Arquivo de processos-gaussianos

Descobrindo o ritmo dos dados: como o kernel Exp-Seno-Quadrado captura padrões periódicos escondidos

19/12/202531/10/2025 Por antonino

Imagine que você está ouvindo uma música complexa. Algumas batidas se repetem regularmente, outras têm variações sutis, mas todas seguem um ritmo subjacente. O kernel Exp-Seno-Quadrado é como ter um ouvido musical treinado que consegue identificar não apenas a periodicidade principal, mas também como esse padrão evolui e varia suavemente ao longo do tempo. Ele é a ferramenta perfeita para dados que dançam ao ritmo de ciclos e estações, desde batidas cardíacas até movimentos planetários.

Como isso funciona na prática?

O kernel Exp-Seno-Quadrado (Exp-Sine-Squared) é especificamente projetado para capturar padrões periódicos que não são perfeitamente rígidos, mas sim suavemente variáveis. Diferentemente de uma simples função seno que assume periodicidade perfeita, este kernel permite que a similaridade entre pontos dependa tanto do tempo quanto de quão bem seus “fases” se alinham no ciclo periódico. Ele modela a ideia de que pontos separados por exatamente um período devem ser muito similares, mas essa similaridade decai suavemente conforme nos afastamos do alinhamento perfeito de fase.

Mãos na massa: caçando periodicidades com o kernel Exp-Seno-Quadrado

"""
Explorando o kernel Exp-Seno-Quadrado para dados periódicos
Demonstra como capturar padrões cíclicos com variações suaves
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.gaussian_process.kernels import ExpSineSquared, RBF
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor

# Criando dados com diferentes tipos de periodicidade
def criar_dados_periodicos():
    """Cria dados com vários tipos de padrões periódicos do mundo real"""
    np.random.seed(42)
    
    # Dados com periodicidade perfeita (para comparação)
    t_perfeito = np.linspace(0, 20, 200).reshape(-1, 1)
    y_perfeito = np.sin(2 * np.pi * t_perfeito.ravel() / 5) + 0.1 * np.random.normal(size=200)
    
    # Dados com periodicidade variável (mais realista)
    t_variavel = np.linspace(0, 20, 200).reshape(-1, 1)
    periodo_variavel = 5 + 0.5 * np.sin(t_variavel.ravel() / 3)  # Período que varia suavemente
    y_variavel = np.sin(2 * np.pi * t_variavel.ravel() / periodo_variavel) + 0.1 * np.random.normal(size=200)
    
    # Dados com múltiplas periodicidades (caso complexo)
    t_multiplo = np.linspace(0, 30, 300).reshape(-1, 1)
    y_multiplo = (np.sin(2 * np.pi * t_multiplo.ravel() / 3) +      # Período curto
                  0.5 * np.sin(2 * np.pi * t_multiplo.ravel() / 8) + # Período médio
                  0.3 * np.sin(2 * np.pi * t_multiplo.ravel() / 15) + # Período longo
                  0.1 * np.random.normal(size=300))
    
    # Dados do mundo real simulados: batimentos cardíacos
    t_coracao = np.linspace(0, 10, 500).reshape(-1, 1)
    # Simula batimentos com pequenas variações no ritmo
    frequencia_base = 1.2  # Hz (72 batimentos por minuto)
    variacao_ritmo = 0.1 * np.sin(2 * np.pi * t_coracao.ravel() / 4)  # Variação respiratória
    y_coracao = np.sin(2 * np.pi * (frequencia_base + variacao_ritmo) * t_coracao.ravel())
    y_coracao += 0.05 * np.random.normal(size=500)  # Ruído de medição
    
    return (t_perfeito, y_perfeito), (t_variavel, y_variavel), (t_multiplo, y_multiplo), (t_coracao, y_coracao)

dados_perfeito, dados_variavel, dados_multiplo, dados_coracao = criar_dados_periodicos()

print("=== EXPLORANDO O KERNEL EXP-SENO-QUADRADO ===\n")

print("O kernel Exp-Seno-Quadrado é definido por:")
print("[latex]k(x_i, x_j) = \\exp\\left(-\\frac{2\\sin^2(\\pi d(x_i, x_j)/p)}{l^2}\\right)[/latex]")
print("Onde p é o período e l é o length_scale que controla a suavidade\n")

# Explorando diferentes parâmetros do kernel
parametros_testar = [
    {'periodicity': 5.0, 'length_scale': 1.0},
    {'periodicity': 5.0, 'length_scale': 0.5},
    {'periodicity': 5.0, 'length_scale': 2.0},
    {'periodicity': 3.0, 'length_scale': 1.0},
    {'periodicity': 8.0, 'length_scale': 1.0}
]

fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(18, 12))
axes = axes.ravel()

t_dados, y_dados = dados_perfeito

for idx, params in enumerate(parametros_testar):
    kernel_ess = ExpSineSquared(length_scale=params['length_scale'], 
                               periodicity=params['periodicity'])
    gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel_ess, alpha=0.0, random_state=42)
    gpr.fit(t_dados, y_dados)
    
    # Previsões
    t_pred = np.linspace(0, 20, 300).reshape(-1, 1)
    y_pred, sigma = gpr.predict(t_pred, return_std=True)
    
    # Plot
    axes[idx].plot(t_dados, y_dados, 'ro', alpha=0.4, markersize=2, label='Dados')
    axes[idx].plot(t_pred, y_pred, 'b-', linewidth=2, label='Previsão ESS')
    axes[idx].fill_between(t_pred.ravel(), y_pred - 1.96*sigma, 
                         y_pred + 1.96*sigma, alpha=0.2, label='Incerteza 95%')
    
    axes[idx].set_title(f'ESS: p={params["periodicity"]}, l={params["length_scale"]}\n'
                       f'LL: {gpr.log_marginal_likelihood():.2f}', fontsize=11)
    axes[idx].grid(True, alpha=0.3)
    axes[idx].legend(fontsize=9)

# Comparação com RBF no último subplot
kernel_rbf = RBF(length_scale=1.0)
gpr_rbf = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel_rbf, alpha=0.0, random_state=42)
gpr_rbf.fit(t_dados, y_dados)
y_pred_rbf, sigma_rbf = gpr_rbf.predict(t_pred, return_std=True)

axes[5].plot(t_dados, y_dados, 'ro', alpha=0.4, markersize=2, label='Dados')
axes[5].plot(t_pred, y_pred_rbf, 'g-', linewidth=2, label='Previsão RBF')
axes[5].fill_between(t_pred.ravel(), y_pred_rbf - 1.96*sigma_rbf, 
                   y_pred_rbf + 1.96*sigma_rbf, alpha=0.2, label='Incerteza 95%')
axes[5].set_title(f'RBF (comparação)\nLL: {gpr_rbf.log_marginal_likelihood():.2f}', 
                 fontsize=11)
axes[5].grid(True, alpha=0.3)
axes[5].legend(fontsize=9)

plt.tight_layout()
plt.show()

# Testando em diferentes cenários periódicos
print("\n=== TESTANDO EM DIFERENTES CENÁRIOS PERIÓDICOS ===\n")

cenarios = {
    'Periodicidade Perfeita': dados_perfeito,
    'Periodicidade Variável': dados_variavel,
    'Múltiplas Periodicidades': dados_multiplo,
    'Batimentos Cardíacos': dados_coracao
}

resultados_comparacao = {}

fig, axes = plt.subplots(len(cenarios), 2, figsize=(15, 12))

for i, (nome_cenario, (t_data, y_data)) in enumerate(cenarios.items()):
    # Kernel Exp-Seno-Quadrado com otimização
    kernel_ess = ExpSineSquared(length_scale=1.0, periodicity=5.0)
    gpr_ess = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel_ess, random_state=42)
    gpr_ess.fit(t_data, y_data)
    
    # RBF para comparação
    kernel_rbf = RBF(length_scale=1.0)
    gpr_rbf = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel_rbf, random_state=42)
    gpr_rbf.fit(t_data, y_data)
    
    # Previsões
    t_pred = np.linspace(t_data.min(), t_data.max(), 300).reshape(-1, 1)
    y_pred_ess, sigma_ess = gpr_ess.predict(t_pred, return_std=True)
    y_pred_rbf, sigma_rbf = gpr_rbf.predict(t_pred, return_std=True)
    
    # Plot Exp-Seno-Quadrado
    axes[i, 0].plot(t_data, y_data, 'ro', alpha=0.5, markersize=2, label='Dados')
    axes[i, 0].plot(t_pred, y_pred_ess, 'b-', linewidth=2, label='Previsão ESS')
    axes[i, 0].fill_between(t_pred.ravel(), y_pred_ess - 1.96*sigma_ess, 
                          y_pred_ess + 1.96*sigma_ess, alpha=0.2, label='Incerteza')
    axes[i, 0].set_title(f'Exp-Seno-Quadrado - {nome_cenario}\n'
                        f'Kernel: {gpr_ess.kernel_}\n'
                        f'LL: {gpr_ess.log_marginal_likelihood():.2f}', fontsize=10)
    axes[i, 0].grid(True, alpha=0.3)
    axes[i, 0].legend(fontsize=8)
    
    # Plot RBF
    axes[i, 1].plot(t_data, y_data, 'ro', alpha=0.5, markersize=2, label='Dados')
    axes[i, 1].plot(t_pred, y_pred_rbf, 'g-', linewidth=2, label='Previsão RBF')
    axes[i, 1].fill_between(t_pred.ravel(), y_pred_rbf - 1.96*sigma_rbf, 
                          y_pred_rbf + 1.96*sigma_rbf, alpha=0.2, label='Incerteza')
    axes[i, 1].set_title(f'RBF - {nome_cenario}\n'
                        f'Kernel: {gpr_rbf.kernel_}\n'
                        f'LL: {gpr_rbf.log_marginal_likelihood():.2f}', fontsize=10)
    axes[i, 1].grid(True, alpha=0.3)
    axes[i, 1].legend(fontsize=8)
    
    # Armazenar resultados
    resultados_comparacao[nome_cenario] = {
        'ESS_LL': gpr_ess.log_marginal_likelihood(),
        'RBF_LL': gpr_rbf.log_marginal_likelihood(),
        'ESS_kernel': str(gpr_ess.kernel_),
        'RBF_kernel': str(gpr_rbf.kernel_)
    }

plt.tight_layout()
plt.show()

# Análise dos resultados
print("=== ANÁLISE DOS RESULTADOS (Log-Likelihood) ===\n")
for cenario, resultados in resultados_comparacao.items():
    ess_ll = resultados['ESS_LL']
    rbf_ll = resultados['RBF_LL']
    diferenca = ess_ll - rbf_ll
    melhor = "Exp-Seno-Quadrado" if diferenca > 0 else "RBF"
    
    print(f"{cenario}:")
    print(f"  Exp-Seno-Quadrado: {ess_ll:8.2f}")
    print(f"  RBF:               {rbf_ll:8.2f}")
    print(f"  Diferença:         {diferenca:8.2f} → {melhor} é melhor")
    print(f"  Kernel ESS otimizado: {resultados['ESS_kernel']}")
    print()

# Visualização das funções de covariância
print("=== FUNÇÕES DE COVARIÂNCIA EXP-SENO-QUADRADO ===\n")

plt.figure(figsize=(15, 10))

# Plot das funções de covariância para diferentes períodos
plt.subplot(2, 2, 1)
distances = np.linspace(0, 10, 100)

periodos = [3.0, 5.0, 8.0, 12.0]
for periodo in periodos:
    kernel = ExpSineSquared(length_scale=1.0, periodicity=periodo)
    K = kernel(np.array([[0]]), distances.reshape(-1, 1))
    plt.plot(distances, K, label=f'p = {periodo}', linewidth=2)

plt.title('Funções de Covariância - Diferentes Períodos')
plt.xlabel('Distância')
plt.ylabel('Covariância')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

# Plot para diferentes length_scales
plt.subplot(2, 2, 2)
length_scales = [0.5, 1.0, 2.0, 5.0]
for ls in length_scales:
    kernel = ExpSineSquared(length_scale=ls, periodicity=5.0)
    K = kernel(np.array([[0]]), distances.reshape(-1, 1))
    plt.plot(distances, K, label=f'l = {ls}', linewidth=2)

plt.title('Funções de Covariância - Diferentes Length Scales')
plt.xlabel('Distância')
plt.ylabel('Covariância')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

# Comparação com RBF
plt.subplot(2, 2, 3)
kernel_ess = ExpSineSquared(length_scale=1.0, periodicity=5.0)
K_ess = kernel_ess(np.array([[0]]), distances.reshape(-1, 1))

kernel_rbf = RBF(length_scale=1.0)
K_rbf = kernel_rbf(np.array([[0]]), distances.reshape(-1, 1))

plt.plot(distances, K_ess, 'b-', linewidth=2, label='Exp-Seno-Quadrado (p=5)')
plt.plot(distances, K_rbf, 'g--', linewidth=2, label='RBF')
plt.title('Comparação: Exp-Seno-Quadrado vs RBF')
plt.xlabel('Distância')
plt.ylabel('Covariância')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

# Aplicações do mundo real
plt.subplot(2, 2, 4)
aplicacoes = [
    ('Clima/Tempo', 'Sazonalidade anual/diária', 'p = 24 (horas), 365 (dias)'),
    ('Finanças', 'Ciclos econômicos/sazonais', 'p = 12 (meses), 4 (trimestres)'),
    ('Medicina', 'Batimentos cardíacos/respiração', 'p = 0.8-1.2 (segundos)'),
    ('Astronomia', 'Movimentos planetários/fases', 'p = 27.3 (lunar), 365 (solar)'),
    ('Engenharia', 'Vibrações/rotações mecânicas', 'p = 1/frequência')
]

y_pos = range(len(aplicacoes))
app_names = [app[0] for app in aplicacoes]
periodos_typical = [365, 12, 1, 27.3, 0.1]  # Períodos típicos

plt.barh(y_pos, periodos_typical, color='lightsteelblue', alpha=0.7)
plt.yticks(y_pos, app_names)
plt.xlabel('Período Típico')
plt.title('Aplicações do Mundo Real')
for i, (nome, desc, periodo) in enumerate(aplicacoes):
    plt.text(10, i, f'{desc}\n{periodo}', va='center', ha='left', fontsize=8)

plt.tight_layout()
plt.show()

# Detectando periodicidade automaticamente
print("=== DETECTANDO PERIODICIDADE AUTOMATICAMENTE ===\n")

def detectar_periodicidade(t, y):
    """Ferramenta simples para detectar periodicidade nos dados"""
    from scipy import signal
    
    # Usando FFT para encontrar frequências dominantes
    y_detrended = y - np.mean(y)
    fft = np.fft.fft(y_detrended)
    freqs = np.fft.fftfreq(len(y), t[1]-t[0])
    
    # Encontrando pico não-DC
    magnitude = np.abs(fft)
    magnitude[0] = 0  # Ignorar componente DC
    
    idx_pico = np.argmax(magnitude[1:]) + 1
    frequencia_dominante = np.abs(freqs[idx_pico])
    periodo_estimado = 1.0 / frequencia_dominante if frequencia_dominante > 0 else 0
    
    # Análise de autocorrelação
    autocorr = signal.correlate(y_detrended, y_detrended, mode='full')
    autocorr = autocorr[len(autocorr)//2:]
    lag_pico = signal.find_peaks(autocorr, distance=10)[0]
    
    if len(lag_pico) > 1:
        periodo_autocorr = (lag_pico[1] - lag_pico[0]) * (t[1]-t[0])
    else:
        periodo_autocorr = 0
    
    return periodo_estimado, periodo_autocorr

# Testando detecção em nossos dados
for nome, (t_data, y_data) in cenarios.items():
    periodo_fft, periodo_autocorr = detectar_periodicidade(t_data.ravel(), y_data)
    print(f"{nome}:")
    print(f"  Período estimado (FFT): {periodo_fft:.2f}")
    print(f"  Período estimado (Autocorr): {periodo_autocorr:.2f}")
    print()

# Resumo prático
print("=== RESUMO PRÁTICO: QUANDO USAR EXP-SENO-QUADRADO ===\n")

vantagens_ess = [
    "• Captura especificamente padrões periódicos e quase-periódicos",
    "• Permite variações suaves na fase e amplitude dos ciclos",
    "• Parâmetro de período é interpretável diretamente",
    "• Excelente para dados sazonais, climáticos e biológicos",
    "• Pode ser combinado com outros kernels para padrões complexos"
]

casos_uso_especificos = [
    "Dados climáticos e meteorológicos (sazonalidade)",
    "Sinais fisiológicos (batimentos cardíacos, respiração)",
    "Dados econômicos e financeiros (ciclos sazonais)",
    "Sinais astronômicos (movimentos planetários)",
    "Vibrações mecânicas e sinais de engenharia"
]

print("VANTAGENS PRINCIPAIS:")
for vantagem in vantagens_ess:
    print(vantagem)

print("\nCASOS DE USO RECOMENDADOS:")
for caso in casos_uso_especificos:
    print(f"  • {caso}")

print("\nCONFIGURAÇÃO INICIAL RECOMENDADA:")
print("  • Use detecção automática para estimar o período inicial")
print("  • Comece com length_scale = 1.0 e ajuste conforme necessário")
print("  • Combine com RBF para capturar tendências não-periódicas")
print("  • Use bounds realistas baseados no conhecimento do domínio")

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

241

242

243

244

245

246

247

248

249

250

251

252

253

254

255

256

257

258

259

260

261

262

263

264

265

266

267

268

269

270

271

272

273

274

275

276

277

278

279

280

281

282

283

284

285

286

287

288

289

290

291

292

293

294

295

296

297

298

299

300

301

302

303

304

305

306

307

308

309

310

311

312

313

314

315

316

317

318

319

320

321

322

323

324

325

326

327

"""

Explorando o kernel Exp-Seno-Quadrado para dados periódicos

Demonstra como capturar padrões cíclicos com variações suaves

"""

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.gaussian_process.kernels import ExpSineSquared, RBF

from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor

# Criando dados com diferentes tipos de periodicidade

def criar_dados_periodicos():

"""Cria dados com vários tipos de padrões periódicos do mundo real"""

np.random.seed(42)

# Dados com periodicidade perfeita (para comparação)

t_perfeito = np.linspace(0, 20, 200).reshape(-1, 1)

y_perfeito = np.sin(2 * np.pi * t_perfeito.ravel() / 5) + 0.1 * np.random.normal(size=200)

# Dados com periodicidade variável (mais realista)

t_variavel = np.linspace(0, 20, 200).reshape(-1, 1)

periodo_variavel = 5 + 0.5 * np.sin(t_variavel.ravel() / 3) # Período que varia suavemente

y_variavel = np.sin(2 * np.pi * t_variavel.ravel() / periodo_variavel) + 0.1 * np.random.normal(size=200)

# Dados com múltiplas periodicidades (caso complexo)

t_multiplo = np.linspace(0, 30, 300).reshape(-1, 1)

y_multiplo = (np.sin(2 * np.pi * t_multiplo.ravel() / 3) + # Período curto

0.5 * np.sin(2 * np.pi * t_multiplo.ravel() / 8) + # Período médio

0.3 * np.sin(2 * np.pi * t_multiplo.ravel() / 15) + # Período longo

0.1 * np.random.normal(size=300))

# Dados do mundo real simulados: batimentos cardíacos

t_coracao = np.linspace(0, 10, 500).reshape(-1, 1)

# Simula batimentos com pequenas variações no ritmo

frequencia_base = 1.2 # Hz (72 batimentos por minuto)

variacao_ritmo = 0.1 * np.sin(2 * np.pi * t_coracao.ravel() / 4) # Variação respiratória

y_coracao = np.sin(2 * np.pi * (frequencia_base + variacao_ritmo) * t_coracao.ravel())

y_coracao += 0.05 * np.random.normal(size=500) # Ruído de medição

return (t_perfeito, y_perfeito), (t_variavel, y_variavel), (t_multiplo, y_multiplo), (t_coracao, y_coracao)

dados_perfeito, dados_variavel, dados_multiplo, dados_coracao = criar_dados_periodicos()

print("=== EXPLORANDO O KERNEL EXP-SENO-QUADRADO ===\n")

print("O kernel Exp-Seno-Quadrado é definido por:")

print("[latex]k(x_i, x_j) = \\exp\\left(-\\frac{2\\sin^2(\\pi d(x_i, x_j)/p)}{l^2}\\right)[/latex]")

print("Onde p é o período e l é o length_scale que controla a suavidade\n")

# Explorando diferentes parâmetros do kernel

parametros_testar = [

{'periodicity': 5.0, 'length_scale': 1.0},

{'periodicity': 5.0, 'length_scale': 0.5},

{'periodicity': 5.0, 'length_scale': 2.0},

{'periodicity': 3.0, 'length_scale': 1.0},

{'periodicity': 8.0, 'length_scale': 1.0}

]

fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(18, 12))

axes = axes.ravel()

t_dados, y_dados = dados_perfeito

for idx, params in enumerate(parametros_testar):

kernel_ess = ExpSineSquared(length_scale=params['length_scale'],

periodicity=params['periodicity'])

gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel_ess, alpha=0.0, random_state=42)

gpr.fit(t_dados, y_dados)

# Previsões

t_pred = np.linspace(0, 20, 300).reshape(-1, 1)

y_pred, sigma = gpr.predict(t_pred, return_std=True)

# Plot

axes[idx].plot(t_dados, y_dados, 'ro', alpha=0.4, markersize=2, label='Dados')

axes[idx].plot(t_pred, y_pred, 'b-', linewidth=2, label='Previsão ESS')

axes[idx].fill_between(t_pred.ravel(), y_pred - 1.96*sigma,

y_pred + 1.96*sigma, alpha=0.2, label='Incerteza 95%')

axes[idx].set_title(f'ESS: p={params["periodicity"]}, l={params["length_scale"]}\n'

f'LL: {gpr.log_marginal_likelihood():.2f}', fontsize=11)

axes[idx].grid(True, alpha=0.3)

axes[idx].legend(fontsize=9)

# Comparação com RBF no último subplot

kernel_rbf = RBF(length_scale=1.0)

gpr_rbf = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel_rbf, alpha=0.0, random_state=42)

gpr_rbf.fit(t_dados, y_dados)

y_pred_rbf, sigma_rbf = gpr_rbf.predict(t_pred, return_std=True)

axes[5].plot(t_dados, y_dados, 'ro', alpha=0.4, markersize=2, label='Dados')

axes[5].plot(t_pred, y_pred_rbf, 'g-', linewidth=2, label='Previsão RBF')

axes[5].fill_between(t_pred.ravel(), y_pred_rbf - 1.96*sigma_rbf,

y_pred_rbf + 1.96*sigma_rbf, alpha=0.2, label='Incerteza 95%')

axes[5].set_title(f'RBF (comparação)\nLL: {gpr_rbf.log_marginal_likelihood():.2f}',

fontsize=11)

axes[5].grid(True, alpha=0.3)

axes[5].legend(fontsize=9)

plt.tight_layout()

plt.show()

# Testando em diferentes cenários periódicos

print("\n=== TESTANDO EM DIFERENTES CENÁRIOS PERIÓDICOS ===\n")

cenarios = {

'Periodicidade Perfeita': dados_perfeito,

'Periodicidade Variável': dados_variavel,

'Múltiplas Periodicidades': dados_multiplo,

'Batimentos Cardíacos': dados_coracao

}

resultados_comparacao = {}

fig, axes = plt.subplots(len(cenarios), 2, figsize=(15, 12))

for i, (nome_cenario, (t_data, y_data)) in enumerate(cenarios.items()):

# Kernel Exp-Seno-Quadrado com otimização

kernel_ess = ExpSineSquared(length_scale=1.0, periodicity=5.0)

gpr_ess = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel_ess, random_state=42)

gpr_ess.fit(t_data, y_data)

# RBF para comparação

kernel_rbf = RBF(length_scale=1.0)

gpr_rbf = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel_rbf, random_state=42)

gpr_rbf.fit(t_data, y_data)

# Previsões

t_pred = np.linspace(t_data.min(), t_data.max(), 300).reshape(-1, 1)

y_pred_ess, sigma_ess = gpr_ess.predict(t_pred, return_std=True)

y_pred_rbf, sigma_rbf = gpr_rbf.predict(t_pred, return_std=True)

# Plot Exp-Seno-Quadrado

axes[i, 0].plot(t_data, y_data, 'ro', alpha=0.5, markersize=2, label='Dados')

axes[i, 0].plot(t_pred, y_pred_ess, 'b-', linewidth=2, label='Previsão ESS')

axes[i, 0].fill_between(t_pred.ravel(), y_pred_ess - 1.96*sigma_ess,

y_pred_ess + 1.96*sigma_ess, alpha=0.2, label='Incerteza')

axes[i, 0].set_title(f'Exp-Seno-Quadrado - {nome_cenario}\n'

f'Kernel: {gpr_ess.kernel_}\n'

f'LL: {gpr_ess.log_marginal_likelihood():.2f}', fontsize=10)

axes[i, 0].grid(True, alpha=0.3)

axes[i, 0].legend(fontsize=8)

# Plot RBF

axes[i, 1].plot(t_data, y_data, 'ro', alpha=0.5, markersize=2, label='Dados')

axes[i, 1].plot(t_pred, y_pred_rbf, 'g-', linewidth=2, label='Previsão RBF')

axes[i, 1].fill_between(t_pred.ravel(), y_pred_rbf - 1.96*sigma_rbf,

y_pred_rbf + 1.96*sigma_rbf, alpha=0.2, label='Incerteza')

axes[i, 1].set_title(f'RBF - {nome_cenario}\n'

f'Kernel: {gpr_rbf.kernel_}\n'

f'LL: {gpr_rbf.log_marginal_likelihood():.2f}', fontsize=10)

axes[i, 1].grid(True, alpha=0.3)

axes[i, 1].legend(fontsize=8)

# Armazenar resultados

resultados_comparacao[nome_cenario] = {

'ESS_LL': gpr_ess.log_marginal_likelihood(),

'RBF_LL': gpr_rbf.log_marginal_likelihood(),

'ESS_kernel': str(gpr_ess.kernel_),

'RBF_kernel': str(gpr_rbf.kernel_)

}

plt.tight_layout()

plt.show()

# Análise dos resultados

print("=== ANÁLISE DOS RESULTADOS (Log-Likelihood) ===\n")

for cenario, resultados in resultados_comparacao.items():

ess_ll = resultados['ESS_LL']

rbf_ll = resultados['RBF_LL']

diferenca = ess_ll - rbf_ll

melhor = "Exp-Seno-Quadrado" if diferenca > 0 else "RBF"

print(f"{cenario}:")

print(f" Exp-Seno-Quadrado: {ess_ll:8.2f}")

print(f" RBF: {rbf_ll:8.2f}")

print(f" Diferença: {diferenca:8.2f} → {melhor} é melhor")

print(f" Kernel ESS otimizado: {resultados['ESS_kernel']}")

print()

# Visualização das funções de covariância

print("=== FUNÇÕES DE COVARIÂNCIA EXP-SENO-QUADRADO ===\n")

plt.figure(figsize=(15, 10))

# Plot das funções de covariância para diferentes períodos

plt.subplot(2, 2, 1)

distances = np.linspace(0, 10, 100)

periodos = [3.0, 5.0, 8.0, 12.0]

for periodo in periodos:

kernel = ExpSineSquared(length_scale=1.0, periodicity=periodo)

K = kernel(np.array([[0]]), distances.reshape(-1, 1))

plt.plot(distances, K, label=f'p = {periodo}', linewidth=2)

plt.title('Funções de Covariância - Diferentes Períodos')

plt.xlabel('Distância')

plt.ylabel('Covariância')

plt.legend()

plt.grid(True, alpha=0.3)

# Plot para diferentes length_scales

plt.subplot(2, 2, 2)

length_scales = [0.5, 1.0, 2.0, 5.0]

for ls in length_scales:

kernel = ExpSineSquared(length_scale=ls, periodicity=5.0)

K = kernel(np.array([[0]]), distances.reshape(-1, 1))

plt.plot(distances, K, label=f'l = {ls}', linewidth=2)

plt.title('Funções de Covariância - Diferentes Length Scales')

plt.xlabel('Distância')

plt.ylabel('Covariância')

plt.legend()

plt.grid(True, alpha=0.3)

# Comparação com RBF

plt.subplot(2, 2, 3)

kernel_ess = ExpSineSquared(length_scale=1.0, periodicity=5.0)

K_ess = kernel_ess(np.array([[0]]), distances.reshape(-1, 1))

kernel_rbf = RBF(length_scale=1.0)

K_rbf = kernel_rbf(np.array([[0]]), distances.reshape(-1, 1))

plt.plot(distances, K_ess, 'b-', linewidth=2, label='Exp-Seno-Quadrado (p=5)')

plt.plot(distances, K_rbf, 'g--', linewidth=2, label='RBF')

plt.title('Comparação: Exp-Seno-Quadrado vs RBF')

plt.xlabel('Distância')

plt.ylabel('Covariância')

plt.legend()

plt.grid(True, alpha=0.3)

# Aplicações do mundo real

plt.subplot(2, 2, 4)

aplicacoes = [

('Clima/Tempo', 'Sazonalidade anual/diária', 'p = 24 (horas), 365 (dias)'),

('Finanças', 'Ciclos econômicos/sazonais', 'p = 12 (meses), 4 (trimestres)'),

('Medicina', 'Batimentos cardíacos/respiração', 'p = 0.8-1.2 (segundos)'),

('Astronomia', 'Movimentos planetários/fases', 'p = 27.3 (lunar), 365 (solar)'),

('Engenharia', 'Vibrações/rotações mecânicas', 'p = 1/frequência')

]

y_pos = range(len(aplicacoes))

app_names = [app[0] for app in aplicacoes]

periodos_typical = [365, 12, 1, 27.3, 0.1] # Períodos típicos

plt.barh(y_pos, periodos_typical, color='lightsteelblue', alpha=0.7)

plt.yticks(y_pos, app_names)

plt.xlabel('Período Típico')

plt.title('Aplicações do Mundo Real')

for i, (nome, desc, periodo) in enumerate(aplicacoes):

plt.text(10, i, f'{desc}\n{periodo}', va='center', ha='left', fontsize=8)

plt.tight_layout()

plt.show()

# Detectando periodicidade automaticamente

print("=== DETECTANDO PERIODICIDADE AUTOMATICAMENTE ===\n")

def detectar_periodicidade(t, y):

"""Ferramenta simples para detectar periodicidade nos dados"""

from scipy import signal

# Usando FFT para encontrar frequências dominantes

y_detrended = y - np.mean(y)

fft = np.fft.fft(y_detrended)

freqs = np.fft.fftfreq(len(y), t[1]-t[0])

# Encontrando pico não-DC

magnitude = np.abs(fft)

magnitude[0] = 0 # Ignorar componente DC

idx_pico = np.argmax(magnitude[1:]) + 1

frequencia_dominante = np.abs(freqs[idx_pico])

periodo_estimado = 1.0 / frequencia_dominante if frequencia_dominante > 0 else 0

# Análise de autocorrelação

autocorr = signal.correlate(y_detrended, y_detrended, mode='full')

autocorr = autocorr[len(autocorr)//2:]

lag_pico = signal.find_peaks(autocorr, distance=10)[0]

if len(lag_pico) > 1:

periodo_autocorr = (lag_pico[1] - lag_pico[0]) * (t[1]-t[0])

else:

periodo_autocorr = 0

return periodo_estimado, periodo_autocorr

# Testando detecção em nossos dados

for nome, (t_data, y_data) in cenarios.items():

periodo_fft, periodo_autocorr = detectar_periodicidade(t_data.ravel(), y_data)

print(f"{nome}:")

print(f" Período estimado (FFT): {periodo_fft:.2f}")

print(f" Período estimado (Autocorr): {periodo_autocorr:.2f}")

print()

# Resumo prático

print("=== RESUMO PRÁTICO: QUANDO USAR EXP-SENO-QUADRADO ===\n")

vantagens_ess = [

"• Captura especificamente padrões periódicos e quase-periódicos",

"• Permite variações suaves na fase e amplitude dos ciclos",

"• Parâmetro de período é interpretável diretamente",

"• Excelente para dados sazonais, climáticos e biológicos",

"• Pode ser combinado com outros kernels para padrões complexos"

]

casos_uso_especificos = [

"Dados climáticos e meteorológicos (sazonalidade)",

"Sinais fisiológicos (batimentos cardíacos, respiração)",

"Dados econômicos e financeiros (ciclos sazonais)",

"Sinais astronômicos (movimentos planetários)",

"Vibrações mecânicas e sinais de engenharia"

]

print("VANTAGENS PRINCIPAIS:")

for vantagem in vantagens_ess:

print(vantagem)

print("\nCASOS DE USO RECOMENDADOS:")

for caso in casos_uso_especificos:

print(f" • {caso}")

print("\nCONFIGURAÇÃO INICIAL RECOMENDADA:")

print(" • Use detecção automática para estimar o período inicial")

print(" • Comece com length_scale = 1.0 e ajuste conforme necessário")

print(" • Combine com RBF para capturar tendências não-periódicas")

print(" • Use bounds realistas baseados no conhecimento do domínio")

Os detalhes que fazem diferença

O kernel Exp-Seno-Quadrado brilha em sua capacidade de modelar periodicidades que não são perfeitamente rígidas. O parâmetro de periodicity (p) especifica o comprimento do ciclo, enquanto o length_scale (l) controla quão rapidamente a similaridade decai quando os pontos se desalinham em fase. Valores pequenos de length_scale criam funções mais “rígidas” que exigem alinhamento quase perfeito de fase, enquanto valores maiores permitem mais flexibilidade. Uma propriedade crucial é que este kernel é estacionário – ele depende apenas da distância entre pontos, não de suas posições absolutas, o que o torna matematicamente bem comportado e eficiente computacionalmente.

Periodicity (p): Comprimento do ciclo, altamente interpretável
Length_scale (l): Controla a rigidez do padrão periódico
Estacionário: Depende apenas da distância, não da posição
Suave: Produz funções infinitamente diferenciáveis
Combinável: Funciona bem com outros kernels via adição/multiplicação

Perguntas que os iniciantes fazem

Você deve estar se perguntando: “Como saber se meus dados são periódicos o suficiente para usar este kernel?” Observe se há picos regulares na autocorrelação ou se você consegue identificar visualmente padrões que se repetem. Uma confusão comum é tentar usar este kernel para dados que são apenas oscilatórios mas não verdadeiramente periódicos – nesse caso, RBF ou Matérn podem ser melhores. Outra dúvida frequente: “E se eu não souber o período?” Use análise de Fourier ou autocorrelação para estimar um período inicial, depois deixe a otimização refiná-lo.

Para onde ir agora?

Experimente o kernel Exp-Seno-Quadrado em seus dados que exibam sazonalidade ou ciclicidade. Comece com uma estimativa grosseira do período usando técnicas simples de análise de Fourier, depois refine com a otimização do GP. Tente combiná-lo com kernels RBF para capturar tanto a componente periódica quanto tendências de longo prazo. O momento “aha!” acontece quando você vê o modelo não apenas identificando a periodicidade, mas também capturando como ela varia suavemente ao longo do tempo, revelando os ritmos escondidos nos seus dados.

Assuntos relacionados

Para dominar este kernel, estude:

Análise de Fourier: fundamentos da decomposição em frequências
Processos periódicos: teoria de processos estocásticos com periodicidade
Autocorrelação: medindo dependências temporais em séries
Kernels espectralmente mistos: combinações para padrões complexos
Processos gaussianos não estacionários: para periodicidades que evoluem no tempo

Referências que valem a pena

Construindo o alfabeto da similaridade: como kernels básicos e operadores criam a linguagem dos processos gaussianos

19/12/202531/10/2025 Por antonino

Imagine que você está aprendendo uma nova língua. Primeiro, você domina as letras básicas (kernels básicos), depois aprende a combiná-las em palavras (operações com kernels), e finalmente descobre que algumas letras como o ‘R’ são tão fundamentais que aparecem em quase todas as palavras (kernel RBF). No mundo dos Processos Gaussianos, os kernels básicos são seu alfabeto, os operadores são sua gramática, e o kernel RBF é como a vogal ‘A’ – tão ubíquo que se tornou o padrão para a maioria das aplicações.

Como isso funciona na prática?

Kernels básicos são as funções de covariância fundamentais que definem tipos específicos de similaridade entre pontos de dados. O kernel RBF assume que pontos próximos são similares, o kernel linear captura relações lineares, e o kernel periódico identifica padrões que se repetem. Os operadores de kernel (+, ×, **) permitem combinar esses kernels básicos como peças de Lego, criando kernels complexos que podem capturar múltiplos padrões simultaneamente. Diferentemente de escolher um único kernel, esta abordagem composicional permite construir modelos customizados que refletem a complexidade real dos seus dados.

Mãos na massa: explorando kernels básicos e suas combinações

"""
Explorando kernels básicos, operadores e o ubíquo kernel RBF
Demonstra como construir kernels complexos a partir de componentes simples
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.gaussian_process.kernels import (RBF, ConstantKernel, 
                                              ExpSineSquared, DotProduct,
                                              WhiteKernel, RationalQuadratic)
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor

# Criando dados de demonstração
def criar_dados_demonstracao():
    """Cria dados com múltiplos padrões para testar diferentes kernels"""
    np.random.seed(42)
    x = np.linspace(0, 10, 100).reshape(-1, 1)
    
    # Dados com padrão suave (ideal para RBF)
    y_smooth = np.sin(x.ravel()) + 0.1 * np.random.normal(size=100)
    
    # Dados com tendência linear + ruído
    y_linear = 0.5 * x.ravel() + 0.2 * np.random.normal(size=100)
    
    # Dados periódicos
    y_periodic = np.sin(2 * np.pi * x.ravel()) + 0.1 * np.random.normal(size=100)
    
    # Dados com múltiplos padrões
    y_complex = (np.sin(x.ravel()) +                    # Componente suave
                 0.3 * x.ravel() +                      # Tendência linear
                 0.5 * np.sin(3 * x.ravel()) +          # Componente periódico
                 0.1 * np.random.normal(size=100))      # Ruído
    
    return x, y_smooth, y_linear, y_periodic, y_complex

x, y_smooth, y_linear, y_periodic, y_complex = criar_dados_demonstracao()

print("=== KERNELS BÁSICOS DO SCIKIT-LEARN ===\n")

# Demonstração dos kernels básicos
kernels_basicos = {
    'RBF (Gaussiano)': RBF(length_scale=1.0),
    'Linear': DotProduct(sigma_0=1.0),
    'Periódico': ExpSineSquared(length_scale=1.0, periodicity=1.0),
    'RationalQuadratic': RationalQuadratic(length_scale=1.0, alpha=1.0),
    'Constante': ConstantKernel(constant_value=1.0),
    'Ruído': WhiteKernel(noise_level=0.1)
}

# Testando cada kernel básico nos dados suaves
fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(15, 10))
axes = axes.ravel()

for idx, (nome, kernel) in enumerate(kernels_basicos.items()):
    try:
        gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, alpha=0.0, random_state=42)
        gpr.fit(x, y_smooth)
        
        # Previsões
        x_pred = np.linspace(0, 10, 200).reshape(-1, 1)
        y_pred, sigma = gpr.predict(x_pred, return_std=True)
        
        # Plot
        axes[idx].plot(x, y_smooth, 'ro', alpha=0.6, markersize=3, label='Dados')
        axes[idx].plot(x_pred, y_pred, 'b-', linewidth=2, label='Previsão')
        axes[idx].fill_between(x_pred.ravel(), y_pred - 1.96*sigma, 
                             y_pred + 1.96*sigma, alpha=0.2, label='Incerteza')
        axes[idx].set_title(f'{nome}\n{kernel}', fontsize=10)
        axes[idx].grid(True, alpha=0.3)
        axes[idx].legend(fontsize=8)
        
    except Exception as e:
        axes[idx].text(0.5, 0.5, f'Erro\n{str(e)}', ha='center', va='center', 
                      transform=axes[idx].transAxes, fontsize=8)
        axes[idx].set_title(nome, fontsize=10)

plt.tight_layout()
plt.show()

print("\n=== OPERADORES DE KERNEL: COMBINANDO KERNELS BÁSICOS ===\n")

# Demonstração dos operadores de kernel
k_rbf = RBF(length_scale=1.0)
k_linear = DotProduct(sigma_0=1.0)
k_periodic = ExpSineSquared(length_scale=1.0, periodicity=1.0)
k_const = ConstantKernel(constant_value=1.0)

# Operações com kernels
operacoes_kernels = {
    'Soma\n(RBF + Linear)': k_rbf + k_linear,
    'Multiplicação\n(RBF × Periódico)': k_rbf * k_periodic,
    'Exponenciação\n(RBF²)': k_rbf**2,
    'Escala\n(Const × RBF)': k_const * k_rbf,
    'Combinação Complexa\n(Const×RBF + Linear)': k_const * k_rbf + k_linear,
    'Múltiplos Padrões\n(Const×RBF + Const×Periódico + Linear)': 
        k_const * k_rbf + k_const * k_periodic + k_linear
}

# Testando operações nos dados complexos
fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(15, 10))
axes = axes.ravel()

for idx, (nome, kernel) in enumerate(operacoes_kernels.items()):
    try:
        gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, alpha=0.0, random_state=42)
        gpr.fit(x, y_complex)
        
        # Previsões
        x_pred = np.linspace(0, 10, 200).reshape(-1, 1)
        y_pred, sigma = gpr.predict(x_pred, return_std=True)
        
        # Plot
        axes[idx].plot(x, y_complex, 'ro', alpha=0.6, markersize=3, label='Dados')
        axes[idx].plot(x_pred, y_pred, 'b-', linewidth=2, label='Previsão')
        axes[idx].fill_between(x_pred.ravel(), y_pred - 1.96*sigma, 
                             y_pred + 1.96*sigma, alpha=0.2, label='Incerteza')
        axes[idx].set_title(f'{nome}', fontsize=10)
        axes[idx].grid(True, alpha=0.3)
        axes[idx].legend(fontsize=8)
        
        print(f"{nome}: Log-likelihood = {gpr.log_marginal_likelihood():.2f}")
        
    except Exception as e:
        axes[idx].text(0.5, 0.5, f'Erro\n{str(e)}', ha='center', va='center', 
                      transform=axes[idx].transAxes, fontsize=8)
        axes[idx].set_title(nome, fontsize=10)

plt.tight_layout()
plt.show()

print("\n=== KERNEL RBF: O PADRÃO OURO ===\n")

# Demonstração detalhada do kernel RBF
print("O kernel RBF (Radial Basis Function) é definido por:")
print("[latex]k(x_i, x_j) = \\exp\\left(-\\frac{\\|x_i - x_j\\|^2}{2l^2}\\right)[/latex]")
print("Onde l é o parâmetro length_scale que controla a suavidade da função\n")

# Explorando diferentes length_scales no RBF
length_scales = [0.1, 0.5, 1.0, 2.0, 5.0]
fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(15, 10))
axes = axes.ravel()

for idx, length_scale in enumerate(length_scales):
    kernel_rbf = RBF(length_scale=length_scale)
    gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel_rbf, alpha=0.0, random_state=42)
    gpr.fit(x, y_smooth)
    
    # Previsões
    x_pred = np.linspace(0, 10, 200).reshape(-1, 1)
    y_pred, sigma = gpr.predict(x_pred, return_std=True)
    
    # Plot
    axes[idx].plot(x, y_smooth, 'ro', alpha=0.6, markersize=3, label='Dados')
    axes[idx].plot(x_pred, y_pred, 'b-', linewidth=2, label='Previsão')
    axes[idx].fill_between(x_pred.ravel(), y_pred - 1.96*sigma, 
                         y_pred + 1.96*sigma, alpha=0.2, label='Incerteza')
    axes[idx].set_title(f'RBF length_scale = {length_scale}', fontsize=10)
    axes[idx].grid(True, alpha=0.3)
    axes[idx].legend(fontsize=8)
    
    print(f"length_scale {length_scale}: Log-likelihood = {gpr.log_marginal_likelihood():.2f}")

# Plot da função RBF para diferentes length_scales
axes[5].set_title('Função RBF para Diferentes length_scales', fontsize=10)
x_rbf = np.linspace(0, 3, 100)
for length_scale in length_scales:
    y_rbf = np.exp(-x_rbf**2 / (2 * length_scale**2))
    axes[5].plot(x_rbf, y_rbf, label=f'l={length_scale}', linewidth=2)
axes[5].set_xlabel('Distância')
axes[5].set_ylabel('Similaridade')
axes[5].grid(True, alpha=0.3)
axes[5].legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

# Comparação RBF vs outros kernels nos dados suaves
print("\n=== COMPARAÇÃO: RBF VS OUTROS KERNELS ===\n")

kernels_comparacao = {
    'RBF': RBF(),
    'Matern (ν=1.5)': Matern(nu=1.5),
    'RationalQuadratic': RationalQuadratic(),
    'Linear': DotProduct()
}

resultados = []
for nome, kernel in kernels_comparacao.items():
    gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, random_state=42)
    gpr.fit(x, y_smooth)
    log_likelihood = gpr.log_marginal_likelihood()
    resultados.append((nome, log_likelihood, gpr.kernel_))

# Ordenando por log-likelihood
resultados.sort(key=lambda x: x[1], reverse=True)

print("Ranking de kernels por log-likelihood marginal:")
for nome, ll, kernel in resultados:
    print(f"{nome:20} → Log-likelihood: {ll:8.2f} | Kernel otimizado: {kernel}")

# Caso de uso prático: escolhendo o kernel certo
print("\n=== CASO PRÁTICO: ESCOLHENDO O KERNEL CERTO ===\n")

def diagnosticar_kernel_ideal(y_data, x_data):
    """Ferramenta simples para diagnosticar qual kernel pode ser apropriado"""
    from scipy import stats
    
    # Análise de linearidade
    slope, intercept, r_value, p_value, std_err = stats.linregress(x_data.ravel(), y_data)
    
    # Análise de periodicidade (usando FFT)
    fft = np.fft.fft(y_data - np.mean(y_data))
    freqs = np.fft.fftfreq(len(y_data))
    dominant_freq = np.abs(freqs[np.argmax(np.abs(fft[1:])) + 1])
    
    print("Diagnóstico dos dados:")
    print(f"  Correlação linear (R²): {r_value**2:.3f}")
    print(f"  Frequência dominante: {dominant_freq:.3f}")
    
    recomendacoes = []
    if r_value**2 > 0.7:
        recomendacoes.append("Alta correlação linear → Considere kernel Linear")
    if dominant_freq > 0.1:
        recomendacoes.append("Padrão periódico detectado → Considere kernel Periódico")
    if len(recomendacoes) == 0:
        recomendacoes.append("Padrão complexo → Use RBF ou Matern como ponto de partida")
    
    return recomendacoes

recomendacoes = diagnosticar_kernel_ideal(y_complex, x)
print("Recomendações:")
for rec in recomendacoes:
    print(f"  • {rec}")

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

"""

Explorando kernels básicos, operadores e o ubíquo kernel RBF

Demonstra como construir kernels complexos a partir de componentes simples

"""

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.gaussian_process.kernels import (RBF, ConstantKernel,

ExpSineSquared, DotProduct,

WhiteKernel, RationalQuadratic)

from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor

# Criando dados de demonstração

def criar_dados_demonstracao():

"""Cria dados com múltiplos padrões para testar diferentes kernels"""

np.random.seed(42)

x = np.linspace(0, 10, 100).reshape(-1, 1)

# Dados com padrão suave (ideal para RBF)

y_smooth = np.sin(x.ravel()) + 0.1 * np.random.normal(size=100)

# Dados com tendência linear + ruído

y_linear = 0.5 * x.ravel() + 0.2 * np.random.normal(size=100)

# Dados periódicos

y_periodic = np.sin(2 * np.pi * x.ravel()) + 0.1 * np.random.normal(size=100)

# Dados com múltiplos padrões

y_complex = (np.sin(x.ravel()) + # Componente suave

0.3 * x.ravel() + # Tendência linear

0.5 * np.sin(3 * x.ravel()) + # Componente periódico

0.1 * np.random.normal(size=100)) # Ruído

return x, y_smooth, y_linear, y_periodic, y_complex

x, y_smooth, y_linear, y_periodic, y_complex = criar_dados_demonstracao()

print("=== KERNELS BÁSICOS DO SCIKIT-LEARN ===\n")

# Demonstração dos kernels básicos

kernels_basicos = {

'RBF (Gaussiano)': RBF(length_scale=1.0),

'Linear': DotProduct(sigma_0=1.0),

'Periódico': ExpSineSquared(length_scale=1.0, periodicity=1.0),

'RationalQuadratic': RationalQuadratic(length_scale=1.0, alpha=1.0),

'Constante': ConstantKernel(constant_value=1.0),

'Ruído': WhiteKernel(noise_level=0.1)

}

# Testando cada kernel básico nos dados suaves

fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(15, 10))

axes = axes.ravel()

for idx, (nome, kernel) in enumerate(kernels_basicos.items()):

try:

gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, alpha=0.0, random_state=42)

gpr.fit(x, y_smooth)

# Previsões

x_pred = np.linspace(0, 10, 200).reshape(-1, 1)

y_pred, sigma = gpr.predict(x_pred, return_std=True)

# Plot

axes[idx].plot(x, y_smooth, 'ro', alpha=0.6, markersize=3, label='Dados')

axes[idx].plot(x_pred, y_pred, 'b-', linewidth=2, label='Previsão')

axes[idx].fill_between(x_pred.ravel(), y_pred - 1.96*sigma,

y_pred + 1.96*sigma, alpha=0.2, label='Incerteza')

axes[idx].set_title(f'{nome}\n{kernel}', fontsize=10)

axes[idx].grid(True, alpha=0.3)

axes[idx].legend(fontsize=8)

except Exception as e:

axes[idx].text(0.5, 0.5, f'Erro\n{str(e)}', ha='center', va='center',

transform=axes[idx].transAxes, fontsize=8)

axes[idx].set_title(nome, fontsize=10)

plt.tight_layout()

plt.show()

print("\n=== OPERADORES DE KERNEL: COMBINANDO KERNELS BÁSICOS ===\n")

# Demonstração dos operadores de kernel

k_rbf = RBF(length_scale=1.0)

k_linear = DotProduct(sigma_0=1.0)

k_periodic = ExpSineSquared(length_scale=1.0, periodicity=1.0)

k_const = ConstantKernel(constant_value=1.0)

# Operações com kernels

operacoes_kernels = {

'Soma\n(RBF + Linear)': k_rbf + k_linear,

'Multiplicação\n(RBF × Periódico)': k_rbf * k_periodic,

'Exponenciação\n(RBF²)': k_rbf**2,

'Escala\n(Const × RBF)': k_const * k_rbf,

'Combinação Complexa\n(Const×RBF + Linear)': k_const * k_rbf + k_linear,

'Múltiplos Padrões\n(Const×RBF + Const×Periódico + Linear)':

k_const * k_rbf + k_const * k_periodic + k_linear

}

# Testando operações nos dados complexos

fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(15, 10))

axes = axes.ravel()

for idx, (nome, kernel) in enumerate(operacoes_kernels.items()):

try:

gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, alpha=0.0, random_state=42)

gpr.fit(x, y_complex)

# Previsões

x_pred = np.linspace(0, 10, 200).reshape(-1, 1)

y_pred, sigma = gpr.predict(x_pred, return_std=True)

# Plot

axes[idx].plot(x, y_complex, 'ro', alpha=0.6, markersize=3, label='Dados')

axes[idx].plot(x_pred, y_pred, 'b-', linewidth=2, label='Previsão')

axes[idx].fill_between(x_pred.ravel(), y_pred - 1.96*sigma,

y_pred + 1.96*sigma, alpha=0.2, label='Incerteza')

axes[idx].set_title(f'{nome}', fontsize=10)

axes[idx].grid(True, alpha=0.3)

axes[idx].legend(fontsize=8)

print(f"{nome}: Log-likelihood = {gpr.log_marginal_likelihood():.2f}")

except Exception as e:

axes[idx].text(0.5, 0.5, f'Erro\n{str(e)}', ha='center', va='center',

transform=axes[idx].transAxes, fontsize=8)

axes[idx].set_title(nome, fontsize=10)

plt.tight_layout()

plt.show()

print("\n=== KERNEL RBF: O PADRÃO OURO ===\n")

# Demonstração detalhada do kernel RBF

print("O kernel RBF (Radial Basis Function) é definido por:")

print("[latex]k(x_i, x_j) = \\exp\\left(-\\frac{\\|x_i - x_j\\|^2}{2l^2}\\right)[/latex]")

print("Onde l é o parâmetro length_scale que controla a suavidade da função\n")

# Explorando diferentes length_scales no RBF

length_scales = [0.1, 0.5, 1.0, 2.0, 5.0]

fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(15, 10))

axes = axes.ravel()

for idx, length_scale in enumerate(length_scales):

kernel_rbf = RBF(length_scale=length_scale)

gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel_rbf, alpha=0.0, random_state=42)

gpr.fit(x, y_smooth)

# Previsões

x_pred = np.linspace(0, 10, 200).reshape(-1, 1)

y_pred, sigma = gpr.predict(x_pred, return_std=True)

# Plot

axes[idx].plot(x, y_smooth, 'ro', alpha=0.6, markersize=3, label='Dados')

axes[idx].plot(x_pred, y_pred, 'b-', linewidth=2, label='Previsão')

axes[idx].fill_between(x_pred.ravel(), y_pred - 1.96*sigma,

y_pred + 1.96*sigma, alpha=0.2, label='Incerteza')

axes[idx].set_title(f'RBF length_scale = {length_scale}', fontsize=10)

axes[idx].grid(True, alpha=0.3)

axes[idx].legend(fontsize=8)

print(f"length_scale {length_scale}: Log-likelihood = {gpr.log_marginal_likelihood():.2f}")

# Plot da função RBF para diferentes length_scales

axes[5].set_title('Função RBF para Diferentes length_scales', fontsize=10)

x_rbf = np.linspace(0, 3, 100)

for length_scale in length_scales:

y_rbf = np.exp(-x_rbf**2 / (2 * length_scale**2))

axes[5].plot(x_rbf, y_rbf, label=f'l={length_scale}', linewidth=2)

axes[5].set_xlabel('Distância')

axes[5].set_ylabel('Similaridade')

axes[5].grid(True, alpha=0.3)

axes[5].legend()

plt.tight_layout()

plt.show()

# Comparação RBF vs outros kernels nos dados suaves

print("\n=== COMPARAÇÃO: RBF VS OUTROS KERNELS ===\n")

kernels_comparacao = {

'RBF': RBF(),

'Matern (ν=1.5)': Matern(nu=1.5),

'RationalQuadratic': RationalQuadratic(),

'Linear': DotProduct()

}

resultados = []

for nome, kernel in kernels_comparacao.items():

gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, random_state=42)

gpr.fit(x, y_smooth)

log_likelihood = gpr.log_marginal_likelihood()

resultados.append((nome, log_likelihood, gpr.kernel_))

# Ordenando por log-likelihood

resultados.sort(key=lambda x: x[1], reverse=True)

print("Ranking de kernels por log-likelihood marginal:")

for nome, ll, kernel in resultados:

print(f"{nome:20} → Log-likelihood: {ll:8.2f} | Kernel otimizado: {kernel}")

# Caso de uso prático: escolhendo o kernel certo

print("\n=== CASO PRÁTICO: ESCOLHENDO O KERNEL CERTO ===\n")

def diagnosticar_kernel_ideal(y_data, x_data):

"""Ferramenta simples para diagnosticar qual kernel pode ser apropriado"""

from scipy import stats

# Análise de linearidade

slope, intercept, r_value, p_value, std_err = stats.linregress(x_data.ravel(), y_data)

# Análise de periodicidade (usando FFT)

fft = np.fft.fft(y_data - np.mean(y_data))

freqs = np.fft.fftfreq(len(y_data))

dominant_freq = np.abs(freqs[np.argmax(np.abs(fft[1:])) + 1])

print("Diagnóstico dos dados:")

print(f" Correlação linear (R²): {r_value**2:.3f}")

print(f" Frequência dominante: {dominant_freq:.3f}")

recomendacoes = []

if r_value**2 > 0.7:

recomendacoes.append("Alta correlação linear → Considere kernel Linear")

if dominant_freq > 0.1:

recomendacoes.append("Padrão periódico detectado → Considere kernel Periódico")

if len(recomendacoes) == 0:

recomendacoes.append("Padrão complexo → Use RBF ou Matern como ponto de partida")

return recomendacoes

recomendacoes = diagnosticar_kernel_ideal(y_complex, x)

print("Recomendações:")

for rec in recomendacoes:

print(f" • {rec}")

Os detalhes que fazem diferença

O kernel RBF se tornou o padrão da indústria por uma boa razão: sua suavidade infinita e propriedades matemáticas elegantes o tornam apropriado para a maioria dos problemas do mundo real. Contudo, entender quando não usá-lo é igualmente importante – dados com descontinuidades podem precisar do kernel Matern, padrões sazonais exigem ExpSineSquared, e tendências lineares fortes se beneficiam do DotProduct. Os operadores de kernel permitem construir soluções híbridas: adição combina padrões independentes, multiplicação modela interações, e exponenciação controla a escala de variação. A escolha do length_scale no RBF é particularmente crucial – valores muito pequenos levam a overfitting, valores muito grandes a underfitting.

RBF: Padrão ouro para funções suaves, use quando não souber por onde começar
Operador +: Combina padrões independentes (ex: tendência + sazonalidade)
Operador ×: Modela interações entre padrões (ex: sazonalidade que varia suavemente)
Length_scale: Controla o “raio de influência” de cada ponto nos dados
Kernel constante: Escala a variância geral do processo

Perguntas que os iniciantes fazem

Você deve estar se perguntando: “Por que o RBF é tão popular se existem tantos outros kernels?” Excelente questão! O RBF é um excelente ponto de partida porque assume apenas que pontos próximos têm valores similares – uma suposição razoável para a maioria dos fenômenos naturais. Uma confusão comum é sobre quando usar soma versus multiplicação de kernels: use soma para padrões aditivos independentes, multiplicação para padrões que interagem. Outra dúvida frequente: “Como escolher o length_scale inicial?” Comece com a distância média entre pontos nos seus dados e deixe a otimização ajustar a partir daí.

Para onde ir agora?

Pratique construindo kernels customizados para problemas específicos do seu domínio. Comece sempre com RBF puro e depois adicione componentes baseando-se nos padrões que observar nos resíduos. Use a log-verossimilhança marginal para comparar objetivamente diferentes arquiteturas de kernel. O momento “aha!” acontece quando você percebe que kernels bem construídos não são apenas ferramentas matemáticas, mas expressões da sua compreensão sobre como os dados se relacionam.

Assuntos relacionados

Para se tornar um expert em kernels, estude:

Funções de base radial: fundamentos matemáticos do RBF
Teoria de aproximação: como kernels criam espaços de funções
Processos estacionários: propriedades de invariância por translação
Análise espectral: decomposição de kernels em componentes de frequência
Mercer’s Theorem: fundamento teórico dos métodos de kernel