1.4.2 – Metodos Baseados em Valor
1.4.2.3 – Temporal Difference – TD
1.4.2.3.1 – SARSA – On-policy
1.4.2.3.2 – Q-Learning – Off-policy
1.4.2.3.3 – Double Q-Learning
LEGENDA
Principal
Ramo
Metodo
Problemas
Modelo
Arquitetura
A diferença temporal (TD) combina ideias de Monte Carlo e programação dinâmica. Primeiramente, ela aprende diretamente da experiência como Monte Carlo. Em segundo lugar, ela usa bootstrap como programação dinâmica. Por conseguinte, o TD não precisa de modelo do ambiente. Além disso, ele atualiza os valores antes do fim do episódio. Isso é uma grande vantagem sobre Monte Carlo.
Características do método TD
O TD(0) é a versão mais simples do algoritmo. Ele atualiza o valor após cada passo. A fórmula é \( V(s) \leftarrow V(s) + \alpha [r + \gamma V(s’) – V(s)] \). O termo entre colchetes é chamado erro TD. Ele é calculado imediatamente após a transição. Diferente de Monte Carlo, não esperamos o episódio terminar. Portanto, o TD pode aprender em tarefas contínuas (não episódicas). Essa é uma característica poderosa para problemas reais.
A arquitetura armazena V(s) ou Q(s,a) em uma tabela. Para cada transição (s, a, r, s’), atualizamos o valor. O hiperparâmetro α é a taxa de aprendizado. Valores típicos são 0.1 ou 0.01. O fator de desconto γ é outro hiperparâmetro crítico. A política pode ser ε-greedy ou gulosa. O TD é mais eficiente que Monte Carlo. Ele tem menor variância e converge mais rápido. Contudo, ele pode ter viés devido ao bootstrap.
Fórmulas matemáticas fundamentais
A equação de Bellman para V é \( V^\pi(s) = \mathbb{E}_\pi [r + \gamma V^\pi(s’) | s] \). O TD usa uma amostra dessa expectativa. O erro TD é \( \delta_t = r_{t+1} + \gamma V(s_{t+1}) – V(s_t) \). A atualização incremental é \( V(s_t) \leftarrow V(s_t) + \alpha \delta_t \). Para ação-valor, temos Q-learning: \( Q(s,a) \leftarrow Q(s,a) + \alpha [r + \gamma \max_{a’} Q(s’,a’) – Q(s,a)] \). O SARSA é similar, mas usa a ação real escolhida.
O TD é um método livre de modelo (model-free). Ele não precisa da probabilidade de transição. A convergência é garantida se todos os pares forem visitados. A taxa de aprendizado α deve decair ao longo do tempo. Condições padrão são \( \sum \alpha_t = \infty \) e \(\) \sum \alpha_t^2 < \infty [/latex]. Na prática, usamos α constante para problemas não-estacionários.
Exemplo clássico: labirinto com recompensa ao final
Imagine um labirinto 4×4 com um único objetivo. O agente começa no canto superior esquerdo. Ele recebe recompensa 0 em cada passo. Apenas no objetivo a recompensa é +10. O ambiente é determinístico. O objetivo é aprender o valor de cada estado. O código abaixo implementa TD(0) para resolver o labirinto. Ele compara com Monte Carlo para mostrar eficiência.
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import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import random import time from tqdm import tqdm import sys print("=" * 70) print("APRENDIZADO POR DIFERENÇA TEMPORAL (TD)") print("=" * 70) # ============================================ # AMBIENTE: LABIRINTO 4x4 # ============================================ class Labirinto: """Labirinto 4x4 com objetivo no canto inferior direito""" def __init__(self): # Mapa: 0=caminho, 1=parede self.grid = np.array([ [0, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 0] ]) self.n_estados = 16 self.n_acoes = 4 # 0=cima, 1=baixo, 2=esq, 3=dir self.inicio = 0 self.objetivo = 15 # posição (3,3) def reset(self): self.estado = self.inicio return self.estado def step(self, acao): """Executa ação e retorna (próximo_estado, recompensa, terminou)""" linha = self.estado // 4 coluna = self.estado % 4 # Calcula movimento if acao == 0: # cima nl = max(0, linha - 1) nc = coluna elif acao == 1: # baixo nl = min(3, linha + 1) nc = coluna elif acao == 2: # esquerda nl = linha nc = max(0, coluna - 1) else: # direita nl = linha nc = min(3, coluna + 1) # Verifica parede if self.grid[nl, nc] == 1: return self.estado, -0.1, False novo_estado = nl * 4 + nc self.estado = novo_estado # Verifica objetivo if novo_estado == self.objetivo: return novo_estado, 10.0, True return novo_estado, -0.05, False # ============================================ # ALGORITMO TD(0) OTIMIZADO # ============================================ class TDAgente: """Agente que aprende com TD(0)""" def __init__(self, n_estados, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.1): self.V = np.zeros(n_estados) self.alpha = alpha self.gamma = gamma self.epsilon = epsilon # Pré-computa transições para velocidade self._pre_computar_transicoes() def _pre_computar_transicoes(self): """Pré-calcula todos os possíveis próximos estados""" self.proximos_estados = {} for estado in range(16): linha = estado // 4 coluna = estado % 4 self.proximos_estados[estado] = [] for acao in range(4): if acao == 0: nl = max(0, linha - 1) nc = coluna elif acao == 1: nl = min(3, linha + 1) nc = coluna elif acao == 2: nl = linha nc = max(0, coluna - 1) else: nl = linha nc = min(3, coluna + 1) if nl == linha and nc == coluna: continue novo_estado = nl * 4 + nc self.proximos_estados[estado].append((novo_estado, acao)) def escolher_acao(self, estado): """Política ε-greedy baseada em valores""" if random.random() < self.epsilon: return random.randint(0, 3) melhor_valor = -float('inf') melhor_acao = 0 for prox_estado, acao in self.proximos_estados.get(estado, []): if self.V[prox_estado] > melhor_valor: melhor_valor = self.V[prox_estado] melhor_acao = acao return melhor_acao def aprender(self, estado, recompensa, prox_estado, terminou): """Atualização TD(0)""" if terminou: alvo = recompensa else: alvo = recompensa + self.gamma * self.V[prox_estado] erro_td = alvo - self.V[estado] self.V[estado] += self.alpha * erro_td return erro_td # ============================================ # ALGORITMO MONTE CARLO (COMPARAÇÃO) # ============================================ class MCAgente: """Agente Monte Carlo para comparação""" def __init__(self, n_estados, gamma=0.95, epsilon=0.1): self.V = np.zeros(n_estados) self.returns = [[] for _ in range(n_estados)] self.gamma = gamma self.epsilon = epsilon self.n_estados = n_estados def _pre_computar_transicoes(self): self.proximos_estados = {} for estado in range(16): linha = estado // 4 coluna = estado % 4 self.proximos_estados[estado] = [] for acao in range(4): if acao == 0: nl = max(0, linha - 1) nc = coluna elif acao == 1: nl = min(3, linha + 1) nc = coluna elif acao == 2: nl = linha nc = max(0, coluna - 1) else: nl = linha nc = min(3, coluna + 1) if nl == linha and nc == coluna: continue novo_estado = nl * 4 + nc self.proximos_estados[estado].append((novo_estado, acao)) def escolher_acao(self, estado): if random.random() < self.epsilon: return random.randint(0, 3) melhor_valor = -float('inf') melhor_acao = 0 for prox_estado, acao in self.proximos_estados.get(estado, []): if self.V[prox_estado] > melhor_valor: melhor_valor = self.V[prox_estado] melhor_acao = acao return melhor_acao def aprender_episodio(self, episodio): G = 0 for t in range(len(episodio)-1, -1, -1): estado, recompensa = episodio[t] G = recompensa + self.gamma * G self.returns[estado].append(G) self.V[estado] = np.mean(self.returns[estado]) # ============================================ # EXPERIMENTO: TD vs MONTE CARLO # ============================================ print("\n" + "=" * 70) print("COMPARAÇÃO: TD(0) vs MONTE CARLO") print("=" * 70) num_episodios = 1000 # Reduzido para mais velocidade env = Labirinto() # Inicializa agentes td_agente = TDAgente(n_estados=16, alpha=0.1, gamma=0.95, epsilon=0.1) mc_agente = MCAgente(n_estados=16, gamma=0.95, epsilon=0.1) # Pré-computa transições td_agente._pre_computar_transicoes() mc_agente._pre_computar_transicoes() # Armazena histórico valores_td = [] valores_mc = [] tempo_inicio = time.time() print("\n🚀 Treinando TD(0)...\n") # Barra de progresso para TD with tqdm(total=num_episodios, desc="TD(0)", unit="ep", ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}, {rate_fmt}]') as pbar: for ep in range(num_episodios): estado = env.reset() terminou = False passo = 0 while not terminou and passo < 100: acao = td_agente.escolher_acao(estado) prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao) td_agente.aprender(estado, recompensa, prox_estado, terminou) estado = prox_estado passo += 1 valores_td.append(td_agente.V[0]) # Atualiza barra e mostra info if (ep + 1) % 50 == 0 or ep == 0: pbar.set_postfix({'V(0)': f'{td_agente.V[0]:.2f}'}) pbar.update(50 if (ep + 1) % 50 == 0 and ep > 0 else 1) print("\n🚀 Treinando Monte Carlo...\n") # Barra de progresso para Monte Carlo with tqdm(total=num_episodios, desc="Monte Carlo", unit="ep", ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}, {rate_fmt}]') as pbar: for ep in range(num_episodios): estado = env.reset() terminou = False episodio_mc = [] passo = 0 while not terminou and passo < 100: acao = mc_agente.escolher_acao(estado) prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao) episodio_mc.append((estado, recompensa)) estado = prox_estado passo += 1 mc_agente.aprender_episodio(episodio_mc) valores_mc.append(mc_agente.V[0]) if (ep + 1) % 50 == 0 or ep == 0: pbar.set_postfix({'V(0)': f'{mc_agente.V[0]:.2f}'}) pbar.update(50 if (ep + 1) % 50 == 0 and ep > 0 else 1) tempo_total = time.time() - tempo_inicio print(f"\n✅ Treinamento concluído em {tempo_total:.1f} segundos!") # ============================================ # AVALIAÇÃO DA POLÍTICA APRENDIDA # ============================================ print("\n" + "=" * 70) print("AVALIAÇÃO DA POLÍTICA APRENDIDA") print("=" * 70) def avaliar_politica(agente, n_testes=200, desc="Testando"): """Avalia a política do agente com barra de progresso""" sucessos = 0 with tqdm(total=n_testes, desc=desc, unit="teste", ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}]') as pbar: for _ in range(n_testes): estado = env.reset() terminou = False passo = 0 while not terminou and passo < 50: acao = agente.escolher_acao(estado) estado, recompensa, terminou = env.step(acao) passo += 1 if recompensa > 0: sucessos += 1 pbar.update(1) return sucessos / n_testes * 100 taxa_td = avaliar_politica(td_agente, desc="Avaliando TD(0)") taxa_mc = avaliar_politica(mc_agente, desc="Avaliando MC") print(f"\n🏆 Taxa de sucesso (chegar ao objetivo):") print(f" TD(0): {taxa_td:.1f}%") print(f" Monte Carlo: {taxa_mc:.1f}%") # ============================================ # VISUALIZAÇÃO DA FUNÇÃO VALOR # ============================================ print("\n📊 Gerando gráficos...") V_td = td_agente.V.reshape(4, 4) V_mc = mc_agente.V.reshape(4, 4) plt.figure(figsize=(14, 6)) # Gráfico 1: Convergência do valor do estado inicial plt.subplot(2, 2, 1) plt.plot(valores_td, 'b-', linewidth=1.5, label='TD(0)', alpha=0.7) plt.plot(valores_mc, 'r-', linewidth=1.5, label='Monte Carlo', alpha=0.7) plt.xlabel('Episódio') plt.ylabel('V(estado inicial)') plt.title('Convergência: TD(0) vs Monte Carlo') plt.legend() plt.grid(True, alpha=0.3) # Gráfico 2: Função Valor TD(0) plt.subplot(2, 2, 2) im1 = plt.imshow(V_td, cmap='RdYlGn', interpolation='nearest', vmin=0, vmax=10) plt.colorbar(im1, label='Valor V(s)') for i in range(4): for j in range(4): if env.grid[i, j] == 1: plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=16, color='gray') elif i*4+j == env.objetivo: plt.text(j, i, '🎯', ha='center', va='center', fontsize=14) else: plt.text(j, i, f'{V_td[i, j]:.1f}', ha='center', va='center', fontsize=9) plt.title('Função Valor - TD(0)') plt.xlabel('Coluna') plt.ylabel('Linha') # Gráfico 3: Função Valor Monte Carlo plt.subplot(2, 2, 3) im2 = plt.imshow(V_mc, cmap='RdYlGn', interpolation='nearest', vmin=0, vmax=10) plt.colorbar(im2, label='Valor V(s)') for i in range(4): for j in range(4): if env.grid[i, j] == 1: plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=16, color='gray') elif i*4+j == env.objetivo: plt.text(j, i, '🎯', ha='center', va='center', fontsize=14) else: plt.text(j, i, f'{V_mc[i, j]:.1f}', ha='center', va='center', fontsize=9) plt.title('Função Valor - Monte Carlo') plt.xlabel('Coluna') plt.ylabel('Linha') # Gráfico 4: Diferença entre métodos plt.subplot(2, 2, 4) diferenca = np.abs(V_td - V_mc) im3 = plt.imshow(diferenca, cmap='hot', interpolation='nearest') plt.colorbar(im3, label='|V_TD - V_MC|') for i in range(4): for j in range(4): if env.grid[i, j] == 1: plt.text(j, i, '█', ha='center', va='center', fontsize=16, color='white') else: plt.text(j, i, f'{diferenca[i, j]:.2f}', ha='center', va='center', fontsize=8) plt.title('Diferença Absoluta entre Métodos') plt.xlabel('Coluna') plt.ylabel('Linha') plt.tight_layout() plt.show() # ============================================ # EXPERIMENTO: DIFERENTES TAXAS DE APRENDIZADO # ============================================ print("\n" + "=" * 70) print("EFEITO DA TAXA DE APRENDIZADO (α)") print("=" * 70) alphas = [0.01, 0.05, 0.1, 0.3, 0.5] convergencia = [] for alpha in alphas: print(f"\n Testando α = {alpha}...") agente = TDAgente(n_estados=16, alpha=alpha, gamma=0.95, epsilon=0.1) agente._pre_computar_transicoes() with tqdm(total=300, desc=f"α={alpha}", unit="ep", ncols=80, mininterval=0.5, bar_format='{l_bar}{bar}| {n_fmt}/{total_fmt} [{elapsed}<{remaining}]') as pbar: for ep in range(300): estado = env.reset() terminou = False while not terminou: acao = agente.escolher_acao(estado) prox_estado, recompensa, terminou = env.step(acao) agente.aprender(estado, recompensa, prox_estado, terminou) estado = prox_estado pbar.update(1) convergencia.append(agente.V[0]) print(f" V(início) final = {agente.V[0]:.2f}") plt.figure(figsize=(8, 4)) plt.plot(alphas, convergencia, 'bo-', linewidth=2, markersize=8) plt.xlabel('Taxa de aprendizado (α)') plt.ylabel('V(estado inicial) final') plt.title('Impacto da Taxa de Aprendizado no TD(0)') plt.grid(True, alpha=0.3) plt.show() # ============================================ # DEMONSTRAÇÃO DO CAMINHO APRENDIDO # ============================================ print("\n" + "=" * 70) print("DEMONSTRAÇÃO DO CAMINHO APRENDIDO") print("=" * 70) def demonstrar_caminho(agente, nome): print(f"\n🎮 {nome}:") estado = env.reset() caminho = [estado] terminou = False passo = 0 while not terminou and passo < 20: acao = agente.escolher_acao(estado) estado, recompensa, terminou = env.step(acao) caminho.append(estado) passo += 1 # Mostra caminho setas = ['↑', '↓', '←', '→'] mapa = [['⬜' for _ in range(4)] for _ in range(4)] for i in range(4): for j in range(4): if env.grid[i, j] == 1: mapa[i][j] = '█' elif i*4+j == env.objetivo: mapa[i][j] = '🎯' # Marca o caminho for idx, s in enumerate(caminho): i, j = s // 4, s % 4 if s != env.objetivo and env.grid[i, j] != 1: if idx < len(caminho) - 1: mapa[i][j] = str(idx) print(" Mapa com números indicando a ordem do caminho:") for i in range(4): linha = " " for j in range(4): linha += f"{mapa[i][j]} " print(linha) if recompensa > 0: print(f" ✅ Sucesso! Objetivo alcançado em {passo} passos.") else: print(f" ❌ Falhou após {passo} passos.") demonstrar_caminho(td_agente, "Agente TD(0)") demonstrar_caminho(mc_agente, "Agente Monte Carlo") # ============================================ # EXPLICAÇÃO MATEMÁTICA # ============================================ print("\n" + "=" * 70) print("FUNDAMENTOS DO TD LEARNING") print("=" * 70) print(""" ✅ DIFERENÇA TEMPORAL (TD) COMBINA O MELHOR DE DOIS MUNDOS: • MONTE CARLO: Aprende da experiência real (sem viés) • PROGRAM. DINÂMICA: Usa bootstrap (atualiza com estimativas) ✅ FÓRMULA FUNDAMENTAL DO TD(0): [latex] V(s) \leftarrow V(s) + \\alpha [r + \\gamma V(s') - V(s)] [/latex] Onde: - α = taxa de aprendizado - γ = fator de desconto - δ = r + γV(s') - V(s) é o ERRO TD ✅ HIPERPARÂMETROS CRÍTICOS: • α (alpha): Taxa aprendizado (0 a 1) - quão rápido aprende • γ (gamma): Fator desconto (0 a 1) - importância do futuro • ε (epsilon): Exploração (0 a 1) - para políticas suaves ✅ VANTAGENS DO TD SOBRE MONTE CARLO: ✓ Aprende a cada passo (não precisa esperar episódio) ✓ Menor variância (estimações mais estáveis) ✓ Funciona para problemas contínuos (não episódicos) ✓ Mais eficiente computacionalmente ✅ CONDIÇÕES DE CONVERGÊNCIA: [latex] \\sum_{t=0}^\\infty \\alpha_t = \\infty [/latex] [latex] \\sum_{t=0}^\\infty \\alpha_t^2 < \\infty [/latex] """) print("\n" + "=" * 70) print("CONCLUSÃO") print("=" * 70) print(""" ✅ TD Learning converge mais rápido que Monte Carlo. ✅ Ele é mais eficiente e prático para problemas reais. ✅ As barras de progresso mostraram a evolução em tempo real. ✅ O agente aprendeu a navegar pelo labirinto. ✅ TD(0) é a base para algoritmos modernos como DQN. """) print("\n✅ PROGRAMA CONCLUÍDO COM SUCESSO!") |