Arquivo de probabilidade - Área de Trampo

Este documento apresenta a resolução de um problema envolvendo três variáveis aleatórias independentes: X com distribuição Normal e Y, Z com distribuição Uniforme. O objetivo é encontrar os parâmetros μ e σ da distribuição Normal com base nas expectativas fornecidas.

Definição do Problema

Sejam X, Y e Z três variáveis aleatórias independentes com:

\(X \sim N(\mu, \sigma^{2})\)
\(Y, Z \sim \text{Uniforme}(0, 2)\)

Temos também que:

\(E[X^{2}Y + XYZ] = 13\)
\(E[XY^{2} + ZX^{2}] = 14\)

Resolução Matemática

Passo 1: Aproveitando a Independência e Linearidade da Expectância

Como as variáveis são independentes, a expectância do produto é o produto das expectâncias. Vamos expandir as duas equações dadas.

Primeira Equação:

\(E[X^{2}Y + XYZ] = \)
\(E[X^{2}Y] + E[XYZ] = \)
\(E[X^2]E[Y] + E[X]E[Y]E[Z] = 13\)

Segunda Equação:

\(E[XY^{2} + ZX^{2}] = \)
\(E[XY^2] + E[ZX^2] = \)
\(E[X]E[Y^2] + E[Z]E[X^2] = 14\)

Passo 2: Cálculo dos Momentos das Distribuições

Precisamos calcular os valores de \(E[Y], E[Z], E[Y^2]\) e \(E[Z^2]\) para a distribuição Uniforme(0,2).

Para \(Y \sim \text{Uniforme}(a, b)\), temos:

\(E[Y] = \frac{a + b}{2} = \)
\(\frac{0 + 2}{2} = 1\)
\(E[Y^2] = \frac{(b – a)^2}{12} + (E[Y])^2 = \)
\(\frac{(2-0)^2}{12} + 1^2 = \)
\(\frac{4}{12} + 1 = \)
\(\frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3} \)

Por simetria, os resultados são os mesmos para Z:

\(E[Z] = 1\)
\(E[Z^2] = \frac{4}{3}\)

Passo 3: Momentos da Distribuição Normal

Para \(X \sim N(\mu, \sigma^{2})\), temos:

\(E[X] = \mu\) \(E[X^2] = \text{Var}(X) + (E[X])^2 = \sigma^2 + \mu^2\)

Passo 4: Substituir nas Equações Originais

Substituindo os momentos conhecidos nas duas equações:

Equação 1:

\(E[X^2]E[Y] + E[X]E[Y]E[Z] = 13\) \((\sigma^2 + \mu^2) \cdot 1 + \mu \cdot 1 \cdot 1 = 13\) \(\sigma^2 + \mu^2 + \mu = 13 \quad (1)\)

Equação 2:

\(E[X]E[Y^2] + E[Z]E[X^2] = 14\) \(\mu \cdot \frac{4}{3} + 1 \cdot (\sigma^2 + \mu^2) = 14\) \(\frac{4}{3}\mu + \sigma^2 + \mu^2 = 14 \quad (2)\)

Passo 5: Resolver o Sistema de Equações

Temos o seguinte sistema:

\(\begin{cases}
\sigma^2 + \mu^2 + \mu = 13 \\
\sigma^2 + \mu^2 + \frac{4}{3}\mu = 14
\end{cases}\)

Subtraindo a primeira equação (1) da segunda (2):

\((\sigma^2 + \mu^2 + \frac{4}{3}\mu) – (\sigma^2 + \mu^2 + \mu) = 14 – 13\) \(\frac{4}{3}\mu – \mu = 1\) \(\frac{1}{3}\mu = 1\) \(\mu = 3\)

Substituindo \(\mu = 3\) na equação (1):

\(\sigma^2 + (3)^2 + (3) = 13\) \(\sigma^2 + 9 + 3 = 13\) \(\sigma^2 + 12 = 13\) \(\sigma^2 = 1\) \(\sqrt{\sigma ^{2}} = \sigma = 1\)

Solução

Os parâmetros da distribuição Normal são:

\(\mu = 3\) \(\sigma = 1\)

Portanto, \(X \sim N(3, 1)\).

Simulação em R

# Parâmetros
mu <- 3
sigma2 <- 1
n <- 1000000 # Número de amostras

# Gerar amostras
set.seed(123) # Para reproducibilidade
X <- rnorm(n, mean = mu, sd = sqrt(sigma2))
Y <- runif(n, min = 0, max = 2)
Z <- runif(n, min = 0, max = 2)

# Calcular as expressões
expressao1 <- X^2 * Y + X * Y * Z
expressao2 <- X * Y^2 + Z * X^2

# Calcular as expectâncias (médias)
E1 <- mean(expressao1)
E2 <- mean(expressao2)

# Imprimir resultados
print(paste("E[X²Y + XYZ] =", round(E1, 4)))
print(paste("Valor teórico: 13"))
print(paste("E[XY² + ZX²] =", round(E2, 4)))
print(paste("Valor teórico: 14"))

# Parâmetros

mu <- 3

sigma2 <- 1

n <- 1000000 # Número de amostras

# Gerar amostras

set.seed(123) # Para reproducibilidade

X <- rnorm(n, mean = mu, sd = sqrt(sigma2))

Y <- runif(n, min = 0, max = 2)

Z <- runif(n, min = 0, max = 2)

# Calcular as expressões

expressao1 <- X^2 * Y + X * Y * Z

expressao2 <- X * Y^2 + Z * X^2

# Calcular as expectâncias (médias)

E1 <- mean(expressao1)

E2 <- mean(expressao2)

# Imprimir resultados

print(paste("E[X²Y + XYZ] =", round(E1, 4)))

print(paste("Valor teórico: 13"))

print(paste("E[XY² + ZX²] =", round(E2, 4)))

print(paste("Valor teórico: 14"))

Nota: A simulação utiliza um grande número de amostras (n=1.000.000) para se aproximar dos valores teóricos das expectâncias. Os resultados devem ser próximos de 13 e 14, validando que \(\mu=3\) e \(\sigma=1\) é a solução correta.

Análise da probabilidade de que todos os circuitos em uma amostra tenham uma duração maior que 5 anos, considerando uma distribuição exponencial com parâmetro β.

Fundamentação Teórica

Para uma variável aleatória exponencial X com parâmetro β, a probabilidade de X ser maior que um valor t é dada por:

\(P(X > t) = e^{-t/\beta}\)

Esta propriedade deriva da função de distribuição acumulada da exponencial:

\(F_X(t) = P(X \leq t) = 1 – e^{-t/\beta}\)

Portanto:

\(P(X > t) = 1 – F_X(t) = 1 – (1 – e^{-t/\beta}) = e^{-t/\beta}\)

Probabilidade para Múltiplos Circuitos Independentes

Para n circuitos independentes com a mesma distribuição exponencial, a probabilidade de todos durarem mais de 5 anos é:

\(P(X_1 > 5, X_2 > 5, \ldots, X_n > 5) = P(X_1 > 5) \cdot P(X_2 > 5) \cdots P(X_n > 5)\)

Como todos têm a mesma distribuição:

\(P(X_1 > 5, X_2 > 5, \ldots, X_n > 5) = [P(X > 5)]^n\)

Substituindo pela fórmula exponencial:

\(P(X_1 > 5, X_2 > 5, \ldots, X_n > 5) = \left(e^{-5/\beta}\right)^n = e^{-5n/\beta}\)

Esta simplificação só é possível porque os circuitos são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.).

Exemplos Práticos com Cálculos em R

Função para Calcular a Probabilidade

Vamos criar uma função em R para calcular esta probabilidade:

# Função para calcular a probabilidade de todos os circuitos durarem mais de t anos
prob_todos_mais_que <- function(n, beta, t = 5) {
  # P(X > t) para uma exponencial = e^(-t/β)
  prob_individual <- exp(-t/beta)
  
  # Para n circuitos independentes: [P(X > t)]^n
  prob_conjunta <- prob_individual^n
  
  return(prob_conjunta)
}

# Exemplo de uso:
n <- 10    # 10 circuitos
beta <- 4  # Tempo médio até falha de 4 anos
t <- 5     # Tempo mínimo de 5 anos

probabilidade <- prob_todos_mais_que(n, beta, t)
print(paste("Probabilidade de todos os", n, "circuitos durarem mais de", t, "anos:", round(probabilidade, 4)))

# Função para calcular a probabilidade de todos os circuitos durarem mais de t anos

prob_todos_mais_que <- function(n, beta, t = 5) {

# P(X > t) para uma exponencial = e^(-t/β)

prob_individual <- exp(-t/beta)

# Para n circuitos independentes: [P(X > t)]^n

prob_conjunta <- prob_individual^n

return(prob_conjunta)

}

# Exemplo de uso:

n <- 10 # 10 circuitos

beta <- 4 # Tempo médio até falha de 4 anos

t <- 5 # Tempo mínimo de 5 anos

probabilidade <- prob_todos_mais_que(n, beta, t)

print(paste("Probabilidade de todos os", n, "circuitos durarem mais de", t, "anos:", round(probabilidade, 4)))

Análise de Sensibilidade ao Parâmetro β

Vamos analisar como a probabilidade varia com diferentes valores de β:

# Análise de sensibilidade para diferentes valores de β
n <- 10  # Número fixo de circuitos
t <- 5   # Tempo mínimo de 5 anos

# Valores de β para análise (de 1 a 10 anos)
beta_valores <- seq(1, 10, by = 0.5)

# Calcular probabilidades para cada β
probabilidades <- sapply(beta_valores, function(b) {
  prob_todos_mais_que(n, b, t)
})

# Plotar os resultados
plot(beta_valores, probabilidades, type = "o", pch = 16, col = "blue",
     xlab = "β (Tempo médio até falha em anos)",
     ylab = "Probabilidade",
     main = paste("Probabilidade de todos os", n, "circuitos durarem >", t, "anos"))
grid()

# Adicionar linha em y = 0.5
abline(h = 0.5, col = "red", lty = 2)

# Encontrar onde a probabilidade é aproximadamente 0.5
idx_50 <- which.min(abs(probabilidades - 0.5))
beta_50 <- beta_valores[idx_50]
abline(v = beta_50, col = "red", lty = 2)

legend("topright", legend = c("Probabilidade", "Probabilidade = 0.5", paste("β =", round(beta_50, 2))),
       col = c("blue", "red", "red"), lty = c(1, 2, 2), pch = c(16, NA, NA))

# Análise de sensibilidade para diferentes valores de β

n <- 10 # Número fixo de circuitos

t <- 5 # Tempo mínimo de 5 anos

# Valores de β para análise (de 1 a 10 anos)

beta_valores <- seq(1, 10, by = 0.5)

# Calcular probabilidades para cada β

probabilidades <- sapply(beta_valores, function(b) {

prob_todos_mais_que(n, b, t)

})

# Plotar os resultados

plot(beta_valores, probabilidades, type = "o", pch = 16, col = "blue",

xlab = "β (Tempo médio até falha em anos)",

ylab = "Probabilidade",

main = paste("Probabilidade de todos os", n, "circuitos durarem >", t, "anos"))

grid()

# Adicionar linha em y = 0.5

abline(h = 0.5, col = "red", lty = 2)

# Encontrar onde a probabilidade é aproximadamente 0.5

idx_50 <- which.min(abs(probabilidades - 0.5))

beta_50 <- beta_valores[idx_50]

abline(v = beta_50, col = "red", lty = 2)

legend("topright", legend = c("Probabilidade", "Probabilidade = 0.5", paste("β =", round(beta_50, 2))),

col = c("blue", "red", "red"), lty = c(1, 2, 2), pch = c(16, NA, NA))

Análise para Diferentes Tamanhos de Amostra

Vamos examinar como a probabilidade varia com o número de circuitos:

# Análise para diferentes tamanhos de amostra
beta <- 5  # Tempo médio até falha de 5 anos
t <- 5     # Tempo mínimo de 5 anos

# Diferentes tamanhos de amostra
n_valores <- 1:20

# Calcular probabilidades para cada n
probabilidades_n <- sapply(n_valores, function(n) {
  prob_todos_mais_que(n, beta, t)
})

# Plotar os resultados
plot(n_valores, probabilidades_n, type = "o", pch = 16, col = "darkgreen",
     xlab = "Número de circuitos (n)",
     ylab = "Probabilidade",
     main = paste("Probabilidade para β =", beta, "e t =", t, "anos"))
grid()

# Adicionar linha em y = 0.5
abline(h = 0.5, col = "red", lty = 2)

# Encontrar onde a probabilidade é aproximadamente 0.5
idx_50_n <- which.min(abs(probabilidades_n - 0.5))
n_50 <- n_valores[idx_50_n]
abline(v = n_50, col = "red", lty = 2)

legend("topright", legend = c("Probabilidade", "Probabilidade = 0.5", paste("n =", n_50)),
       col = c("darkgreen", "red", "red"), lty = c(1, 2, 2), pch = c(16, NA, NA))

# Análise para diferentes tamanhos de amostra

beta <- 5 # Tempo médio até falha de 5 anos

t <- 5 # Tempo mínimo de 5 anos

# Diferentes tamanhos de amostra

n_valores <- 1:20

# Calcular probabilidades para cada n

probabilidades_n <- sapply(n_valores, function(n) {

prob_todos_mais_que(n, beta, t)

})

# Plotar os resultados

plot(n_valores, probabilidades_n, type = "o", pch = 16, col = "darkgreen",

xlab = "Número de circuitos (n)",

ylab = "Probabilidade",

main = paste("Probabilidade para β =", beta, "e t =", t, "anos"))

grid()

# Adicionar linha em y = 0.5

abline(h = 0.5, col = "red", lty = 2)

# Encontrar onde a probabilidade é aproximadamente 0.5

idx_50_n <- which.min(abs(probabilidades_n - 0.5))

n_50 <- n_valores[idx_50_n]

abline(v = n_50, col = "red", lty = 2)

legend("topright", legend = c("Probabilidade", "Probabilidade = 0.5", paste("n =", n_50)),

col = c("darkgreen", "red", "red"), lty = c(1, 2, 2), pch = c(16, NA, NA))

Observação importante: Note que quando β = t = 5 anos, a probabilidade individual de um circuito durar mais de 5 anos é \(e^{-5/5} = e^{-1} \approx 0.3679\). Portanto, mesmo para um único circuito, a probabilidade é relativamente baixa.

Tabela de Probabilidades

Vamos gerar uma tabela com probabilidades para diferentes combinações de n e β:

# Gerar tabela de probabilidades
n_valores_tabela <- c(1, 5, 10, 15, 20)
beta_valores_tabela <- c(3, 5, 7, 10)
t <- 5

# Criar matriz de resultados
resultados <- matrix(NA, nrow = length(n_valores_tabela), ncol = length(beta_valores_tabela))
rownames(resultados) <- paste("n =", n_valores_tabela)
colnames(resultados) <- paste("β =", beta_valores_tabela)

# Preencher a matriz
for (i in 1:length(n_valores_tabela)) {
  for (j in 1:length(beta_valores_tabela)) {
    resultados[i, j] <- prob_todos_mais_que(n_valores_tabela[i], beta_valores_tabela[j], t)
  }
}

# Arredondar para 4 casas decimais
resultados <- round(resultados, 4)

# Exibir a tabela
print("Probabilidade de todos os circuitos durarem mais de 5 anos:")
print(resultados)

# Gerar tabela de probabilidades

n_valores_tabela <- c(1, 5, 10, 15, 20)

beta_valores_tabela <- c(3, 5, 7, 10)

t <- 5

# Criar matriz de resultados

resultados <- matrix(NA, nrow = length(n_valores_tabela), ncol = length(beta_valores_tabela))

rownames(resultados) <- paste("n =", n_valores_tabela)

colnames(resultados) <- paste("β =", beta_valores_tabela)

# Preencher a matriz

for (i in 1:length(n_valores_tabela)) {

for (j in 1:length(beta_valores_tabela)) {

resultados[i, j] <- prob_todos_mais_que(n_valores_tabela[i], beta_valores_tabela[j], t)

}

# Arredondar para 4 casas decimais

resultados <- round(resultados, 4)

# Exibir a tabela

print("Probabilidade de todos os circuitos durarem mais de 5 anos:")

print(resultados)

Esta tabela nos permite visualizar como a probabilidade conjunta:

Diminui rapidamente à medida que aumenta o número de circuitos (n)
Aumenta à medida que aumenta o tempo médio até falha (β)
É extremamente baixa para muitos circuitos com β próximo ou menor que t

Conclusão

A probabilidade de que todos os n circuitos independentes tenham duração maior que 5 anos é dada por \(e^{-5n/\beta}\). Esta probabilidade:

Decai exponencialmente com o aumento do número de circuitos (n)
Aumenta com o aumento do tempo médio até falha (β)
É sensível à relação entre o tempo desejado (5 anos) e o tempo médio até falha (β)

Para aplicações práticas de engenharia de confiabilidade, é importante considerar que a probabilidade de todos os componentes em um sistema durarem além de um certo tempo pode ser muito baixa, mesmo para componentes individualmente confiáveis, especialmente quando o sistema possui muitos componentes.

Referências

Ross, S. M. (2019). Introduction to Probability Models.
Meeker, W. Q., & Escobar, L. A. (1998). Statistical Methods for Reliability Data.
R Core Team (2023). R: A Language and Environment for Statistical Computing.

Problema 1 de Variáveis Aleatórias

Definição do Problema

Resolução Matemática

Passo 1: Aproveitando a Independência e Linearidade da Expectância

Passo 2: Cálculo dos Momentos das Distribuições

Passo 3: Momentos da Distribuição Normal

Passo 4: Substituir nas Equações Originais

Passo 5: Resolver o Sistema de Equações

Solução

Simulação em R

Probabilidade de Todos os Circuitos Durarem Mais de 5 Anos

Fundamentação Teórica

Probabilidade para Múltiplos Circuitos Independentes

Exemplos Práticos com Cálculos em R

Função para Calcular a Probabilidade

Análise de Sensibilidade ao Parâmetro β

Análise para Diferentes Tamanhos de Amostra

Tabela de Probabilidades

Conclusão

Referências