização do GP. Tente combiná-lo com kernels RBF para capturar tanto a componente periódica quanto tendências de longo prazo. O momento “aha!” acontece quando você vê o modelo não apenas identificando a periodicidade, mas também capturando como ela varia suavemente ao longo do tempo, revelando os ritmos escondidos nos seus dados.

Assuntos relacionados

Para dominar este kernel, estude:

Análise de Fourier: fundamentos da decomposição em frequências
Processos periódicos: teoria de processos estocásticos com periodicidade
Autocorrelação: medindo dependências temporais em séries
Kernels espectralmente mistos: combinações para padrões complexos
Processos gaussianos não estacionários: para periodicidades que evoluem no tempo

Descobrindo o ritmo dos dados: como o kernel Exp-Seno-Quadrado captura padrões periódicos escondidos

Como isso funciona na prática?

Mãos na massa: caçando periodicidades com o kernel Exp-Seno-Quadrado

Os detalhes que fazem diferença

Perguntas que os iniciantes fazem

Para onde ir agora?

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Referências que valem a pena

Framework de Machine Learning: Especialidades e Aplicações

TensorFlow: O Ecossistema Completo

PyTorch: A Revolução da Pesquisa

Scikit-learn: A Base do ML Tradicional

JAX: O Paradigma da Computação Científica

Diferenças Fundamentais e Aplicações

Casos de Uso Recomendados

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PyTorch

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