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Vizinhos mais próximos não supervisionados: Descobrindo padrões escondidos nos seus dados

19/12/202528/10/2025 Por antonino

Quando você não sabe o que procurar, mas encontra tesouros escondidos

Imagine que você é um corretor de imóveis com uma lista de 500 propriedades, mas nenhuma classificação prévia sobre qual é “luxuosa”, “econômica” ou “familiar”. Como agrupar essas casas de forma inteligente? O vizinhos mais próximos não supervisionados é como ter um assistente que analisa automaticamente quais imóveis são naturalmente similares, agrupando-os por características intrínsecas. Ele encontra padrões que você nem sabia que existiam, revelando segmentos naturais no seu mercado. Esta técnica é surpreendentemente poderosa para explorar dados quando você não tem rótulos pré-definidos.

Como isso funciona na prática?

Diferente do version supervisionado que você já conhece, o vizinhos mais próximos não supervisionados não precisa de respostas prévias para aprender. Ele simplesmente analisa a “vizinhança” de cada ponto de dados, calculando distâncias entre todas as observações. Quando você pede para encontrar os K vizinhos mais próximos, o algoritmo identifica quais pontos estão naturalmente agrupados no espaço multidimensional. É como organizar uma festa e observar que certos convidados naturalmente formam círculos de conversa baseados em interesses comuns, sem que ninguém precise dizer explicitamente “grupo dos esportistas” ou “grupo dos intelectuais”.

Mãos na massa: exemplo prático com imóveis

# Importando as ferramentas necessárias
from sklearn.neighbors import NearestNeighbors
import pandas as pd
import numpy as np

# Vamos criar dados fictícios de imóveis: preço, área, número de quartos
dados_imoveis = pd.DataFrame({
    'preco': [500000, 320000, 800000, 280000, 950000, 350000],
    'area': [180, 120, 250, 100, 300, 130],
    'quartos': [4, 3, 5, 2, 6, 3]
})

print("Dados dos imóveis:")
print(dados_imoveis)

# Criando o modelo de vizinhos mais próximos não supervisionado
# Queremos encontrar os 3 imóveis mais similares para cada propriedade
modelo_vizinhos = NearestNeighbors(n_neighbors=3)
modelo_vizinhos.fit(dados_imoveis)

# Vamos encontrar os vizinhos mais próximos para o primeiro imóvel
distancias, indices = modelo_vizinhos.kneighbors(dados_imoveis.iloc[[0]])

print(f"\nPara o imóvel 0 (R$ {dados_imoveis.iloc[0]['preco']:,.0f}):")
print(f"Vizinhos mais próximos: {indices[0]}")
print(f"Distâncias: {distancias[0]}")

# Agora vamos visualizar todos os grupos naturais
distancias_completas, indices_completos = modelo_vizinhos.kneighbors(dados_imoveis)

print("\nMatriz de vizinhança completa:")
for i, (vizinhos, dists) in enumerate(zip(indices_completos, distancias_completas)):
    print(f"Imóvel {i} é similar aos imóveis {vizinhos[1:]} com distâncias {dists[1:]:.2f}")

# Importando as ferramentas necessárias

from sklearn.neighbors import NearestNeighbors

import pandas as pd

import numpy as np

# Vamos criar dados fictícios de imóveis: preço, área, número de quartos

dados_imoveis = pd.DataFrame({

'preco': [500000, 320000, 800000, 280000, 950000, 350000],

'area': [180, 120, 250, 100, 300, 130],

'quartos': [4, 3, 5, 2, 6, 3]

})

print("Dados dos imóveis:")

print(dados_imoveis)

# Criando o modelo de vizinhos mais próximos não supervisionado

# Queremos encontrar os 3 imóveis mais similares para cada propriedade

modelo_vizinhos = NearestNeighbors(n_neighbors=3)

modelo_vizinhos.fit(dados_imoveis)

# Vamos encontrar os vizinhos mais próximos para o primeiro imóvel

distancias, indices = modelo_vizinhos.kneighbors(dados_imoveis.iloc[[0]])

print(f"\nPara o imóvel 0 (R$ {dados_imoveis.iloc[0]['preco']:,.0f}):")

print(f"Vizinhos mais próximos: {indices[0]}")

print(f"Distâncias: {distancias[0]}")

# Agora vamos visualizar todos os grupos naturais

distancias_completas, indices_completos = modelo_vizinhos.kneighbors(dados_imoveis)

print("\nMatriz de vizinhança completa:")

for i, (vizinhos, dists) in enumerate(zip(indices_completos, distancias_completas)):

print(f"Imóvel {i} é similar aos imóveis {vizinhos[1:]} com distâncias {dists[1:]:.2f}")

Os detalhes que fazem diferença

Escolher o valor de K certo é fundamental para o sucesso da análise. Um K muito pequeno pode criar grupos muito fragmentados, enquanto um K muito grande pode agrupar elementos que não são realmente similares. A métrica de distância também é crucial – a distância Euclidiana funciona bem para dados contínuos, mas para dados categóricos você pode precisar de outras abordagens. Similarmente, a normalização dos dados é essencial; caso contrário, variáveis com escalas maiores dominarão completamente o cálculo de similaridade.

Seleção de K: Comece com K entre 5 e 15 e ajuste baseado na densidade dos seus dados
Normalização obrigatória: Sempre normalize seus dados antes de aplicar o algoritmo
Métricas de distância: Experimente Euclidean, Manhattan ou Cosine para diferentes tipos de dados
Visualização: Use técnicas como PCA para visualizar os grupos encontrados em 2D ou 3D

Encontrando a estrutura de vizinhança ideal

# Exemplo avançado: encontrando a estrutura de conectividade dos dados
from sklearn.neighbors import kneighbors_graph
import matplotlib.pyplot as plt

# Criando uma matriz de conectividade baseada nos vizinhos mais próximos
# Isso é útil para algoritmos de clustering posteriores
matriz_conectividade = kneighbors_graph(dados_imoveis, n_neighbors=2, mode='connectivity')

print("Matriz de conectividade (mostrando quais pontos estão conectados):")
print(matriz_conectividade.toarray())

# Esta matriz mostra que o imóvel 0 está conectado aos imóveis 1 e 5, etc.
# Essa estrutura pode ser usada em algoritmos como Spectral Clustering

# Exemplo avançado: encontrando a estrutura de conectividade dos dados

from sklearn.neighbors import kneighbors_graph

import matplotlib.pyplot as plt

# Criando uma matriz de conectividade baseada nos vizinhos mais próximos

# Isso é útil para algoritmos de clustering posteriores

matriz_conectividade = kneighbors_graph(dados_imoveis, n_neighbors=2, mode='connectivity')

print("Matriz de conectividade (mostrando quais pontos estão conectados):")

print(matriz_conectividade.toarray())

# Esta matriz mostra que o imóvel 0 está conectado aos imóveis 1 e 5, etc.

# Essa estrutura pode ser usada em algoritmos como Spectral Clustering

Perguntas que os iniciantes fazem

Você deve estar se perguntando: qual a diferença prática entre isso e clustering tradicional? Enquanto algoritmos como K-Means criam grupos rígidos, o vizinhos mais próximos não supervisionados preserva a estrutura local de vizinhança, sendo especialmente útil como pré-processamento para outros algoritmos. Uma confusão comum é achar que este método cria clusters definitivos; na realidade, ele revela relações de proximidade que podem ser exploradas de várias formas. Por que usar isso em vez de ir direto para o clustering? Porque entender a estrutura de vizinhança dos seus dados fornece insights valiosos sobre a densidade e conectividade natural dos pontos.

Quando essa técnica brilha de verdade

O vizinhos mais próximos não supervisionados é particularmente valioso em situações onde você precisa entender a estrutura intrínseca dos dados antes de aplicar técnicas mais complexas. Ele funciona como um “explorador de território” que mapeia o terreno antes que você tome decisões estratégicas. Igualmente importante, ele é excelente para detecção de anomalias – pontos que não têm vizinhos próximos geralmente são outliers que merecem atenção especial. Esta abordagem também é fundamental como primeiro passo em análises de manifold learning, onde assumimos que dados complexos residem em variedades de dimensão inferior.

Para onde ir agora?

Para dominar completamente esta técnica, pratique aplicando-a em conjuntos de dados reais do setor imobiliário ou de e-commerce. Experimente diferentes valores de K e observe como a estrutura de vizinhança se modifica. Posteriormente, use essa análise como entrada para algoritmos de clustering como DBSCAN ou Spectral Clustering, que se beneficiam enormemente de uma boa compreensão da vizinhança local. Lembre-se que a verdadeira maestria vem da combinação desta técnica com outras ferramentas do ecossistema de aprendizado não supervisionado.

Assuntos relacionados

Para aprofundar seu entendimento sobre vizinhos mais próximos não supervisionados, estes conceitos matemáticos e estatísticos são fundamentais:

Geometria de espaços multidimensionais: Compreensão de distâncias e similaridade em alta dimensão
Teoria dos grafos: Estruturas de conectividade e relações de vizinhança
Análise de densidade: Como os pontos se distribuem no espaço de features
Redução de dimensionalidade: Técnicas como PCA e t-SNE para visualização
Métricas de avaliação de clustering: Silhouette score e outras medidas de qualidade

Referências que valem a pena

Análise Discriminante: Formulação Matemática dos Classificadores LDA e QDA

19/12/202518/10/2025 Por antonino

Após explorarmos as aplicações práticas da Análise Discriminante, mergulhemos agora nos fundamentos matemáticos que sustentam os classificadores LDA e QDA. Primordialmente, compreender estas formulações nos permitirá aplicar estas técnicas com maior discernimento e interpretar seus resultados de forma mais profunda.

Pressupostos Fundamentais

Conforme mencionamos anteriormente, ambos os métodos assumem que os dados seguem distribuições Gaussianas multivariadas. Analogamente, podemos expressar esta suposição formalmente:

$P(x | y = k) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2} |\Sigma_k|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2} (x – \mu_k)^T \Sigma_k^{-1} (x – \mu_k)\right)$

Onde para cada classe k:

μ_k é o vetor de médias
Σ_k é a matriz de covariância
d é a dimensionalidade dos dados

Teorema de Bayes e Função Discriminante

A decisão de classificação baseia-se no teorema de Bayes:

$P(y = k | x) = \frac{P(x | y = k) P(y = k)}{P(x)}$

Como P(x) é constante para todas as classes, maximizar P(y=k|x) equivale a maximizar o numerador. Portanto, definimos a função discriminante como:

$\delta_k(x) = \log P(x | y = k) + \log P(y = k)$

Análise Discriminante Linear (LDA)

Pressuposto de Covariância Comum

O LDA assume que todas as classes compartilham a mesma matriz de covariância:

$\Sigma_k = \Sigma \quad \text{para todo } k$

Desenvolvendo a função discriminante com este pressuposto, obtemos:

$\delta_k(x) = x^T \Sigma^{-1} \mu_k – \frac{1}{2} \mu_k^T \Sigma^{-1} \mu_k + \log \pi_k$

Onde π_k = P(y=k) é a probabilidade a priori da classe k.

Forma Linear da Fronteira de Decisão

A fronteira entre duas classes i e j é determinada por:

$\delta_i(x) = \delta_j(x)$

O que resulta em uma equação linear em x:

$x^T \Sigma^{-1} (\mu_i – \mu_j) – \frac{1}{2} (\mu_i + \mu_j)^T \Sigma^{-1} (\mu_i – \mu_j) + \log(\pi_i/\pi_j) = 0$

Análise Discriminante Quadrática (QDA)

Matrizes de Covariância Distintas

O QDA permite que cada classe tenha sua própria matriz de covariância:

$\Sigma_k \neq \Sigma_j \quad \text{para } k \neq j$

Desenvolvendo a função discriminante, obtemos:

$\delta_k(x) = -\frac{1}{2} \log |\Sigma_k| – \frac{1}{2} (x – \mu_k)^T \Sigma_k^{-1} (x – \mu_k) + \log \pi_k$

Forma Quadrática da Fronteira de Decisão

A fronteira entre classes i e j é dada por:

$\delta_i(x) = \delta_j(x)$

O que resulta em uma equação quadrática em x, criando fronteiras de decisão curvas.

Estimativa dos Parâmetros

Estimativas de Máxima Verossimilhança

Os parâmetros são estimados a partir dos dados de treinamento:

Médias das classes: $\hat{\mu}_k = \frac{1}{N_k} \sum_{i: y_i = k} x_i$
Probabilidades a priori: $\hat{\pi}_k = \frac{N_k}{N}$
Matriz de covariância (LDA): $\hat{\Sigma} = \frac{1}{N-K} \sum_{k=1}^K \sum_{i: y_i = k} (x_i – \hat{\mu}_k)(x_i – \hat{\mu}_k)^T$
Matrizes de covariância (QDA): $\hat{\Sigma}_k = \frac{1}{N_k-1} \sum_{i: y_i = k} (x_i – \hat{\mu}_k)(x_i – \hat{\mu}_k)^T$

Comparação Matemática Detalhada

Complexidade de Parâmetros

O número de parâmetros a estimar difere significativamente:

LDA: K × d (médias) + d(d+1)/2 (covariância) + K (priors)
QDA: K × d (médias) + K × d(d+1)/2 (covariâncias) + K (priors)

Inegavelmente, o QDA requer substancialmente mais parâmetros, especialmente quando o número de features é grande.

Propriedades Estatísticas

Ambos os métodos possuem propriedades interessantes:

São classificadores Bayes ótimos sob os pressupostos Gaussianos
Produzem estimativas de probabilidade posteriores
Podem ser regularizados para melhor generalização
São consistentes sob condições apropriadas

Exemplo Prático em Python

Para ilustrar estas formulações matemáticas, implementemos um exemplo que demonstra os cálculos fundamentais:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis, QuadraticDiscriminantAnalysis
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score, confusion_matrix
import scipy.stats as stats

'''
Implementação manual dos cálculos LDA e QDA para demonstrar
as formulações matemáticas discutidas
'''

class ManualLDA:
    '''Implementação manual do LDA para fins educacionais'''
    
    def fit(self, X, y):
        """
        Estima os parâmetros do LDA: médias, covariância comum e priors
        """
        self.classes_ = np.unique(y)
        self.n_classes = len(self.classes_)
        self.n_features = X.shape[1]
        
        # Calculando médias por classe
        self.means_ = []
        for k in self.classes_:
            class_mask = (y == k)
            self.means_.append(np.mean(X[class_mask], axis=0))
        self.means_ = np.array(self.means_)
        
        # Calculando probabilidades a priori
        self.priors_ = []
        for k in self.classes_:
            self.priors_.append(np.mean(y == k))
        self.priors_ = np.array(self.priors_)
        
        # Calculando matriz de covariância comum
        self.covariance_ = np.zeros((self.n_features, self.n_features))
        for k, mean in zip(self.classes_, self.means_):
            class_mask = (y == k)
            X_centered = X[class_mask] - mean
            self.covariance_ += X_centered.T @ X_centered
        self.covariance_ /= (len(y) - self.n_classes)
        
        # Pré-calculando a inversa da covariância
        self.covariance_inv_ = np.linalg.pinv(self.covariance_)
        
        return self
    
    def _discriminant_function(self, x, k):
        """
        Calcula a função discriminante para uma observação x e classe k
        δ_k(x) = x^T Σ^{-1} μ_k - 1/2 μ_k^T Σ^{-1} μ_k + log(π_k)
        """
        mean_k = self.means_[k]
        prior_k = self.priors_[k]
        
        linear_term = x @ self.covariance_inv_ @ mean_k
        quadratic_term = 0.5 * mean_k @ self.covariance_inv_ @ mean_k
        prior_term = np.log(prior_k)
        
        return linear_term - quadratic_term + prior_term
    
    def predict_proba(self, X):
        """
        Calcula probabilidades posteriores usando softmax nas funções discriminantes
        """
        n_samples = X.shape[0]
        discriminant_scores = np.zeros((n_samples, self.n_classes))
        
        for k in range(self.n_classes):
            for i in range(n_samples):
                discriminant_scores[i, k] = self._discriminant_function(X[i], k)
        
        # Aplicando softmax para obter probabilidades
        exp_scores = np.exp(discriminant_scores - np.max(discriminant_scores, axis=1, keepdims=True))
        probabilities = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True)
        
        return probabilities
    
    def predict(self, X):
        """
        Prediz classes selecionando a com maior probabilidade posterior
        """
        probabilities = self.predict_proba(X)
        return np.argmax(probabilities, axis=1)

'''
Demonstração comparativa entre implementação manual e scikit-learn
'''
print("=== DEMONSTRAÇÃO DAS FORMULAÇÕES MATEMÁTICAS ===")

# Gerando dados de exemplo
X, y = make_classification(
    n_samples=300, n_features=2, n_informative=2, n_redundant=0,
    n_classes=3, n_clusters_per_class=1, random_state=42
)

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

# Aplicando implementação manual
print("\n1. IMPLEMENTAÇÃO MANUAL DO LDA")
manual_lda = ManualLDA()
manual_lda.fit(X_train, y_train)
y_pred_manual = manual_lda.predict(X_test)
accuracy_manual = accuracy_score(y_test, y_pred_manual)

print(f"Parâmetros estimados:")
print(f"  - Médias das classes: {manual_lda.means_.shape}")
print(f"  - Matriz de covariância: {manual_lda.covariance_.shape}")
print(f"  - Priors: {manual_lda.priors_}")
print(f"  - Acurácia (manual): {accuracy_manual:.3f}")

# Comparando com scikit-learn
print("\n2. COMPARAÇÃO COM SCIKIT-LEARN")
sklearn_lda = LinearDiscriminantAnalysis()
sklearn_lda.fit(X_train, y_train)
y_pred_sklearn = sklearn_lda.predict(X_test)
accuracy_sklearn = accuracy_score(y_test, y_pred_sklearn)

print(f"  - Acurácia (scikit-learn): {accuracy_sklearn:.3f}")
print(f"  - Coincidência nas predições: {np.mean(y_pred_manual == y_pred_sklearn):.3f}")

'''
Análise das funções discriminantes para uma observação específica
'''
print("\n3. ANÁLISE DAS FUNÇÕES DISCRIMINANTES")
sample_idx = 0
x_sample = X_test[sample_idx]
true_class = y_test[sample_idx]

print(f"Observação de teste {sample_idx}:")
print(f"  - Classe verdadeira: {true_class}")

# Calculando scores discriminantes manualmente
for k in range(manual_lda.n_classes):
    score = manual_lda._discriminant_function(x_sample, k)
    print(f"  - Score classe {k}: {score:.3f}")

# Probabilidades calculadas manualmente
proba_manual = manual_lda.predict_proba(X_test[sample_idx:sample_idx+1])[0]
print(f"  - Probabilidades (manual): {proba_manual}")

# Probabilidades do scikit-learn
proba_sklearn = sklearn_lda.predict_proba(X_test[sample_idx:sample_idx+1])[0]
print(f"  - Probabilidades (scikit-learn): {proba_sklearn}")

'''
Visualização das fronteiras de decisão
'''
print("\n4. VISUALIZAÇÃO DAS FRONTEIRAS DE DECISÃO")

# Criando grid para plotar fronteiras
h = 0.02
x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h),
                     np.arange(y_min, y_max, h))

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(15, 6))

# Plot implementação manual
Z_manual = manual_lda.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z_manual = Z_manual.reshape(xx.shape)
contour1 = ax1.contourf(xx, yy, Z_manual, alpha=0.3, cmap=plt.cm.Paired)
scatter1 = ax1.scatter(X_train[:, 0], X_train[:, 1], c=y_train, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')
ax1.set_title('Fronteiras de Decisão - Implementação Manual')
ax1.set_xlabel('Feature 1')
ax1.set_ylabel('Feature 2')

# Plot scikit-learn
Z_sklearn = sklearn_lda.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z_sklearn = Z_sklearn.reshape(xx.shape)
contour2 = ax2.contourf(xx, yy, Z_sklearn, alpha=0.3, cmap=plt.cm.Paired)
scatter2 = ax2.scatter(X_train[:, 0], X_train[:, 1], c=y_train, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')
ax2.set_title('Fronteiras de Decisão - Scikit-learn')
ax2.set_xlabel('Feature 1')
ax2.set_ylabel('Feature 2')

plt.tight_layout()
plt.show()

'''
Demonstração do cálculo da matriz de covariância
'''
print("\n5. CÁLCULO DETALHADO DA MATRIZ DE COVARIÂNCIA")
print("Matriz de covariância comum (LDA):")
print(manual_lda.covariance_)

# Verificando cálculo manual vs numpy
cov_numpy = np.cov(X_train.T, bias=True)
print("\nVerificação com numpy.cov (com bias adjustment):")
print("Diferença máxima:", np.max(np.abs(manual_lda.covariance_ - cov_numpy)))

'''
Implementação simplificada do QDA para comparação
'''
print("\n6. COMPARAÇÃO COM QDA")

sklearn_qda = QuadraticDiscriminantAnalysis()
sklearn_qda.fit(X_train, y_train)
y_pred_qda = sklearn_qda.predict(X_test)
accuracy_qda = accuracy_score(y_test, y_pred_qda)

print(f"  - Acurácia QDA: {accuracy_qda:.3f}")
print(f"  - Acurácia LDA: {accuracy_sklearn:.3f}")

# Analisando diferenças nas predições
diff_lda_qda = np.mean(y_pred_sklearn != y_pred_qda)
print(f"  - Diferença nas predições LDA vs QDA: {diff_lda_qda:.3f}")

'''
Interpretação dos resultados matemáticos
'''
print("\n7. INTERPRETAÇÃO MATEMÁTICA")
print("Os resultados demonstram que:")
print("  - As formulações matemáticas produzem classificadores consistentes")
print("  - A implementação manual coincide com o scikit-learn")
print("  - As funções discriminantes capturam a informação de classe")
print("  - As fronteiras de decisão refletem a estrutura linear do LDA")

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import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis, QuadraticDiscriminantAnalysis

from sklearn.datasets import make_classification

from sklearn.model_selection import train_test_split

from sklearn.metrics import accuracy_score, confusion_matrix

import scipy.stats as stats

'''

Implementação manual dos cálculos LDA e QDA para demonstrar

as formulações matemáticas discutidas

'''

class ManualLDA:

'''Implementação manual do LDA para fins educacionais'''

def fit(self, X, y):

"""

Estima os parâmetros do LDA: médias, covariância comum e priors

"""

self.classes_ = np.unique(y)

self.n_classes = len(self.classes_)

self.n_features = X.shape[1]

# Calculando médias por classe

self.means_ = []

for k in self.classes_:

class_mask = (y == k)

self.means_.append(np.mean(X[class_mask], axis=0))

self.means_ = np.array(self.means_)

# Calculando probabilidades a priori

self.priors_ = []

for k in self.classes_:

self.priors_.append(np.mean(y == k))

self.priors_ = np.array(self.priors_)

# Calculando matriz de covariância comum

self.covariance_ = np.zeros((self.n_features, self.n_features))

for k, mean in zip(self.classes_, self.means_):

class_mask = (y == k)

X_centered = X[class_mask] - mean

self.covariance_ += X_centered.T @ X_centered

self.covariance_ /= (len(y) - self.n_classes)

# Pré-calculando a inversa da covariância

self.covariance_inv_ = np.linalg.pinv(self.covariance_)

return self

def _discriminant_function(self, x, k):

"""

Calcula a função discriminante para uma observação x e classe k

δ_k(x) = x^T Σ^{-1} μ_k - 1/2 μ_k^T Σ^{-1} μ_k + log(π_k)

"""

mean_k = self.means_[k]

prior_k = self.priors_[k]

linear_term = x @ self.covariance_inv_ @ mean_k

quadratic_term = 0.5 * mean_k @ self.covariance_inv_ @ mean_k

prior_term = np.log(prior_k)

return linear_term - quadratic_term + prior_term

def predict_proba(self, X):

"""

Calcula probabilidades posteriores usando softmax nas funções discriminantes

"""

n_samples = X.shape[0]

discriminant_scores = np.zeros((n_samples, self.n_classes))

for k in range(self.n_classes):

for i in range(n_samples):

discriminant_scores[i, k] = self._discriminant_function(X[i], k)

# Aplicando softmax para obter probabilidades

exp_scores = np.exp(discriminant_scores - np.max(discriminant_scores, axis=1, keepdims=True))

probabilities = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True)

return probabilities

def predict(self, X):

"""

Prediz classes selecionando a com maior probabilidade posterior

"""

probabilities = self.predict_proba(X)

return np.argmax(probabilities, axis=1)

'''

Demonstração comparativa entre implementação manual e scikit-learn

'''

print("=== DEMONSTRAÇÃO DAS FORMULAÇÕES MATEMÁTICAS ===")

# Gerando dados de exemplo

X, y = make_classification(

n_samples=300, n_features=2, n_informative=2, n_redundant=0,

n_classes=3, n_clusters_per_class=1, random_state=42

)

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

# Aplicando implementação manual

print("\n1. IMPLEMENTAÇÃO MANUAL DO LDA")

manual_lda = ManualLDA()

manual_lda.fit(X_train, y_train)

y_pred_manual = manual_lda.predict(X_test)

accuracy_manual = accuracy_score(y_test, y_pred_manual)

print(f"Parâmetros estimados:")

print(f" - Médias das classes: {manual_lda.means_.shape}")

print(f" - Matriz de covariância: {manual_lda.covariance_.shape}")

print(f" - Priors: {manual_lda.priors_}")

print(f" - Acurácia (manual): {accuracy_manual:.3f}")

# Comparando com scikit-learn

print("\n2. COMPARAÇÃO COM SCIKIT-LEARN")

sklearn_lda = LinearDiscriminantAnalysis()

sklearn_lda.fit(X_train, y_train)

y_pred_sklearn = sklearn_lda.predict(X_test)

accuracy_sklearn = accuracy_score(y_test, y_pred_sklearn)

print(f" - Acurácia (scikit-learn): {accuracy_sklearn:.3f}")

print(f" - Coincidência nas predições: {np.mean(y_pred_manual == y_pred_sklearn):.3f}")

'''

Análise das funções discriminantes para uma observação específica

'''

print("\n3. ANÁLISE DAS FUNÇÕES DISCRIMINANTES")

sample_idx = 0

x_sample = X_test[sample_idx]

true_class = y_test[sample_idx]

print(f"Observação de teste {sample_idx}:")

print(f" - Classe verdadeira: {true_class}")

# Calculando scores discriminantes manualmente

for k in range(manual_lda.n_classes):

score = manual_lda._discriminant_function(x_sample, k)

print(f" - Score classe {k}: {score:.3f}")

# Probabilidades calculadas manualmente

proba_manual = manual_lda.predict_proba(X_test[sample_idx:sample_idx+1])[0]

print(f" - Probabilidades (manual): {proba_manual}")

# Probabilidades do scikit-learn

proba_sklearn = sklearn_lda.predict_proba(X_test[sample_idx:sample_idx+1])[0]

print(f" - Probabilidades (scikit-learn): {proba_sklearn}")

'''

Visualização das fronteiras de decisão

'''

print("\n4. VISUALIZAÇÃO DAS FRONTEIRAS DE DECISÃO")

# Criando grid para plotar fronteiras

h = 0.02

x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1

y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1

xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h),

np.arange(y_min, y_max, h))

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(15, 6))

# Plot implementação manual

Z_manual = manual_lda.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])

Z_manual = Z_manual.reshape(xx.shape)

contour1 = ax1.contourf(xx, yy, Z_manual, alpha=0.3, cmap=plt.cm.Paired)

scatter1 = ax1.scatter(X_train[:, 0], X_train[:, 1], c=y_train, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')

ax1.set_title('Fronteiras de Decisão - Implementação Manual')

ax1.set_xlabel('Feature 1')

ax1.set_ylabel('Feature 2')

# Plot scikit-learn

Z_sklearn = sklearn_lda.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])

Z_sklearn = Z_sklearn.reshape(xx.shape)

contour2 = ax2.contourf(xx, yy, Z_sklearn, alpha=0.3, cmap=plt.cm.Paired)

scatter2 = ax2.scatter(X_train[:, 0], X_train[:, 1], c=y_train, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')

ax2.set_title('Fronteiras de Decisão - Scikit-learn')

ax2.set_xlabel('Feature 1')

ax2.set_ylabel('Feature 2')

plt.tight_layout()

plt.show()

'''

Demonstração do cálculo da matriz de covariância

'''

print("\n5. CÁLCULO DETALHADO DA MATRIZ DE COVARIÂNCIA")

print("Matriz de covariância comum (LDA):")

print(manual_lda.covariance_)

# Verificando cálculo manual vs numpy

cov_numpy = np.cov(X_train.T, bias=True)

print("\nVerificação com numpy.cov (com bias adjustment):")

print("Diferença máxima:", np.max(np.abs(manual_lda.covariance_ - cov_numpy)))

'''

Implementação simplificada do QDA para comparação

'''

print("\n6. COMPARAÇÃO COM QDA")

sklearn_qda = QuadraticDiscriminantAnalysis()

sklearn_qda.fit(X_train, y_train)

y_pred_qda = sklearn_qda.predict(X_test)

accuracy_qda = accuracy_score(y_test, y_pred_qda)

print(f" - Acurácia QDA: {accuracy_qda:.3f}")

print(f" - Acurácia LDA: {accuracy_sklearn:.3f}")

# Analisando diferenças nas predições

diff_lda_qda = np.mean(y_pred_sklearn != y_pred_qda)

print(f" - Diferença nas predições LDA vs QDA: {diff_lda_qda:.3f}")

'''

Interpretação dos resultados matemáticos

'''

print("\n7. INTERPRETAÇÃO MATEMÁTICA")

print("Os resultados demonstram que:")

print(" - As formulações matemáticas produzem classificadores consistentes")

print(" - A implementação manual coincide com o scikit-learn")

print(" - As funções discriminantes capturam a informação de classe")

print(" - As fronteiras de decisão refletem a estrutura linear do LDA")

Interpretação dos Resultados Matemáticos

Analisando a implementação e os resultados, podemos observar que:

As funções discriminantes realmente capturam a informação de separação entre classes
A matriz de covariância comum no LDA produz fronteiras lineares
As probabilidades posteriores são calculadas corretamente via softmax
A implementação manual coincide com a do scikit-learn, validando as formulações

Implicações Práticas das Formulações

Vantagens do LDA

Menos parâmetros para estimar → mais robusto com dados limitados
Computacionalmente mais eficiente
Fronteiras de decisão lineares são mais interpretáveis

Vantagens do QDA

Mais flexibilidade para capturar relações complexas
Melhor performance quando as covariâncias são realmente diferentes
Fronteiras de decisão curvas podem se ajustar melhor aos dados

Considerações Finais

As formulações matemáticas do LDA e QDA revelam por que estas técnicas são tão eficazes sob os pressupostos Gaussianos. Embora baseadas em conceitos estatísticos clássicos, continuam sendo ferramentas valiosas no machine learning moderno.

Portanto, compreender estas fundamentações não apenas nos permite aplicar os métodos corretamente, mas também nos capacita a interpretar seus resultados, diagnosticar problemas e fazer escolhas informadas entre diferentes abordagens de classificação.