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Análise Discriminante: Formulação Matemática dos Classificadores LDA e QDA

19/12/202518/10/2025 Por antonino

Após explorarmos as aplicações práticas da Análise Discriminante, mergulhemos agora nos fundamentos matemáticos que sustentam os classificadores LDA e QDA. Primordialmente, compreender estas formulações nos permitirá aplicar estas técnicas com maior discernimento e interpretar seus resultados de forma mais profunda.

Pressupostos Fundamentais

Conforme mencionamos anteriormente, ambos os métodos assumem que os dados seguem distribuições Gaussianas multivariadas. Analogamente, podemos expressar esta suposição formalmente:

\(P(x | y = k) = \frac{1}{(2\pi)^{d/2} |\Sigma_k|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2} (x – \mu_k)^T \Sigma_k^{-1} (x – \mu_k)\right)\)

Onde para cada classe k:

μ_k é o vetor de médias
Σ_k é a matriz de covariância
d é a dimensionalidade dos dados

Teorema de Bayes e Função Discriminante

A decisão de classificação baseia-se no teorema de Bayes:

\(P(y = k | x) = \frac{P(x | y = k) P(y = k)}{P(x)}\)

Como P(x) é constante para todas as classes, maximizar P(y=k|x) equivale a maximizar o numerador. Portanto, definimos a função discriminante como:

\(\delta_k(x) = \log P(x | y = k) + \log P(y = k)\)

Análise Discriminante Linear (LDA)

Pressuposto de Covariância Comum

O LDA assume que todas as classes compartilham a mesma matriz de covariância:

\(\Sigma_k = \Sigma \quad \text{para todo } k\)

Desenvolvendo a função discriminante com este pressuposto, obtemos:

\(\delta_k(x) = x^T \Sigma^{-1} \mu_k – \frac{1}{2} \mu_k^T \Sigma^{-1} \mu_k + \log \pi_k\)

Onde π_k = P(y=k) é a probabilidade a priori da classe k.

Forma Linear da Fronteira de Decisão

A fronteira entre duas classes i e j é determinada por:

\(\delta_i(x) = \delta_j(x)\)

O que resulta em uma equação linear em x:

\(x^T \Sigma^{-1} (\mu_i – \mu_j) – \frac{1}{2} (\mu_i + \mu_j)^T \Sigma^{-1} (\mu_i – \mu_j) + \log(\pi_i/\pi_j) = 0\)

Análise Discriminante Quadrática (QDA)

Matrizes de Covariância Distintas

O QDA permite que cada classe tenha sua própria matriz de covariância:

\(\Sigma_k \neq \Sigma_j \quad \text{para } k \neq j\)

Desenvolvendo a função discriminante, obtemos:

\(\delta_k(x) = -\frac{1}{2} \log |\Sigma_k| – \frac{1}{2} (x – \mu_k)^T \Sigma_k^{-1} (x – \mu_k) + \log \pi_k\)

Forma Quadrática da Fronteira de Decisão

A fronteira entre classes i e j é dada por:

\(\delta_i(x) = \delta_j(x)\)

O que resulta em uma equação quadrática em x, criando fronteiras de decisão curvas.

Estimativa dos Parâmetros

Estimativas de Máxima Verossimilhança

Os parâmetros são estimados a partir dos dados de treinamento:

Médias das classes: \(\hat{\mu}_k = \frac{1}{N_k} \sum_{i: y_i = k} x_i\)
Probabilidades a priori: \(\hat{\pi}_k = \frac{N_k}{N}\)
Matriz de covariância (LDA): \(\hat{\Sigma} = \frac{1}{N-K} \sum_{k=1}^K \sum_{i: y_i = k} (x_i – \hat{\mu}_k)(x_i – \hat{\mu}_k)^T\)
Matrizes de covariância (QDA): \(\hat{\Sigma}_k = \frac{1}{N_k-1} \sum_{i: y_i = k} (x_i – \hat{\mu}_k)(x_i – \hat{\mu}_k)^T\)

Comparação Matemática Detalhada

Complexidade de Parâmetros

O número de parâmetros a estimar difere significativamente:

LDA: K × d (médias) + d(d+1)/2 (covariância) + K (priors)
QDA: K × d (médias) + K × d(d+1)/2 (covariâncias) + K (priors)

Inegavelmente, o QDA requer substancialmente mais parâmetros, especialmente quando o número de features é grande.

Propriedades Estatísticas

Ambos os métodos possuem propriedades interessantes:

São classificadores Bayes ótimos sob os pressupostos Gaussianos
Produzem estimativas de probabilidade posteriores
Podem ser regularizados para melhor generalização
São consistentes sob condições apropriadas

Exemplo Prático em Python

Para ilustrar estas formulações matemáticas, implementemos um exemplo que demonstra os cálculos fundamentais:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis, QuadraticDiscriminantAnalysis
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score, confusion_matrix
import scipy.stats as stats

'''
Implementação manual dos cálculos LDA e QDA para demonstrar
as formulações matemáticas discutidas
'''

class ManualLDA:
    '''Implementação manual do LDA para fins educacionais'''
    
    def fit(self, X, y):
        """
        Estima os parâmetros do LDA: médias, covariância comum e priors
        """
        self.classes_ = np.unique(y)
        self.n_classes = len(self.classes_)
        self.n_features = X.shape[1]
        
        # Calculando médias por classe
        self.means_ = []
        for k in self.classes_:
            class_mask = (y == k)
            self.means_.append(np.mean(X[class_mask], axis=0))
        self.means_ = np.array(self.means_)
        
        # Calculando probabilidades a priori
        self.priors_ = []
        for k in self.classes_:
            self.priors_.append(np.mean(y == k))
        self.priors_ = np.array(self.priors_)
        
        # Calculando matriz de covariância comum
        self.covariance_ = np.zeros((self.n_features, self.n_features))
        for k, mean in zip(self.classes_, self.means_):
            class_mask = (y == k)
            X_centered = X[class_mask] - mean
            self.covariance_ += X_centered.T @ X_centered
        self.covariance_ /= (len(y) - self.n_classes)
        
        # Pré-calculando a inversa da covariância
        self.covariance_inv_ = np.linalg.pinv(self.covariance_)
        
        return self
    
    def _discriminant_function(self, x, k):
        """
        Calcula a função discriminante para uma observação x e classe k
        δ_k(x) = x^T Σ^{-1} μ_k - 1/2 μ_k^T Σ^{-1} μ_k + log(π_k)
        """
        mean_k = self.means_[k]
        prior_k = self.priors_[k]
        
        linear_term = x @ self.covariance_inv_ @ mean_k
        quadratic_term = 0.5 * mean_k @ self.covariance_inv_ @ mean_k
        prior_term = np.log(prior_k)
        
        return linear_term - quadratic_term + prior_term
    
    def predict_proba(self, X):
        """
        Calcula probabilidades posteriores usando softmax nas funções discriminantes
        """
        n_samples = X.shape[0]
        discriminant_scores = np.zeros((n_samples, self.n_classes))
        
        for k in range(self.n_classes):
            for i in range(n_samples):
                discriminant_scores[i, k] = self._discriminant_function(X[i], k)
        
        # Aplicando softmax para obter probabilidades
        exp_scores = np.exp(discriminant_scores - np.max(discriminant_scores, axis=1, keepdims=True))
        probabilities = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True)
        
        return probabilities
    
    def predict(self, X):
        """
        Prediz classes selecionando a com maior probabilidade posterior
        """
        probabilities = self.predict_proba(X)
        return np.argmax(probabilities, axis=1)

'''
Demonstração comparativa entre implementação manual e scikit-learn
'''
print("=== DEMONSTRAÇÃO DAS FORMULAÇÕES MATEMÁTICAS ===")

# Gerando dados de exemplo
X, y = make_classification(
    n_samples=300, n_features=2, n_informative=2, n_redundant=0,
    n_classes=3, n_clusters_per_class=1, random_state=42
)

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

# Aplicando implementação manual
print("\n1. IMPLEMENTAÇÃO MANUAL DO LDA")
manual_lda = ManualLDA()
manual_lda.fit(X_train, y_train)
y_pred_manual = manual_lda.predict(X_test)
accuracy_manual = accuracy_score(y_test, y_pred_manual)

print(f"Parâmetros estimados:")
print(f"  - Médias das classes: {manual_lda.means_.shape}")
print(f"  - Matriz de covariância: {manual_lda.covariance_.shape}")
print(f"  - Priors: {manual_lda.priors_}")
print(f"  - Acurácia (manual): {accuracy_manual:.3f}")

# Comparando com scikit-learn
print("\n2. COMPARAÇÃO COM SCIKIT-LEARN")
sklearn_lda = LinearDiscriminantAnalysis()
sklearn_lda.fit(X_train, y_train)
y_pred_sklearn = sklearn_lda.predict(X_test)
accuracy_sklearn = accuracy_score(y_test, y_pred_sklearn)

print(f"  - Acurácia (scikit-learn): {accuracy_sklearn:.3f}")
print(f"  - Coincidência nas predições: {np.mean(y_pred_manual == y_pred_sklearn):.3f}")

'''
Análise das funções discriminantes para uma observação específica
'''
print("\n3. ANÁLISE DAS FUNÇÕES DISCRIMINANTES")
sample_idx = 0
x_sample = X_test[sample_idx]
true_class = y_test[sample_idx]

print(f"Observação de teste {sample_idx}:")
print(f"  - Classe verdadeira: {true_class}")

# Calculando scores discriminantes manualmente
for k in range(manual_lda.n_classes):
    score = manual_lda._discriminant_function(x_sample, k)
    print(f"  - Score classe {k}: {score:.3f}")

# Probabilidades calculadas manualmente
proba_manual = manual_lda.predict_proba(X_test[sample_idx:sample_idx+1])[0]
print(f"  - Probabilidades (manual): {proba_manual}")

# Probabilidades do scikit-learn
proba_sklearn = sklearn_lda.predict_proba(X_test[sample_idx:sample_idx+1])[0]
print(f"  - Probabilidades (scikit-learn): {proba_sklearn}")

'''
Visualização das fronteiras de decisão
'''
print("\n4. VISUALIZAÇÃO DAS FRONTEIRAS DE DECISÃO")

# Criando grid para plotar fronteiras
h = 0.02
x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h),
                     np.arange(y_min, y_max, h))

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(15, 6))

# Plot implementação manual
Z_manual = manual_lda.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z_manual = Z_manual.reshape(xx.shape)
contour1 = ax1.contourf(xx, yy, Z_manual, alpha=0.3, cmap=plt.cm.Paired)
scatter1 = ax1.scatter(X_train[:, 0], X_train[:, 1], c=y_train, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')
ax1.set_title('Fronteiras de Decisão - Implementação Manual')
ax1.set_xlabel('Feature 1')
ax1.set_ylabel('Feature 2')

# Plot scikit-learn
Z_sklearn = sklearn_lda.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z_sklearn = Z_sklearn.reshape(xx.shape)
contour2 = ax2.contourf(xx, yy, Z_sklearn, alpha=0.3, cmap=plt.cm.Paired)
scatter2 = ax2.scatter(X_train[:, 0], X_train[:, 1], c=y_train, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')
ax2.set_title('Fronteiras de Decisão - Scikit-learn')
ax2.set_xlabel('Feature 1')
ax2.set_ylabel('Feature 2')

plt.tight_layout()
plt.show()

'''
Demonstração do cálculo da matriz de covariância
'''
print("\n5. CÁLCULO DETALHADO DA MATRIZ DE COVARIÂNCIA")
print("Matriz de covariância comum (LDA):")
print(manual_lda.covariance_)

# Verificando cálculo manual vs numpy
cov_numpy = np.cov(X_train.T, bias=True)
print("\nVerificação com numpy.cov (com bias adjustment):")
print("Diferença máxima:", np.max(np.abs(manual_lda.covariance_ - cov_numpy)))

'''
Implementação simplificada do QDA para comparação
'''
print("\n6. COMPARAÇÃO COM QDA")

sklearn_qda = QuadraticDiscriminantAnalysis()
sklearn_qda.fit(X_train, y_train)
y_pred_qda = sklearn_qda.predict(X_test)
accuracy_qda = accuracy_score(y_test, y_pred_qda)

print(f"  - Acurácia QDA: {accuracy_qda:.3f}")
print(f"  - Acurácia LDA: {accuracy_sklearn:.3f}")

# Analisando diferenças nas predições
diff_lda_qda = np.mean(y_pred_sklearn != y_pred_qda)
print(f"  - Diferença nas predições LDA vs QDA: {diff_lda_qda:.3f}")

'''
Interpretação dos resultados matemáticos
'''
print("\n7. INTERPRETAÇÃO MATEMÁTICA")
print("Os resultados demonstram que:")
print("  - As formulações matemáticas produzem classificadores consistentes")
print("  - A implementação manual coincide com o scikit-learn")
print("  - As funções discriminantes capturam a informação de classe")
print("  - As fronteiras de decisão refletem a estrutura linear do LDA")

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import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis, QuadraticDiscriminantAnalysis

from sklearn.datasets import make_classification

from sklearn.model_selection import train_test_split

from sklearn.metrics import accuracy_score, confusion_matrix

import scipy.stats as stats

'''

Implementação manual dos cálculos LDA e QDA para demonstrar

as formulações matemáticas discutidas

'''

class ManualLDA:

'''Implementação manual do LDA para fins educacionais'''

def fit(self, X, y):

"""

Estima os parâmetros do LDA: médias, covariância comum e priors

"""

self.classes_ = np.unique(y)

self.n_classes = len(self.classes_)

self.n_features = X.shape[1]

# Calculando médias por classe

self.means_ = []

for k in self.classes_:

class_mask = (y == k)

self.means_.append(np.mean(X[class_mask], axis=0))

self.means_ = np.array(self.means_)

# Calculando probabilidades a priori

self.priors_ = []

for k in self.classes_:

self.priors_.append(np.mean(y == k))

self.priors_ = np.array(self.priors_)

# Calculando matriz de covariância comum

self.covariance_ = np.zeros((self.n_features, self.n_features))

for k, mean in zip(self.classes_, self.means_):

class_mask = (y == k)

X_centered = X[class_mask] - mean

self.covariance_ += X_centered.T @ X_centered

self.covariance_ /= (len(y) - self.n_classes)

# Pré-calculando a inversa da covariância

self.covariance_inv_ = np.linalg.pinv(self.covariance_)

return self

def _discriminant_function(self, x, k):

"""

Calcula a função discriminante para uma observação x e classe k

δ_k(x) = x^T Σ^{-1} μ_k - 1/2 μ_k^T Σ^{-1} μ_k + log(π_k)

"""

mean_k = self.means_[k]

prior_k = self.priors_[k]

linear_term = x @ self.covariance_inv_ @ mean_k

quadratic_term = 0.5 * mean_k @ self.covariance_inv_ @ mean_k

prior_term = np.log(prior_k)

return linear_term - quadratic_term + prior_term

def predict_proba(self, X):

"""

Calcula probabilidades posteriores usando softmax nas funções discriminantes

"""

n_samples = X.shape[0]

discriminant_scores = np.zeros((n_samples, self.n_classes))

for k in range(self.n_classes):

for i in range(n_samples):

discriminant_scores[i, k] = self._discriminant_function(X[i], k)

# Aplicando softmax para obter probabilidades

exp_scores = np.exp(discriminant_scores - np.max(discriminant_scores, axis=1, keepdims=True))

probabilities = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True)

return probabilities

def predict(self, X):

"""

Prediz classes selecionando a com maior probabilidade posterior

"""

probabilities = self.predict_proba(X)

return np.argmax(probabilities, axis=1)

'''

Demonstração comparativa entre implementação manual e scikit-learn

'''

print("=== DEMONSTRAÇÃO DAS FORMULAÇÕES MATEMÁTICAS ===")

# Gerando dados de exemplo

X, y = make_classification(

n_samples=300, n_features=2, n_informative=2, n_redundant=0,

n_classes=3, n_clusters_per_class=1, random_state=42

)

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

# Aplicando implementação manual

print("\n1. IMPLEMENTAÇÃO MANUAL DO LDA")

manual_lda = ManualLDA()

manual_lda.fit(X_train, y_train)

y_pred_manual = manual_lda.predict(X_test)

accuracy_manual = accuracy_score(y_test, y_pred_manual)

print(f"Parâmetros estimados:")

print(f" - Médias das classes: {manual_lda.means_.shape}")

print(f" - Matriz de covariância: {manual_lda.covariance_.shape}")

print(f" - Priors: {manual_lda.priors_}")

print(f" - Acurácia (manual): {accuracy_manual:.3f}")

# Comparando com scikit-learn

print("\n2. COMPARAÇÃO COM SCIKIT-LEARN")

sklearn_lda = LinearDiscriminantAnalysis()

sklearn_lda.fit(X_train, y_train)

y_pred_sklearn = sklearn_lda.predict(X_test)

accuracy_sklearn = accuracy_score(y_test, y_pred_sklearn)

print(f" - Acurácia (scikit-learn): {accuracy_sklearn:.3f}")

print(f" - Coincidência nas predições: {np.mean(y_pred_manual == y_pred_sklearn):.3f}")

'''

Análise das funções discriminantes para uma observação específica

'''

print("\n3. ANÁLISE DAS FUNÇÕES DISCRIMINANTES")

sample_idx = 0

x_sample = X_test[sample_idx]

true_class = y_test[sample_idx]

print(f"Observação de teste {sample_idx}:")

print(f" - Classe verdadeira: {true_class}")

# Calculando scores discriminantes manualmente

for k in range(manual_lda.n_classes):

score = manual_lda._discriminant_function(x_sample, k)

print(f" - Score classe {k}: {score:.3f}")

# Probabilidades calculadas manualmente

proba_manual = manual_lda.predict_proba(X_test[sample_idx:sample_idx+1])[0]

print(f" - Probabilidades (manual): {proba_manual}")

# Probabilidades do scikit-learn

proba_sklearn = sklearn_lda.predict_proba(X_test[sample_idx:sample_idx+1])[0]

print(f" - Probabilidades (scikit-learn): {proba_sklearn}")

'''

Visualização das fronteiras de decisão

'''

print("\n4. VISUALIZAÇÃO DAS FRONTEIRAS DE DECISÃO")

# Criando grid para plotar fronteiras

h = 0.02

x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1

y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1

xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h),

np.arange(y_min, y_max, h))

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(15, 6))

# Plot implementação manual

Z_manual = manual_lda.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])

Z_manual = Z_manual.reshape(xx.shape)

contour1 = ax1.contourf(xx, yy, Z_manual, alpha=0.3, cmap=plt.cm.Paired)

scatter1 = ax1.scatter(X_train[:, 0], X_train[:, 1], c=y_train, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')

ax1.set_title('Fronteiras de Decisão - Implementação Manual')

ax1.set_xlabel('Feature 1')

ax1.set_ylabel('Feature 2')

# Plot scikit-learn

Z_sklearn = sklearn_lda.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])

Z_sklearn = Z_sklearn.reshape(xx.shape)

contour2 = ax2.contourf(xx, yy, Z_sklearn, alpha=0.3, cmap=plt.cm.Paired)

scatter2 = ax2.scatter(X_train[:, 0], X_train[:, 1], c=y_train, cmap=plt.cm.Paired, edgecolors='k')

ax2.set_title('Fronteiras de Decisão - Scikit-learn')

ax2.set_xlabel('Feature 1')

ax2.set_ylabel('Feature 2')

plt.tight_layout()

plt.show()

'''

Demonstração do cálculo da matriz de covariância

'''

print("\n5. CÁLCULO DETALHADO DA MATRIZ DE COVARIÂNCIA")

print("Matriz de covariância comum (LDA):")

print(manual_lda.covariance_)

# Verificando cálculo manual vs numpy

cov_numpy = np.cov(X_train.T, bias=True)

print("\nVerificação com numpy.cov (com bias adjustment):")

print("Diferença máxima:", np.max(np.abs(manual_lda.covariance_ - cov_numpy)))

'''

Implementação simplificada do QDA para comparação

'''

print("\n6. COMPARAÇÃO COM QDA")

sklearn_qda = QuadraticDiscriminantAnalysis()

sklearn_qda.fit(X_train, y_train)

y_pred_qda = sklearn_qda.predict(X_test)

accuracy_qda = accuracy_score(y_test, y_pred_qda)

print(f" - Acurácia QDA: {accuracy_qda:.3f}")

print(f" - Acurácia LDA: {accuracy_sklearn:.3f}")

# Analisando diferenças nas predições

diff_lda_qda = np.mean(y_pred_sklearn != y_pred_qda)

print(f" - Diferença nas predições LDA vs QDA: {diff_lda_qda:.3f}")

'''

Interpretação dos resultados matemáticos

'''

print("\n7. INTERPRETAÇÃO MATEMÁTICA")

print("Os resultados demonstram que:")

print(" - As formulações matemáticas produzem classificadores consistentes")

print(" - A implementação manual coincide com o scikit-learn")

print(" - As funções discriminantes capturam a informação de classe")

print(" - As fronteiras de decisão refletem a estrutura linear do LDA")

Interpretação dos Resultados Matemáticos

Analisando a implementação e os resultados, podemos observar que:

As funções discriminantes realmente capturam a informação de separação entre classes
A matriz de covariância comum no LDA produz fronteiras lineares
As probabilidades posteriores são calculadas corretamente via softmax
A implementação manual coincide com a do scikit-learn, validando as formulações

Implicações Práticas das Formulações

Vantagens do LDA

Menos parâmetros para estimar → mais robusto com dados limitados
Computacionalmente mais eficiente
Fronteiras de decisão lineares são mais interpretáveis

Vantagens do QDA

Mais flexibilidade para capturar relações complexas
Melhor performance quando as covariâncias são realmente diferentes
Fronteiras de decisão curvas podem se ajustar melhor aos dados

Considerações Finais

As formulações matemáticas do LDA e QDA revelam por que estas técnicas são tão eficazes sob os pressupostos Gaussianos. Embora baseadas em conceitos estatísticos clássicos, continuam sendo ferramentas valiosas no machine learning moderno.

Portanto, compreender estas fundamentações não apenas nos permite aplicar os métodos corretamente, mas também nos capacita a interpretar seus resultados, diagnosticar problemas e fazer escolhas informadas entre diferentes abordagens de classificação.

Análise Discriminante: Linear e Quadrática

19/12/202518/10/2025 Por antonino

Continuando nossa jornada pelo guia do scikit-learn, chegamos a uma família de classificadores probabilísticos fundamentais: a Análise Discriminante Linear (LDA) e Quadrática (QDA). Primordialmente, estas técnicas representam abordagens elegantes para classificação que combinam princípios estatísticos com eficiência computacional.

Fundamentos Teóricos

Conforme observamos anteriormente com modelos lineares, frequentemente buscamos métodos que ofereçam bom desempenho com interpretabilidade. Analogamente, LDA e QDA surgem como alternativas baseadas em pressupostos sobre a distribuição dos dados.

Pressupostos Básicos

Ambos os métodos assumem que:

Os dados seguem uma distribuição normal
As features são contínuas
As classes têm distribuições Gaussianas multivariadas

A diferença fundamental reside na suposição sobre as matrizes de covariância:

LDA: Matriz de covariância comum para todas as classes
QDA: Matriz de covariância distinta para cada classe

Análise Discriminante Linear (LDA)

Base Matemática

O LDA assume que todas as classes compartilham a mesma matriz de covariância Σ. A função discriminante para a classe k é dada por:

\(\delta_k(x) = x^T \Sigma^{-1} \mu_k – \frac{1}{2} \mu_k^T \Sigma^{-1} \mu_k + \log \pi_k\)

Onde:

μ_k é a média da classe k
Σ é a matriz de covariância comum
π_k é a probabilidade a priori da classe k

Características do LDA

Produz fronteiras de decisão lineares
Menos parâmetros para estimar
Mais robusto com poucos dados
Computacionalmente eficiente

Análise Discriminante Quadrática (QDA)

Base Matemática

O QDA permite que cada classe tenha sua própria matriz de covariância Σ_k. A função discriminante torna-se:

\(\delta_k(x) = -\frac{1}{2} \log |\Sigma_k| – \frac{1}{2} (x – \mu_k)^T \Sigma_k^{-1} (x – \mu_k) + \log \pi_k\)

Características do QDA

Produz fronteiras de decisão quadráticas
Mais flexível que o LDA
Requer mais dados para estimação confiável
Pode capturar relações mais complexas entre features

Comparação entre LDA e QDA

A escolha entre LDA e QDA depende de vários fatores:

Tamanho do conjunto de dados
Número de features
Similaridade das matrizes de covariância entre classes
Complexidade das fronteiras de decisão necessárias

Inegavelmente, o LDA é preferível quando temos dados limitados, enquanto o QDA pode oferecer melhor performance quando as matrizes de covariância são realmente diferentes e temos dados suficientes para estimá-las adequadamente.

Implementação no scikit-learn

No scikit-learn, ambas as técnicas são implementadas através das classes:

LinearDiscriminantAnalysis
QuadraticDiscriminantAnalysis

Estas classes oferecem funcionalidades adicionais como redução de dimensionalidade (no caso do LDA) e suporte a diferentes métodos de estimação de parâmetros.

Exemplo Prático em Python

Para ilustrar as diferenças entre LDA e QDA, vejamos um exemplo comparativo:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis, QuadraticDiscriminantAnalysis
from sklearn.datasets import make_classification, make_blobs
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

'''
Exemplo comparativo entre LDA e QDA em diferentes cenários
de dados para ilustrar suas características distintas
'''

# Cenário 1: Dados com matrizes de covariância similares
print("=== CENÁRIO 1: Matrizes de Covariância Similares ===")
X1, y1 = make_classification(
    n_samples=300, n_features=2, n_informative=2, n_redundant=0,
    n_clusters_per_class=1, class_sep=2.0, random_state=42
)

# Cenário 2: Dados com matrizes de covariância diferentes
print("=== CENÁRIO 2: Matrizes de Covariância Diferentes ===")
X2, y2 = make_blobs(
    n_samples=300, centers=2, cluster_std=[1.0, 2.5], 
    random_state=42, n_features=2
)

# Transformando para criar covariâncias diferentes
transformation = [[0.6, -0.6], [-0.4, 0.8]]
X2 = np.dot(X2, transformation)

cenarios = [
    ('Covariância Similar', X1, y1),
    ('Covariância Diferente', X2, y2)
]

'''
Configurando os modelos e avaliando em cada cenário
'''
models = {
    'LDA': LinearDiscriminantAnalysis(),
    'QDA': QuadraticDiscriminantAnalysis()
}

plt.figure(figsize=(15, 10))

for cenario_idx, (cenario_nome, X, y) in enumerate(cenarios, 1):
    
    # Dividindo os dados
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
        X, y, test_size=0.3, random_state=42
    )
    
    # Padronizando os dados
    scaler = StandardScaler()
    X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)
    X_test_scaled = scaler.transform(X_test)
    
    # Criando mesh para plotar fronteiras de decisão
    h = 0.02
    x_min, x_max = X_train_scaled[:, 0].min() - 1, X_train_scaled[:, 0].max() + 1
    y_min, y_max = X_train_scaled[:, 1].min() - 1, X_train_scaled[:, 1].max() + 1
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h),
                         np.arange(y_min, y_max, h))
    
    for model_idx, (model_name, model) in enumerate(models.items(), 1):
        plt.subplot(2, 2, (cenario_idx - 1) * 2 + model_idx)
        
        # Treinando o modelo
        model.fit(X_train_scaled, y_train)
        
        # Fazendo previsões
        y_pred = model.predict(X_test_scaled)
        accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
        
        # Plotando fronteira de decisão
        Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
        Z = Z.reshape(xx.shape)
        plt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.3, cmap=plt.cm.Paired)
        
        # Plotando dados de treino - CORREÇÃO: removendo parâmetro cmap do scatter
        colors = ['red', 'blue', 'green']
        for class_idx, class_label in enumerate(np.unique(y_train)):
            class_mask = y_train == class_label
            plt.scatter(X_train_scaled[class_mask, 0], X_train_scaled[class_mask, 1],
                       alpha=0.8, label=f'Classe {class_label}', 
                       color=colors[class_idx % len(colors)])
        
        plt.title(f'{cenario_nome}\n{model_name} - Acurácia: {accuracy:.3f}')
        plt.xlabel('Feature 1 (padronizada)')
        plt.ylabel('Feature 2 (padronizada)')
        plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

'''
Análise detalhada dos parâmetros dos modelos - VERSÃO CORRIGIDA
'''
print("\n=== ANÁLISE DOS PARÂMETROS ===")

for (cenario_nome, X, y) in cenarios:
    print(f"\n{cenario_nome}:")
    
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
        X, y, test_size=0.3, random_state=42
    )
    
    scaler = StandardScaler()
    X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)
    
    for model_name, model in models.items():
        model.fit(X_train_scaled, y_train)
        
        if model_name == 'LDA':
            # LDA - usando atributos corretos disponíveis
            print(f"  {model_name}:")
            print(f"    Forma do scaling: {model.scalings_.shape}")
            print(f"    Número de coeficientes: {len(model.coef_.flatten())}")
            print(f"    Número de classes: {len(model.classes_)}")
            print(f"    Médias por classe: {[f'Classe {i}: {mean}' for i, mean in enumerate(model.means_)]}")
        else:
            # QDA - usando atributos corretos disponíveis
            print(f"  {model_name}:")
            print(f"    Número de classes: {len(model.classes_)}")
            print(f"    Médias por classe: {[f'Classe {i}: {mean}' for i, mean in enumerate(model.means_)]}")
            # Para QDA, as covariâncias são armazenadas de forma diferente
            if hasattr(model, 'covariance_'):
                for i, covariance in enumerate(model.covariance_):
                    print(f"    Classe {i}: forma da matriz {covariance.shape}")
            else:
                print("    Info: Matrizes de covariância disponíveis internamente para cálculo")

'''
Exemplo com dados reais: Iris dataset - VERSÃO CORRIGIDA
'''
from sklearn.datasets import load_iris

print("\n=== EXEMPLO COM DATASET IRIS ===")
iris = load_iris()
X_iris, y_iris = iris.data, iris.target

# Usando apenas duas features para visualização
X_iris_2d = X_iris[:, :2]

X_train_iris, X_test_iris, y_train_iris, y_test_iris = train_test_split(
    X_iris_2d, y_iris, test_size=0.3, random_state=42
)

scaler_iris = StandardScaler()
X_train_iris_scaled = scaler_iris.fit_transform(X_train_iris)
X_test_iris_scaled = scaler_iris.transform(X_test_iris)

for model_name, model in models.items():
    model.fit(X_train_iris_scaled, y_train_iris)
    y_pred_iris = model.predict(X_test_iris_scaled)
    accuracy_iris = accuracy_score(y_test_iris, y_pred_iris)
    
    print(f"{model_name} no dataset Iris: Acurácia = {accuracy_iris:.3f}")
    
    # Informações adicionais específicas de cada modelo - CORRIGIDO
    if model_name == 'LDA':
        print(f"  Número de componentes: {model.n_components}")
        if hasattr(model, 'explained_variance_ratio_'):
            print(f"  Variância explicada: {model.explained_variance_ratio_}")
    else:
        print(f"  Número de classes: {len(model.classes_)}")
        print(f"  Prior probabilities: {model.priors_}")

'''
Demonstração adicional: acesso seguro aos atributos
'''
print("\n=== ATRIBUTOS DISPONÍVEIS POR MODELO ===")

for model_name, model in models.items():
    print(f"\n{model_name} - Atributos disponíveis:")
    atributos = [attr for attr in dir(model) if not attr.startswith('_')]
    # Mostrando apenas os principais atributos
    principais = [attr for attr in atributos if not attr.startswith('_') and 
                 any(keyword in attr for keyword in ['coef', 'mean', 'class', 'score', 'predict'])]
    for attr in principais[:10]:  # Mostrando apenas os 10 primeiros
        print(f"  - {attr}")

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import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis, QuadraticDiscriminantAnalysis

from sklearn.datasets import make_classification, make_blobs

from sklearn.model_selection import train_test_split

from sklearn.metrics import accuracy_score

from sklearn.preprocessing import StandardScaler

'''

Exemplo comparativo entre LDA e QDA em diferentes cenários

de dados para ilustrar suas características distintas

'''

# Cenário 1: Dados com matrizes de covariância similares

print("=== CENÁRIO 1: Matrizes de Covariância Similares ===")

X1, y1 = make_classification(

n_samples=300, n_features=2, n_informative=2, n_redundant=0,

n_clusters_per_class=1, class_sep=2.0, random_state=42

)

# Cenário 2: Dados com matrizes de covariância diferentes

print("=== CENÁRIO 2: Matrizes de Covariância Diferentes ===")

X2, y2 = make_blobs(

n_samples=300, centers=2, cluster_std=[1.0, 2.5],

random_state=42, n_features=2

)

# Transformando para criar covariâncias diferentes

transformation = [[0.6, -0.6], [-0.4, 0.8]]

X2 = np.dot(X2, transformation)

cenarios = [

('Covariância Similar', X1, y1),

('Covariância Diferente', X2, y2)

]

'''

Configurando os modelos e avaliando em cada cenário

'''

models = {

'LDA': LinearDiscriminantAnalysis(),

'QDA': QuadraticDiscriminantAnalysis()

}

plt.figure(figsize=(15, 10))

for cenario_idx, (cenario_nome, X, y) in enumerate(cenarios, 1):

# Dividindo os dados

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(

X, y, test_size=0.3, random_state=42

)

# Padronizando os dados

scaler = StandardScaler()

X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)

X_test_scaled = scaler.transform(X_test)

# Criando mesh para plotar fronteiras de decisão

h = 0.02

x_min, x_max = X_train_scaled[:, 0].min() - 1, X_train_scaled[:, 0].max() + 1

y_min, y_max = X_train_scaled[:, 1].min() - 1, X_train_scaled[:, 1].max() + 1

xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h),

np.arange(y_min, y_max, h))

for model_idx, (model_name, model) in enumerate(models.items(), 1):

plt.subplot(2, 2, (cenario_idx - 1) * 2 + model_idx)

# Treinando o modelo

model.fit(X_train_scaled, y_train)

# Fazendo previsões

y_pred = model.predict(X_test_scaled)

accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)

# Plotando fronteira de decisão

Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])

Z = Z.reshape(xx.shape)

plt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.3, cmap=plt.cm.Paired)

# Plotando dados de treino - CORREÇÃO: removendo parâmetro cmap do scatter

colors = ['red', 'blue', 'green']

for class_idx, class_label in enumerate(np.unique(y_train)):

class_mask = y_train == class_label

plt.scatter(X_train_scaled[class_mask, 0], X_train_scaled[class_mask, 1],

alpha=0.8, label=f'Classe {class_label}',

color=colors[class_idx % len(colors)])

plt.title(f'{cenario_nome}\n{model_name} - Acurácia: {accuracy:.3f}')

plt.xlabel('Feature 1 (padronizada)')

plt.ylabel('Feature 2 (padronizada)')

plt.legend()

plt.tight_layout()

plt.show()

'''

Análise detalhada dos parâmetros dos modelos - VERSÃO CORRIGIDA

'''

print("\n=== ANÁLISE DOS PARÂMETROS ===")

for (cenario_nome, X, y) in cenarios:

print(f"\n{cenario_nome}:")

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(

X, y, test_size=0.3, random_state=42

)

scaler = StandardScaler()

X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)

for model_name, model in models.items():

model.fit(X_train_scaled, y_train)

if model_name == 'LDA':

# LDA - usando atributos corretos disponíveis

print(f" {model_name}:")

print(f" Forma do scaling: {model.scalings_.shape}")

print(f" Número de coeficientes: {len(model.coef_.flatten())}")

print(f" Número de classes: {len(model.classes_)}")

print(f" Médias por classe: {[f'Classe {i}: {mean}' for i, mean in enumerate(model.means_)]}")

else:

# QDA - usando atributos corretos disponíveis

print(f" {model_name}:")

print(f" Número de classes: {len(model.classes_)}")

print(f" Médias por classe: {[f'Classe {i}: {mean}' for i, mean in enumerate(model.means_)]}")

# Para QDA, as covariâncias são armazenadas de forma diferente

if hasattr(model, 'covariance_'):

for i, covariance in enumerate(model.covariance_):

print(f" Classe {i}: forma da matriz {covariance.shape}")

else:

print(" Info: Matrizes de covariância disponíveis internamente para cálculo")

'''

Exemplo com dados reais: Iris dataset - VERSÃO CORRIGIDA

'''

from sklearn.datasets import load_iris

print("\n=== EXEMPLO COM DATASET IRIS ===")

iris = load_iris()

X_iris, y_iris = iris.data, iris.target

# Usando apenas duas features para visualização

X_iris_2d = X_iris[:, :2]

X_train_iris, X_test_iris, y_train_iris, y_test_iris = train_test_split(

X_iris_2d, y_iris, test_size=0.3, random_state=42

)

scaler_iris = StandardScaler()

X_train_iris_scaled = scaler_iris.fit_transform(X_train_iris)

X_test_iris_scaled = scaler_iris.transform(X_test_iris)

for model_name, model in models.items():

model.fit(X_train_iris_scaled, y_train_iris)

y_pred_iris = model.predict(X_test_iris_scaled)

accuracy_iris = accuracy_score(y_test_iris, y_pred_iris)

print(f"{model_name} no dataset Iris: Acurácia = {accuracy_iris:.3f}")

# Informações adicionais específicas de cada modelo - CORRIGIDO

if model_name == 'LDA':

print(f" Número de componentes: {model.n_components}")

if hasattr(model, 'explained_variance_ratio_'):

print(f" Variância explicada: {model.explained_variance_ratio_}")

else:

print(f" Número de classes: {len(model.classes_)}")

print(f" Prior probabilities: {model.priors_}")

'''

Demonstração adicional: acesso seguro aos atributos

'''

print("\n=== ATRIBUTOS DISPONÍVEIS POR MODELO ===")

for model_name, model in models.items():

print(f"\n{model_name} - Atributos disponíveis:")

atributos = [attr for attr in dir(model) if not attr.startswith('_')]

# Mostrando apenas os principais atributos

principais = [attr for attr in atributos if not attr.startswith('_') and

any(keyword in attr for keyword in ['coef', 'mean', 'class', 'score', 'predict'])]

for attr in principais[:10]: # Mostrando apenas os 10 primeiros

print(f" - {attr}")

Interpretação dos Resultados

Analisando o exemplo, podemos observar que:

No cenário com matrizes de covariância similares, LDA e QDA performam similarmente
No cenário com matrizes de covariância diferentes, QDA geralmente supera LDA
As fronteiras de decisão do LDA são sempre lineares, enquanto as do QDA são quadráticas
O LDA estima menos parâmetros, tornando-o mais eficiente com dados limitados

Considerações Práticas

Ao aplicar LDA ou QDA em problemas reais, é importante considerar:

Verificar os pressupostos de normalidade quando possível
Considerar o tamanho do dataset para escolha entre LDA e QDA
Utilizar validação cruzada para avaliação robusta do desempenho
Explorar a redução de dimensionalidade oferecida pelo LDA

Vantagens e Limitações

Embora poderosos, ambos os métodos têm suas particularidades:

LDA: Mais robusto mas menos flexível
QDA: Mais flexível mas requer mais dados
Ambos: Sensíveis a violações dos pressupostos de normalidade
Excelente desempenho quando os pressupostos são atendidos

Portanto, a escolha entre LDA e QDA deve considerar as características específicas dos dados e os objetivos do projeto. Inclusive, em muitos casos práticos, testar ambas as abordagens com validação adequada pode revelar qual método é mais apropriado para o problema em questão.