1.4 – Por Reforco
1.4.1 – Fundamentos Por Reforco
1.4.1.5 – Modelo do Ambiente – Transicao e Recompensa
LEGENDA
Principal
Ramo
Metodo
Problemas
Modelo
Arquitetura
Modelo do ambiente: transição e recompensa
O modelo do ambiente é o coração do aprendizado por reforço. Ele define como o mundo reage às ações do agente. Primeiramente, a função de transição prevê o próximo estado. Em segundo lugar, a função de recompensa avalia o resultado imediato. Sem esse modelo, o agente age no escuro. Por conseguinte, modelar o ambiente é essencial para planejamento eficiente.
Função de transição de estados
A transição descreve a dinâmica do ambiente. Ela é denotada por \( p(s’, r | s, a) \). Essa fórmula lê-se “probabilidade de ir para s’ com recompensa r”. Frequentemente, usamos a forma determinística \( s’ = T(s, a) \). Ambientes reais, contudo, são estocásticos. Por exemplo, um robô pode escorregar. A transição é aprendida ou fornecida antecipadamente. Esse conhecimento é usado para simular o futuro.
A função de transição é uma distribuição de probabilidade. Portanto, a soma sobre todos os s’ e r é igual a 1. Matematicamente: \( \sum_{s’} \sum_{r} p(s’, r | s, a) = 1 \). Essa propriedade é conservada em ambientes bem definidos. Modelos tabulares armazenam essas probabilidades. Modelos neurais, por outro lado, as aproximam continuamente.
Função de recompensa imediata
A recompensa é um escalar que guia o comportamento. Ela pode ser determinística ou estocástica. A recompensa esperada é calculada como \( r(s,a) = \mathbb{E}[R | s,a] = \sum_r r \sum_{s’} p(s’, r | s, a) \). Em problemas simples, a recompensa é dada diretamente. Por exemplo, +1 por vencer e 0 por perder. Projetar uma boa recompensa é uma arte. Recompensas mal definidas causam comportamentos indesejados.
Hiperparâmetros importantes incluem o fator de desconto γ. Ele pondera recompensas futuras. Um modelo também tem parâmetros de confiança. Ambientes simulados usam um horizonte de planejamento. Modelos aprendidos têm uma taxa de atualização α. A arquitetura comum é uma rede neural. Ela recebe estado e ação como entrada. Suas saídas são o próximo estado e a recompensa.
Exemplo clássico: o mundo da grade 4×4
Imagine uma grade 4×4 com um tesouro escondido. O agente começa no canto superior esquerdo. O tesouro está no canto inferior direito. Cada movimento custa -0.1 (recompensa negativa). Encontrar o tesouro dá +10. Paredes bloqueiam algumas células (transição inválida). O ambiente é determinístico: a ação sempre funciona. O objetivo é aprender o caminho ótimo. O código abaixo modela explicitamente transição e recompensa.
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import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # ============================================ # MODELO DO AMBIENTE: transição e recompensa # ============================================ class ModeloAmbiente: """Mundo 4x4 com transições e recompensas definidas""" def __init__(self): # Grid 4x4: 0=caminho, 1=parede, 2=tesouro self.grid = np.array([ [0, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], # parede na posição (1,1) [0, 1, 0, 0], # parede na posição (2,1) [0, 0, 2, 0] ]) self.n_estados = 16 self.n_acoes = 4 # 0=cima, 1=baixo, 2=esq, 3=dir self.inicio = 0 self.tesouro = 14 # posição (3,2) def transicao(self, estado, acao): """Retorna (próximo_estado, recompensa, terminou)""" linha = estado // 4 coluna = estado % 4 # Calcula movimento if acao == 0: # cima nova_linha = max(0, linha - 1) nova_coluna = coluna elif acao == 1: # baixo nova_linha = min(3, linha + 1) nova_coluna = coluna elif acao == 2: # esquerda nova_linha = linha nova_coluna = max(0, coluna - 1) else: # direita nova_linha = linha nova_coluna = min(3, coluna + 1) # Verifica parede if self.grid[nova_linha, nova_coluna] == 1: return estado, -0.5, False # bateu na parede novo_estado = nova_linha * 4 + nova_coluna # Verifica tesouro if self.grid[nova_linha, nova_coluna] == 2: return novo_estado, 10.0, True # Movimento normal return novo_estado, -0.1, False def todas_transicoes(self): """Pré-computa todas as transições (útil para planejamento)""" T = np.zeros((self.n_estados, self.n_acoes, self.n_estados)) R = np.zeros((self.n_estados, self.n_acoes)) for s in range(self.n_estados): for a in range(self.n_acoes): s_next, r, done = self.transicao(s, a) T[s, a, s_next] = 1.0 # determinístico R[s, a] = r return T, R # ============================================ # PLANEJADOR USANDO O MODELO (Iteração de Valor) # ============================================ def iteracao_valor(modelo, gamma=0.95, theta=1e-6, max_iter=1000): """Encontra a política ótima usando o modelo do ambiente""" V = np.zeros(modelo.n_estados) politica = np.zeros(modelo.n_estados, dtype=int) print("Iteração de Valor - Planejando com o modelo...") for i in range(max_iter): delta = 0 V_antigo = V.copy() for s in range(modelo.n_estados): if s == modelo.tesouro: continue # Calcula valor para cada ação valores_acoes = [] for a in range(modelo.n_acoes): s_next, r, _ = modelo.transicao(s, a) valor = r + gamma * V_antigo[s_next] valores_acoes.append(valor) V[s] = max(valores_acoes) delta = max(delta, abs(V[s] - V_antigo[s])) if delta < theta: print(f"Convergência após {i+1} iterações") break # Extrai política ótima for s in range(modelo.n_estados): if s == modelo.tesouro: politica[s] = -1 continue valores = [] for a in range(modelo.n_acoes): s_next, r, _ = modelo.transicao(s, a) valores.append(r + gamma * V[s_next]) politica[s] = np.argmax(valores) return V, politica # ============================================ # SIMULAÇÃO USANDO O MODELO # ============================================ print("=" * 60) print("MODELO DO AMBIENTE: Transição e Recompensa") print("=" * 60) # Cria o modelo modelo = ModeloAmbiente() print("\n📊 Modelo do mundo 4x4 criado!") print(" - Estados: 16 (grid 4x4)") print(" - Ações: 4 (cima, baixo, esq, dir)") print(" - Recompensas: -0.1 por passo, -0.5 por parede, +10 pelo tesouro") # Mostra o mapa print("\n🗺️ MAPA DO AMBIENTE:") print(" Col0 Col1 Col2 Col3") for i in range(4): linha = f"Lin{i}: " for j in range(4): if modelo.grid[i, j] == 1: linha += " ██ " elif modelo.grid[i, j] == 2: linha += " 💰 " else: linha += " ·· " print(linha) print("Legenda: ·· = caminho | ██ = parede | 💰 = tesouro (+10)") # Planejamento com o modelo print("\n" + "=" * 60) print("PLANEJAMENTO USANDO O MODELO") print("=" * 60) V_otimo, politica_otima = iteracao_valor(modelo) # Mostra a função valor print("\n📈 Função Valor V*(s) para cada estado:") for i in range(4): linha = "" for j in range(4): s = i * 4 + j if modelo.grid[i, j] == 1: linha += " ██ " elif s == modelo.tesouro: linha += " 💰💰 " else: linha += f" {V_otimo[s]:5.1f} " print(linha) # Mostra a política ótima print("\n🎯 Política Ótima (melhor ação em cada estado):") setas = ['↑', '↓', '←', '→'] for i in range(4): linha = "" for j in range(4): s = i * 4 + j if modelo.grid[i, j] == 1: linha += " ██ " elif s == modelo.tesouro: linha += " 💰 " else: linha += f" {setas[politica_otima[s]]} " print(linha) # ============================================ # SIMULAÇÃO DE UMA TRAJETÓRIA # ============================================ print("\n" + "=" * 60) print("SIMULAÇÃO DE UMA TRAJETÓRIA") print("=" * 60) estado = modelo.inicio trajetoria = [estado] recompensa_total = 0 passos = 0 print(f"\nIniciando no estado {estado} (posição 0,0)") while estado != modelo.tesouro and passos < 20: acao = politica_otima[estado] linha_atual = estado // 4 coluna_atual = estado % 4 prox_estado, recompensa, terminou = modelo.transicao(estado, acao) print(f"Passo {passos+1}: pos({linha_atual},{coluna_atual}) → {setas[acao]} → {prox_estado//4},{prox_estado%4} | recompensa: {recompensa:.1f}") trajetoria.append(prox_estado) recompensa_total += recompensa estado = prox_estado passos += 1 if terminou: print(f"\n🎉 TESOURO ENCONTRADO! Recompensa total: {recompensa_total:.1f}") break # ============================================ # GRÁFICOS # ============================================ print("\n" + "=" * 60) print("GERANDO GRÁFICOS") print("=" * 60) plt.figure(figsize=(14, 5)) # Gráfico 1: Função Valor como mapa de calor plt.subplot(1, 2, 1) V_mapa = V_otimo.reshape(4, 4) # Mascara para paredes mask = modelo.grid == 1 V_mapa_masked = np.ma.masked_where(mask, V_mapa) im = plt.imshow(V_mapa_masked, cmap='viridis', interpolation='nearest') plt.colorbar(im, label='Valor V*(s)') for i in range(4): for j in range(4): if modelo.grid[i, j] == 1: plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=20, color='black') elif i*4+j == modelo.tesouro: plt.text(j, i, '💰', ha='center', va='center', fontsize=16) else: plt.text(j, i, f'{V_mapa[i, j]:.1f}', ha='center', va='center', fontsize=9, color='white' if V_mapa[i, j] > 5 else 'black') plt.title('Função Valor V*(s) - Mapa de Calor\n(quanto mais amarelo, mais valioso)') plt.xlabel('Coluna') plt.ylabel('Linha') # Gráfico 2: Política ótima visual plt.subplot(1, 2, 2) for i in range(4): for j in range(4): s = i * 4 + j if modelo.grid[i, j] == 1: plt.text(j, i, '██', ha='center', va='center', fontsize=20, color='gray') elif s == modelo.tesouro: plt.text(j, i, '💰', ha='center', va='center', fontsize=24) else: acao = politica_otima[s] plt.text(j, i, setas[acao], ha='center', va='center', fontsize=28) plt.xlim(-0.5, 3.5) plt.ylim(3.5, -0.5) plt.title('Política Ótima Derivada do Modelo\n(setas indicam o melhor movimento)') plt.xlabel('Coluna') plt.ylabel('Linha') plt.grid(True, alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.show() # ============================================ # EXPLICAÇÃO DOS CONCEITOS # ============================================ print("\n" + "=" * 60) print("ENTENDENDO O MODELO DO AMBIENTE") print("=" * 60) print(""" ✅ O QUE FOI DEMONSTRADO: 1. FUNÇÃO DE TRANSIÇÃO T(s,a): - Define para onde o agente vai após cada ação - No exemplo: movimento determinístico (não há escorregamento) - Paredes bloqueiam a transição (agente permanece no lugar) 2. FUNÇÃO DE RECOMPENSA R(s,a): - Cada movimento custa -0.1 (incentiva caminho curto) - Bater na parede custa -0.5 (desincentiva) - Encontrar o tesouro dá +10 (objetivo principal) 3. USO DO MODELO PARA PLANEJAMENTO: - Iteração de Valor usa o modelo para calcular V*(s) - A política ótima é extraída das funções valor - Não é necessário interagir com o ambiente real 📊 FÓRMULAS MATEMÁTICAS UTILIZADAS: • Equação de Bellman para V*: [latex] V^*(s) = \max_a \sum_{s',r} p(s',r|s,a) [r + \gamma V^*(s')] [/latex] • No nosso caso determinístico, simplifica para: [latex] V^*(s) = \max_a [R(s,a) + \gamma V^*(T(s,a))] [/latex] • Iteração de Valor atualiza iterativamente: [latex] V_{k+1}(s) = \max_a [R(s,a) + \gamma V_k(T(s,a))] [/latex] 🎯 PRINCIPAIS HIPERPARÂMETROS: • γ (gamma) = 0.95 - Fator de desconto (95% de importância para futuro) • θ (theta) = 1e-6 - Critério de convergência • max_iter = 1000 - Limite de iterações DIFERENÇA ENTRE MODELO E APRENDIZADO POR REFORÇO: • MODELO-BASE (demonstrado): Ambiente é conhecido. O agente PLANEJA sem interagir. Usa equações de Bellman. • LIVRE-MODELO (Q-learning): Ambiente é desconhecido. O agente APRENDE por tentativa e erro. """) print("\n" + "=" * 60) print("CONCLUSÃO") print("=" * 60) print(""" O modelo do ambiente (transição + recompensa) é uma representação matemática do mundo. Ele permite que o agente planeje o futuro sem executar ações reais. Isso é útil em robótica, jogos e controle de processos. Quando o modelo é conhecido, métodos como Iteração de Valor encontram a política ótima de forma eficiente e garantida. """) print("✅ PROGRAMA CONCLUÍDO!") |