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Média e mediana são duas medidas de tendência central fundamentais em estatística.
Ambas fornecem informações sobre o “centro” de um conjunto de dados, contudo uma é mais sensível a dados extremos (outliers).

O que é Média?

A média aritmética é calculada somando todos os valores de um conjunto
de dados e dividindo pelo número de elementos. É representada pela fórmula:

			    \({\color{Red} \sum_{i=1}^{n} x_i} = x_{1} + x_{2} + .. + x_{n}\)

                \(\bar{x}_{n} =\frac{1}{n} \times {\color{Red} \sum_{i=1}^{n} x_i} = \frac{{\color{Red} \sum_{i=1}^{n} x_i}}{n}\)

                \({\color{Red} S_{n}} = x_{1} + x_{2} + .. + x_{n}\)

				\(\bar{x} = \frac{1}{n} \times {\color{Red} S_{n}} = \frac{{\color{Red} S_{n}}}{n}\)

Onde:

$\bar{x}$ é a média
$x_i$ são os valores individuais
$n$ é o número de elementos no conjunto
$\sum_{i=1}^{n} x_i$ ou $S_{n}$ representa o somatório
$i$ representa um indice ou contador que indica a posição de cada elemento na sequência de dados.

Exemplo com dados reais

Vamos calcular a média dos salários da planilha “media”:

Funcionários	Salários (mil R$)
1	13
2	15
3	20
4	13
5	20
6	13
7	13
8	30
9	16
10	20

Cálculo da média:

Soma = 13 + 15 + 20 + 13 + 20 + 13 + 13 + 30 + 16 + 20 = 173

Número de elementos = 10

Média = 173 ÷ 10 = 17.3 mil R$

Em R, podemos calcular assim:

# Dados da planilha "media"
salarios_media <- c(13, 15, 20, 13, 20, 13, 13, 30, 16, 20)

# Cálculo da média
media <- mean(salarios_media)
print(paste("Média dos salários:", media, "mil R$"))

# Resultado: "Média dos salários: 17.3 mil R$"

# Dados da planilha "media"

salarios_media <- c(13, 15, 20, 13, 20, 13, 13, 30, 16, 20)

# Cálculo da média

media <- mean(salarios_media)

print(paste("Média dos salários:", media, "mil R$"))

# Resultado: "Média dos salários: 17.3 mil R$"

O que é Mediana?

A mediana é o valor que divide um conjunto de dados ordenados em duas partes iguais.
Metade dos valores estão abaixo da mediana e metade estão acima.

Mediana de uma População

Para representar a mediana de uma população, é comum usar:

$\tilde{\mu}$ (mu til) – Por analogia com a média populacional $\mu$
$Med$ – Mantendo a mesma abreviatura, mas aplicada à população
$Md$ – Similar ao caso amostral

Conjunto ÍMPAR de elementos

Para um número ímpar de elementos, a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados.

Exemplo com a planilha “mediana impar” (11 elementos):

Funcionários	Salários (mil R$)
1	13
2	15
3	20
4	13
5	20
6	13
7	13
8	30
9	16
10	20
11	250

Dados ordenados: 13, 13, 13, 13, 15, 16, 20, 20, 20, 30, 250

Mediana = 16 (o 6º elemento, que divide os 11 elementos em duas partes iguais)

# Dados da planilha "mediana impar"
salarios_impar <- c(13, 15, 20, 13, 20, 13, 13, 30, 16, 20, 250)

# Cálculo da mediana
mediana_impar <- median(salarios_impar)
print(paste("Mediana (conjunto ímpar):", mediana_impar, "mil R$"))

# Verificando o processo manualmente
salarios_ordenados <- sort(salarios_impar)
n <- length(salarios_ordenados)
posicao_mediana <- (n + 1) / 2
print(paste("Dados ordenados:", paste(salarios_ordenados, collapse = ", ")))
print(paste("Posição da mediana:", posicao_mediana))
print(paste("Valor na posição", posicao_mediana, ":", salarios_ordenados[posicao_mediana]))

# Resultado: "Mediana (conjunto ímpar): 16 mil R$"

# Dados da planilha "mediana impar"

salarios_impar <- c(13, 15, 20, 13, 20, 13, 13, 30, 16, 20, 250)

# Cálculo da mediana

mediana_impar <- median(salarios_impar)

print(paste("Mediana (conjunto ímpar):", mediana_impar, "mil R$"))

# Verificando o processo manualmente

salarios_ordenados <- sort(salarios_impar)

n <- length(salarios_ordenados)

posicao_mediana <- (n + 1) / 2

print(paste("Dados ordenados:", paste(salarios_ordenados, collapse = ", ")))

print(paste("Posição da mediana:", posicao_mediana))

print(paste("Valor na posição", posicao_mediana, ":", salarios_ordenados[posicao_mediana]))

# Resultado: "Mediana (conjunto ímpar): 16 mil R$"

Conjunto PAR de elementos

Para um número par de elementos, a mediana é a média dos dois valores centrais.

Exemplo com a planilha “mediana par” (10 elementos):

Funcionários	Salários (mil R$)
1	13
2	15
3	20
4	13
5	20
6	13
7	13
8	30
9	16
10	20

Dados ordenados: 13, 13, 13, 13, 15, 16, 20, 20, 20, 30, 250

Mediana = (15 + 16) ÷ 2 = 15.5 (média do 5º e 6º elementos)

# Dados da planilha "mediana par"
salarios_par <- c(13, 15, 20, 13, 20, 13, 13, 30, 16, 20)

# Cálculo da mediana
mediana_par <- median(salarios_par)
print(paste("Mediana (conjunto par):", mediana_par, "mil R$"))

# Verificando o processo manualmente
salarios_ordenados <- sort(salarios_par)
n <- length(salarios_ordenados)
posicao1 <- n / 2
posicao2 <- n / 2 + 1
print(paste("Dados ordenados:", paste(salarios_ordenados, collapse = ", ")))
print(paste("Posições centrais:", posicao1, "e", posicao2))
print(paste("Valores nas posições:", salarios_ordenados[posicao1], "e", salarios_ordenados[posicao2]))
print(paste("Média dos valores:", (salarios_ordenados[posicao1] + salarios_ordenados[posicao2]) / 2))

# Resultado: "Mediana (conjunto par): 15.5 mil R$"

# Dados da planilha "mediana par"

salarios_par <- c(13, 15, 20, 13, 20, 13, 13, 30, 16, 20)

# Cálculo da mediana

mediana_par <- median(salarios_par)

print(paste("Mediana (conjunto par):", mediana_par, "mil R$"))

# Verificando o processo manualmente

salarios_ordenados <- sort(salarios_par)

n <- length(salarios_ordenados)

posicao1 <- n / 2

posicao2 <- n / 2 + 1

print(paste("Dados ordenados:", paste(salarios_ordenados, collapse = ", ")))

print(paste("Posições centrais:", posicao1, "e", posicao2))

print(paste("Valores nas posições:", salarios_ordenados[posicao1], "e", salarios_ordenados[posicao2]))

print(paste("Média dos valores:", (salarios_ordenados[posicao1] + salarios_ordenados[posicao2]) / 2))

# Resultado: "Mediana (conjunto par): 15.5 mil R$"

Comparação entre Média e Mediana

Média

Vantagens:

Considera todos os valores do conjunto
Fácil de calcular e interpretar
Boa para dados com distribuição simétrica

Desvantagens:

Sensível a valores extremos (outliers)
Pode não representar bem o centro em distribuições assimétricas

Mediana

Vantagens:

Robusta a valores extremos (outliers)
Melhor representante do centro em distribuições assimétricas
Fácil de entender como “o valor do meio”

Desvantagens:

Ignora a magnitude dos outros valores
Pode não ser representativa em conjuntos muito pequenos
Mais difícil de usar em análises estatísticas avançadas

Quando usar cada medida?

Use a média quando: Os dados têm distribuição simétrica e não há valores extremos.

Use a mediana quando: Os dados têm distribuição assimétrica ou contêm valores extremos.

No exemplo dos salários, note como a média (17.3) é maior que a mediana (15.5),
indicando uma assimetria à direita causada por salários mais altos que puxam a média para cima.

Conclusão

Média e mediana são ambas medidas de tendência central importantes, mas respondem a perguntas
diferentes sobre os dados. Enquanto a média representa o “centro de gravidade” do conjunto,
a mediana representa o “valor do meio”. A escolha entre elas depende da distribuição dos dados
e da presença de valores extremos.

Em muitos casos, o ideal é reportar ambas as medidas para ter uma visão mais completa
da distribuição dos dados.

As médias populacional e amostral são conceitos fundamentais em estatística que nos ajudam a entender e resumir características de conjuntos de dados. Embora ambas representem medidas de tendência central, possuem aplicações e interpretações distintas.

O que é Média?

A média é uma medida de tendência central que representa o valor “típico” de um conjunto de números. É calculada somando todos os valores e dividindo pelo número de elementos.

Média Populacional

A média populacional (representada por $\mu$) é a média de todos os elementos de uma população.

Fórmula:

$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$

Onde:

$x_i$ = cada valor individual na população
$N$ = número total de elementos na população

Média Amostral

A média amostral (representada por $\bar{x}$) é a média de um subconjunto (amostra) da população.

Fórmula:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

Onde:

$x_i$ = cada valor individual na amostra
$n$ = número total de elementos na amostra

Diferenças Principais

Média Populacional

Calculada usando todos os elementos da população
Representada por $\mu$ (mu)
É um parâmetro fixo (não varia)
Geralmente desconhecida na prática
Não está sujeita a erro amostral

Média Amostral

Calculada usando apenas uma amostra da população
Representada por $\bar{x}$ (x-barra)
É uma estatística que varia entre amostras
Usada para estimar a média populacional
Sujeita a erro amostral

Exemplo Prático

Suponha que queremos saber a altura média dos estudantes de uma universidade com 10.000 alunos.

Média Populacional

Para calcular a média populacional, precisaríamos medir a altura de todos os 10.000 estudantes:

$\mu = \frac{\text{soma de todas as alturas}}{10000}$

Este valor seria exato, mas impraticável de obter.

Média Amostral

Na prática, selecionaríamos uma amostra de 100 estudantes e calcularíamos:

$\bar{x} = \frac{\text{soma das alturas da amostra}}{100}$

Usaríamos então $\bar{x}$ como estimativa de $\mu$.

Aplicações no Mundo Real

Pesquisas Eleitorais

As pesquisas eleitorais usam médias amostrais para estimar a intenção de voto da população total de eleitores.

Controle de Qualidade

Indústrias usam amostras de produtos para calcular médias amostrais e inferir sobre a qualidade de toda a produção.

Quando usar cada uma?

Use a média populacional quando você tiver acesso a todos os elementos da população e recursos para medi-los.

Use a média amostral quando a população for muito grande, os recursos forem limitados, ou quando medições forem destrutivas/caras.

Relação entre Média Amostral e Populacional

Pelo Teorema do Limite Central, a distribuição das médias amostrais aproxima-se de uma distribuição normal à medida que o tamanho da amostra aumenta, independentemente da forma da distribuição populacional. Isso nos permite fazer inferências sobre a média populacional com base na amostral.

Cálculo de Médias em Python

# Cálculo da média populacional
def media_populacional(dados):
    return sum(dados) / len(dados)

# Cálculo da média amostral (é a mesma fórmula, mas o contexto difere)
def media_amostral(amostra):
    return sum(amostra) / len(amostra)

# Exemplo de uso
populacao = [72, 68, 65, 70, 76, 69, 74, 71, 67, 73]  # 10 alturas (população pequena)
amostra = [72, 68, 76, 71]  # Amostra de 4 elementos

mu = media_populacional(populacao)
x_barra = media_amostral(amostra)

print(f"Média populacional (μ): {mu:.2f}")
print(f"Média amostral (x̄): {x_barra:.2f}")
print(f"Diferença: {abs(mu - x_barra):.2f}")

# Cálculo da média populacional

def media_populacional(dados):

return sum(dados) / len(dados)

# Cálculo da média amostral (é a mesma fórmula, mas o contexto difere)

def media_amostral(amostra):

return sum(amostra) / len(amostra)

# Exemplo de uso

populacao = [72, 68, 65, 70, 76, 69, 74, 71, 67, 73] # 10 alturas (população pequena)

amostra = [72, 68, 76, 71] # Amostra de 4 elementos

mu = media_populacional(populacao)

x_barra = media_amostral(amostra)

print(f"Média populacional (μ): {mu:.2f}")

print(f"Média amostral (x̄): {x_barra:.2f}")

print(f"Diferença: {abs(mu - x_barra):.2f}")

Conclusão

A média populacional representa o valor verdadeiro da característica de interesse em toda uma população, enquanto a média amostral é uma estimativa baseada em um subconjunto dessa população. Na prática, quase sempre trabalhamos com médias amostrais devido a restrições de tempo, custo e praticidade. O entendimento da relação entre essas duas medidas é fundamental para a inferência estatística e para a tomada de decisões baseadas em dados.

Referências

Triola, M. F. (2017). Estatística. LTC Editora.
Bussab, W. O., & Morettin, P. A. (2017). Estatística Básica. Saraiva Educação.
Montgomery, D. C., & Runger, G. C. (2018). Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. LTC Editora.

Média e Mediana: Conceitos e Aplicações

O que é Média?

Exemplo com dados reais

O que é Mediana?

Mediana de uma População

Conjunto ÍMPAR de elementos

Conjunto PAR de elementos

Comparação entre Média e Mediana

Média

Mediana

Quando usar cada medida?

Conclusão

Média populacional e média amostral

O que é Média?

Média Populacional

Média Amostral

Diferenças Principais

Média Populacional

Média Amostral

Exemplo Prático

Média Populacional

Média Amostral

Aplicações no Mundo Real

Pesquisas Eleitorais

Controle de Qualidade

Quando usar cada uma?

Relação entre Média Amostral e Populacional

Cálculo de Médias em Python

Conclusão

Referências