Seja X₁, X₂, …, Xₙ uma amostra aleatória com distribuição uniforme U(0, Θ), onde Θ é desconhecido. Definimos o estimador: \(\hat{\Theta}_n = \max(X_1, X_2, …, X_n)\).
Problema
Precisamos encontrar:
- O viés do estimador: \(B(\hat{\Theta}_n) = E[\hat{\Theta}_n] – \Theta\)
- O erro quadrático médio: \(EQM(\hat{\Theta}_n) = E[(\hat{\Theta}_n – \Theta)^2]\)
Para isso, utilizaremos o fato de que a função densidade de probabilidade de \(\hat{\Theta}_n\) é:
\(f_{\hat{\Theta}_n}(y) = n f_X(y) [F_X(y)]^{n-1}\)Distribuição do Máximo
Para uma distribuição uniforme U(0, Θ):
- \(f_X(x) = \frac{1}{\Theta}\) para \(0 \leq x \leq \Theta\)
- \(F_X(x) = \frac{x}{\Theta}\) para \(0 \leq x \leq \Theta\)
Portanto, a densidade do máximo é:
\(f_{\hat{\Theta}_n}(y) = n \cdot \frac{1}{\Theta} \cdot \left(\frac{y}{\Theta}\right)^{n-1} = \frac{n y^{n-1}}{\Theta^n}\)para \(0 \leq y \leq \Theta\).
Cálculo do Valor Esperado
Para encontrar o viés, primeiro calculamos \(E[\hat{\Theta}_n]\):
\(E[\hat{\Theta}_n] = \int_{0}^{\Theta} y \cdot f_{\hat{\Theta}_n}(y) dy = \int_{0}^{\Theta} y \cdot \frac{n y^{n-1}}{\Theta^n} dy\) \(= \frac{n}{\Theta^n} \int_{0}^{\Theta} y^n dy = \frac{n}{\Theta^n} \cdot \left[\frac{y^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{\Theta}\) \(= \frac{n}{\Theta^n} \cdot \frac{\Theta^{n+1}}{n+1} = \frac{n}{n+1} \Theta\)Portanto, \(E[\hat{\Theta}_n] = \frac{n}{n+1} \Theta\)
Cálculo do Viés
O viés é dado por:
\(B(\hat{\Theta}_n) = E[\hat{\Theta}_n] – \Theta = \frac{n}{n+1} \Theta – \Theta\) \(= \left(\frac{n}{n+1} – 1\right) \Theta = -\frac{1}{n+1} \Theta\)O viés do estimador é \(B(\hat{\Theta}_n) = -\frac{\Theta}{n+1}\)
Cálculo do Erro Quadrático Médio
Para calcular o EQM, primeiro precisamos de \(E[\hat{\Theta}_n^2]\):
\(E[\hat{\Theta}_n^2] = \int_{0}^{\Theta} y^2 \cdot f_{\hat{\Theta}_n}(y) dy = \int_{0}^{\Theta} y^2 \cdot \frac{n y^{n-1}}{\Theta^n} dy\) \(= \frac{n}{\Theta^n} \int_{0}^{\Theta} y^{n+1} dy = \frac{n}{\Theta^n} \cdot \left[\frac{y^{n+2}}{n+2}\right]_{0}^{\Theta}\) \(= \frac{n}{\Theta^n} \cdot \frac{\Theta^{n+2}}{n+2} = \frac{n}{n+2} \Theta^2\)Agora podemos calcular o EQM:
\(EQM(\hat{\Theta}_n) = E[(\hat{\Theta}_n – \Theta)^2] = E[\hat{\Theta}_n^2] – 2\Theta E[\hat{\Theta}_n] + \Theta^2\) \(= \frac{n}{n+2} \Theta^2 – 2\Theta \cdot \frac{n}{n+1} \Theta + \Theta^2\) \(= \left(\frac{n}{n+2} – \frac{2n}{n+1} + 1\right) \Theta^2\)Após simplificação algébrica, obtemos:
\(EQM(\hat{\Theta}_n) = \frac{2\Theta^2}{(n+1)(n+2)}\)O erro quadrático médio é \(EQM(\hat{\Theta}_n) = \frac{2\Theta^2}{(n+1)(n+2)}\)
Simulação em R
O código abaixo em R simula este estimador para verificar os resultados teóricos:
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# Parâmetros da simulação theta <- 5 # Valor verdadeiro de Θ n <- 10 # Tamanho da amostra num_sim <- 10000 # Número de simulações # Simulação do estimador estimativas <- replicate(num_sim, { amostra <- runif(n, min = 0, max = theta) max(amostra) }) # Cálculo do viés empírico vies_empirico <- mean(estimativas) - theta vies_teorico <- -theta/(n+1) # Cálculo do EQM empírico eqm_empirico <- mean((estimativas - theta)^2) eqm_teorico <- 2*theta^2/((n+1)*(n+2)) # Resultados cat("Viés teórico:", vies_teorico, "\n") cat("Viés empírico:", vies_empirico, "\n") cat("EQM teórico:", eqm_teorico, "\n") cat("EQM empírico:", eqm_empirico, "\n") # Visualização da distribuição do estimador hist(estimativas, breaks = 30, main = "Distribuição do Estimador", xlab = expression(hat(Theta)[n]), col = "lightblue", freq = FALSE) curve(n*x^(n-1)/theta^n, from = 0, to = theta, add = TRUE, col = "red", lwd = 2) abline(v = theta, col = "blue", lwd = 2, lty = 2) legend("topright", legend = c("Distribuição teórica", "Θ verdadeiro"), col = c("red", "blue"), lwd = 2, lty = c(1, 2)) |
Conclusões
Para o estimador \(\hat{\Theta}_n = \max(X_1, X_2, …, X_n)\) de uma distribuição uniforme U(0, Θ):
- O estimador é viesado: \(B(\hat{\Theta}_n) = -\frac{\Theta}{n+1}\)
- O erro quadrático médio é: \(EQM(\hat{\Theta}_n) = \frac{2\Theta^2}{(n+1)(n+2)}\)
Observa-se que tanto o viés absoluto quanto o EQM diminuem à medida que o tamanho da amostra n aumenta, demonstrando que o estimador é assintoticamente não viesado e consistente.
Referências
1. Casella, G., & Berger, R. L. (2002). Statistical Inference. Duxbury.
2. Rice, J. A. (2007). Mathematical Statistics and Data Analysis. Cengage Learning.
3. Hogg, R. V., McKean, J. W., & Craig, A. T. (2019). Introduction to Mathematical Statistics. Pearson.
